87.圓錐曲線中“手電筒模型”的十二個定點定值基本原理[1]鑒于篇幅，上述定點定值的證明過程從略（其實有個印象就行，很大程度上是記不住的），需要了解證明詳情的可以參考本文的參考文獻(xiàn)二．典例分析例1.（2022新高考1卷）．已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為0．（1）求l的斜率；（2）若，求的面積．解析：（1）解法1：設(shè)點解點設(shè)直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立，消去得到，根據(jù)韋達(dá)定理，得，故，從而.因為直線的斜率之和為，所以直線的方程為，同理，可得：，.所以直線的斜率為解法2：不聯(lián)立的藝術(shù)設(shè)，由點都在雙曲線上，得，，所以，結(jié)合斜率公式，相減后變形，可得：，.因為直線的斜率之和為，即，所以，由得.②由得.③由②-③，得，從而，即的斜率為.解法3：設(shè)而不求，韋達(dá)定理將點代入雙曲線方程得，化簡得，，故雙曲線方程為，由題顯然直線的斜率存在，設(shè)，設(shè)，，，則聯(lián)立雙曲線得：，故，，，化簡得：，故，即，當(dāng)時，直線過點A，不合題意，舍去.,故.方法4.同構(gòu)雙斜率設(shè)過點的直線方程為，直線的方程為，聯(lián)立解得，代入雙曲線的方程中，整理得，這是關(guān)于的一元二次方程，方程的兩根分別為直線的斜率.因為直線的斜率之和為，即，所以，整理后分解得.因為直線不經(jīng)過點，所以，從而，即的斜率為.方法5：齊次化聯(lián)立雙曲線方程為，設(shè)，∵AP,AQ的斜率之和為0，∴，故將雙曲線方程為變形為：，且設(shè)直線，由式有：,（兩邊同除以），即，而是此方程的兩根.∴，故直線斜率為?1.方法6：曲線系點處的切線方程為，設(shè)直線的方程為，的方程為，的方程，則過這四條直線交點的二次曲線方程為又因為雙曲線過這些交點，比較的系數(shù)得.又由，所以.（2）不妨設(shè)直線的傾斜角為，因為，所以，由（1）知，，當(dāng)均在雙曲線左支時，，所以，即，解得（負(fù)值舍去）此時PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無交點，舍去；當(dāng)均在雙曲線右支時，因為，所以，即，即，解得（負(fù)值舍去），于是，直線，直線，聯(lián)立可得，，因為方程有一個根為，所以，，同理可得，，．所以，，故的面積為．例2.（2020新高考卷）已知橢圓C：的離心率為，且過點．（1）求的方程：（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．解析：（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.（2）方法1.設(shè)線解點由題意，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，可得.解得.所以.因為，將代替上面的，可得.故.所以直線的方程為.化簡，得.即直線恒過定點.方法2：韋達(dá)定理（2）設(shè)點，若直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程：消去并整理得：，可得，，因為，所以，即，根據(jù),代入整理可得：，

所以，整理化簡得，因為不在直線上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點直線過定點.當(dāng)直線的斜率不存在時，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時直線過點.令為的中點，即，若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在點，使得為定值.方法3.齊次化（2）將原坐標(biāo)系平移，原來的O點平移至點A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡得，即．設(shè)，因為則，即．代入直線方程中得．則在新坐標(biāo)系下直線過定點，則在原坐標(biāo)系下直線過定點．又，D在以為直徑的圓上．的中點即為圓心Q．經(jīng)檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．方法4.不聯(lián)立，不韋達(dá)（2）設(shè)，依題意知，因為，所以，整理得同理得相減可得即直線恒過定點.又，D在以為直徑的圓上．的中點即為圓心Q．經(jīng)檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．方法5.曲線系（2）A點處的切線方程為，即．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．由題意得．則過A，M，N三點的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數(shù)）．用直線及點A處的切線可表示為（其中為系數(shù)）．即．對比項、x項及y項系數(shù)得，將①代入②③，消去并化簡得，即．故直線的方程為，直線過定點．又，D在以為直徑的圓上．中點即為圓心Q．經(jīng)檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．例3．（2017全國1卷）已知橢圓，四點，，中恰有三點在橢圓上．（1）求橢圓的方程：（2）設(shè)直線不經(jīng)過點且與橢圓交于兩點，若直線的斜率之和為，證明：過定點．解析：（1）由條件知不在橢圓上，易得橢圓方程為．（2）=1\*GB3①當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)，得，此時直線過橢圓右頂點，無兩個交點，故不滿足．=2\*GB3②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)因為所以所以又，此時，存在使得所以直線的方程為，．例4.已知為拋物線上的一點，為的焦點，為坐標(biāo)原點．（1）求的面積；（2）若為上的兩個動點，直線與的斜率之積恒等于，作，為垂足，證明：存在定點，使得為定值．解析：（1）因為在拋物線上，所以，解得，

所以F0,1，.（2）由（1）可知的方程為，由題意可知直線不與軸平行，

設(shè)直線的方程為，則，聯(lián)立方程得整理可得，則，且①，②，，同理可得．由題意得，即，將①②代入可得，即，故直線的方程可化為，即，所以直線過定點，因為于點，所以點在以為直徑的圓上，故存在的中點，即，使得為定值．例5．已知動點到直線的距離比到點的距離大1．（1）求動點所在的曲線的方程；（2）已知點，是曲線上的兩個動點，如果直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個定值；解析：（1）已知動點到直線的距離比到點的距離大，等價于動點到直線的距離和到點的距離相等，由拋物線的定義可得：動點的軌跡是以為焦點，