81.拋物線的焦半徑與焦點弦必知的八組結(jié)論拋物線的焦點弦是拋物線中的高頻考點，特別是對于考生而言，本節(jié)的結(jié)論既要注意把握推導(dǎo)過程，更應(yīng)該注意對結(jié)論的熟悉程度，因為很多涉及到焦點弦的題目都會以選填的形式出現(xiàn)，如此，你便可以用相關(guān)結(jié)論快速做到，避免小題大做！一．重要結(jié)論拋物線的焦點弦具有豐富的性質(zhì)，它是對拋物線定義的進一步考察，也是拋物線這節(jié)中最重要的考點之一，下面羅列出常見的拋物線焦點弦性質(zhì):假設(shè)拋物線方程為.過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，其坐標分別為

.性質(zhì)1.,.證明：性質(zhì)1的證明很簡單，由拋物線的定義即可證得.如上圖，過向準線引垂線，垂足分別為.由定義可知：.代入坐標即可證得相關(guān)結(jié)論.性質(zhì)2.拋物線的焦點為F，是過的直線與拋物線的兩個交點，求證：.證明：，則的方程為，整理可得：，即可得的方程為：.最后，由于直線過焦點，代入焦點坐標可得.再代入拋物線方程.一般地，如果直線恒過定點與拋物線交于兩點，那么.于是，若恒過定點.性質(zhì)3.已知傾斜角為直線的經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，則（1）.（2）.證明：設(shè)準線交軸于點，過點作軸于，作于，由拋物線定義可知：．其中，.所以，，故．同理，所以．性質(zhì)4.拋物線的通徑(1).通徑長為.(2).焦點弦中，通徑最短.(3).通徑越長，拋物線開口越大.由性質(zhì)3易得，略.性質(zhì)5.已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，若弦中點的坐標為，則.證明：設(shè)坐標為，由拋物線定義：，故.性質(zhì)6.以焦點弦為直徑的圓與準線相切.證明：設(shè)焦點弦的中點為，則到準線的距離為，由性質(zhì)5可證得.性質(zhì)7.如圖，過拋物線的焦點的直線與拋物線相交于兩點，自向準線作垂線，垂足分別為，則（1）；（2）記的面積分別為,,，.注:此題為2009湖北卷文科試題，證明過程可參見該題解答.二．典例分析例1.（2017年全國1卷）.已知為拋物線的焦點，過作兩條互相垂直的直線，直線與交于兩點，直線與交于兩點，則的最小值為()A．16 B．14 C．12 D．10解析：法1:設(shè),,直線方程為取方程,得∴同理直線與拋物線的交點滿足由拋物線定義可知當(dāng)且僅當(dāng)(或)時,取得等號．法2:設(shè)的傾斜角為,則直線的傾斜角為，根據(jù)焦點弦長公式有:．故選A．法4:設(shè)點,則設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線與拋物線方程消去可得所以,所以同理，所以(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)法5：可設(shè)直線，由拋物線焦點弦的性質(zhì)3可得：，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取到最小值，故選A.上述例2，在知曉背景的情況下解答是很容易的，這再次說明記住一些重要的二級結(jié)論可以優(yōu)化運算，提升解題速度.下例中，我們將看到有關(guān)面積的定值問題，從而為前面的重要結(jié)論做一個補充.例2．（2022新高考2卷）已知為坐標原點，過拋物線的焦點的直線與交于，兩點，點在第一象限，點，若，則直線的斜率為A．直線AB的斜率為2 B．C． D．解析：選項A：設(shè)中點為，則所以所以故選項B：所以所以選項C：選項D：由選項A,B知所以所以為鈍角；又所以為鈍角；所以.故選ACD.例3．（2023新高考2卷）．設(shè)O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形解析：A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.B選項：設(shè)，由消去并化簡得，解得，所以，B選項錯誤.或C選項：設(shè)的中點為，到直線的距離分別為，因為，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.D選項：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.故選：AC.

例4．（湖北省武漢市2025屆高三二月調(diào)考）已知為坐標原點，過拋物線焦點的直線與該拋物線交于，兩點，若，若面積為，則（

）A．4 B．3 C． D．解析：（方法1）拋物線的焦點，設(shè)直線，點，由消去得，則，，即，，，則，因此，所以.故選：A（方法2）設(shè)直線的傾斜角為，由于所以.故選：A例5.已知拋物線的焦點為F，拋物線C上存在n個點，，，（且）滿足，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．時，B．時，的最小值為9C．時，D．時，的最小值為8解析：當(dāng)時，，此時不妨取過焦點垂直于x軸，不妨取，則，故A錯誤；當(dāng)時，，此時不妨設(shè)在拋物線上逆時針排列，設(shè),則，則，故，令，則，令，則

，當(dāng)時，，遞增，當(dāng)時，，遞減，故，故當(dāng)，即時，取到最小值9，故B正確；當(dāng)時，，此時不妨設(shè)在拋物線上逆時針排列，設(shè),則，即，故，，所以，故C正確；由C的分析可知：，當(dāng)時，取到最小值16，即最小值為16，故D錯誤；故選：BC例6．（2022年全國甲卷）已知直線與拋物線交于兩點，且．（1）求；（1）設(shè)F為C的焦點，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．解析：（1）設(shè)，由可得，，所以，所以，即，因為，解得：．（2）（方法1）若設(shè)，由拋物線焦半徑公式可得,故而（凌晨講數(shù)學(xué)）令,則.故 因為,所以.