95.圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)與應(yīng)用一．基本原理1.拋物線的光學(xué)性質(zhì)：如圖1所示，從拋物線的焦點(diǎn)F發(fā)出的光線，被拋物線反射后，得到的是一系列的與拋物線對(duì)稱軸平行(或重合)的光線；如圖2所示，設(shè)拋物線在P處的切線l交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，PM⊥上切線l交對(duì)稱PM⊥軸于點(diǎn)M，則焦點(diǎn)F是QM的中點(diǎn).2.橢圓的光學(xué)性質(zhì)：如圖3所示，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，被橢圓反射后，必定經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)；如圖4所示，橢圓在點(diǎn)P處的切線為l，直線PQ⊥lPQ⊥l交直線F?F?,于點(diǎn)Q,則PQ平分∠F?PF?,由角平分線性質(zhì)定理，|P3.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖5所示，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，被雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線交于另一個(gè)焦點(diǎn)；如圖6所示，雙曲線在點(diǎn)P處的切線l與直線F?F?相交于點(diǎn)Q，則PQ平分.∠F?PF?,由角平分線性質(zhì)定理，|P二．典例分析例1．歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫(kù)莫斯(公元前375年—325年)，大約100年后，阿波羅尼奧斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，比如：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)過(guò)拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn).設(shè)拋物線：，一束平行于拋物線對(duì)稱軸的光線經(jīng)過(guò)，被拋物線反射后，又射到拋物線上的點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．解析：設(shè)從點(diǎn)沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出的直線與拋物線交于點(diǎn)，易知，將代入拋物線方程得，即，設(shè)焦點(diǎn)為，則，設(shè)，由，，三點(diǎn)共線，有，化簡(jiǎn)得，解得或(舍)，即.故選：D例2．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸：反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．解析：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，由點(diǎn)在拋物線上，則，直線方程為：，即，由，消去得，解得或，由，得，于是，，而，所以的周長(zhǎng)為.故選：D

例3．阿波羅尼斯（約公元前262年～約公元前190年），古希臘著名數(shù)學(xué)家﹐主要著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書集前人之大成，進(jìn)一步提出了許多新的性質(zhì).其中也包括圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，通過(guò)雙曲線的反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)其另一個(gè)焦點(diǎn).已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，其離心率，從發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線C的右支上一點(diǎn)E的反射，反射光線為EP，若反射光線與入射光線垂直，則（

）A． B． C． D．解析：設(shè)，，，由題意知，，，所以，，，所以，又，所以，解得，所以.故選：B.例4．橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖）.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作的切線，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，若，，則（

）注：表示面積.A．2 B． C．3 D．解析：如圖，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得三點(diǎn)共線.設(shè)，則.故，解得.又，所以，所以.故選：C.例5．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出去.反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).己知拋物線為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．平分D．延長(zhǎng)交直線于點(diǎn).則三點(diǎn)共線解析：代入得，所以，又，直線方程為，即，由，解得或，所以，即，，A錯(cuò)；，B正確；，，即，，又，即，且都是銳角，所以，C正確；準(zhǔn)線的方程是，直線方程為，由代入得，即，所以在直線上，D正確.故選：BCD.例6．雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的兩條光線經(jīng)過(guò)的右支上的兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，其中共線，則（

）A．若直線的斜率存在，則的取值范圍為B．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，光線由經(jīng)過(guò)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程為6C．當(dāng)時(shí)，的面積為12D．當(dāng)時(shí)，解析：如圖所示，過(guò)點(diǎn)分別作的兩條漸近線的平行線，則的斜率分別為和，對(duì)于A中，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)均在的右支時(shí)，或，所以A正確；對(duì)于B中，光線由經(jīng)過(guò)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程為，所以B正確；對(duì)于C中，由，得，即，所以，設(shè)，則，因?yàn)椋?，整理得，解得或（舍去），所以，，所以的面積，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，在直角中，，所以，所以D正確．故選：ABD．例7．如圖甲，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線表示與橢圓C的切線垂直且過(guò)相應(yīng)切點(diǎn)的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，，由發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過(guò)的路程為8c．利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決以下問(wèn)題：橢圓C的離心率為_________；點(diǎn)P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)P處的切線為l，在l上的射影H在圓上，則橢圓C的方程為_________.解析：設(shè)橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，因?yàn)橛砂l(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過(guò)的路程為8c，所以，得，所以橢圓C的離心率為，如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，在中，，由反射角等于入射角，可得，所以，且為的中點(diǎn)，在中，，因?yàn)樵趌上的射影H在圓上，所以，所以，所以，所以，所以橢圓的方程為.故答案為：，例8．如圖所示，由圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)知道：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射（即經(jīng)橢圓在該點(diǎn)處的切線反射）后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．已知橢圓C的方程為，其左、右焦點(diǎn)分別是，，直線l與橢圓C相切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且與直線垂直的直線與橢圓長(zhǎng)軸交于點(diǎn)M，則__________.

解析：因?yàn)橹本€與橢圓C相切于點(diǎn)，所以，解得，由橢圓C的方程為，所以,,由橢圓的定義可知：，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)得到直線平分，可得.故答案為：.例9．雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì):從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線一定經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn).已知雙曲線，如圖從的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)和.若，則的離心率為__________.解析：由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知,的反向延長(zhǎng)線交于雙曲線的左焦點(diǎn),如圖所示：由，兩邊平方可得,所以，所以，所以，又，所以，設(shè)則，設(shè)，則，根據(jù)雙曲線定義，可得，所以，解得，所以在中，所以所以C的離心率為.故答案為：.例10．已知橢圓C：上、下頂點(diǎn)分別為，且短軸長(zhǎng)為，T為橢圓上（除外）任意一點(diǎn)，直線的斜率之積為，，分別為左、右焦點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程．（2）“天眼”是世界上最大、最靈敏的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡，它的外形像一口“大鍋”，可以接收到百億光年外的電磁信號(hào)．在“天眼”的建設(shè)中，用到了大量的圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，請(qǐng)以上面的橢圓C為代表，證明：由焦點(diǎn)發(fā)出的光線射到橢圓上任意一點(diǎn)M后反射，反射光線必經(jīng)過(guò)另一焦點(diǎn)．（提示：光線射到曲線上某點(diǎn)并反射時(shí)，法線垂直于該點(diǎn)處的切線）解析：（1）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)，直線的斜率分別為，，由題意知，，由得，整理得，故橢圓C的方程為．（2）當(dāng)