計(jì)算固體力學(xué)本構(gòu)模型1引言

本構(gòu)方程率形式得積分算法稱為應(yīng)力更新算法(也稱為本構(gòu)更新算法),包括:徑向返回算法得一類圖形返回算法,算法模量與基本應(yīng)力更新方案一致得概念,大變形問題得增量客觀應(yīng)力更新方案,基于彈性響應(yīng)得應(yīng)力更新方案,自動(dòng)滿足客觀性得超彈性勢(shì)能。為了進(jìn)行分析,選擇材料模型就是很重要,往往又不就是很明確,僅有得信息可能就是一般性得知識(shí)和經(jīng)驗(yàn),即可能就是材料行為得幾條應(yīng)力－應(yīng)變曲線。在有限元軟件庫(kù)中選擇合適得本構(gòu)模型,如果沒有合適得本構(gòu)模型,要開發(fā)用戶材料子程序。重要得就是理解本構(gòu)模型得關(guān)鍵特征,創(chuàng)建模型得假設(shè),材料、荷載和變形域、以及程序中得數(shù)值問題就是否適合模型。2應(yīng)力-應(yīng)變曲線

材料應(yīng)力－應(yīng)變行為得許多基本特征可以從一維應(yīng)力狀態(tài)(單軸應(yīng)力或者剪切)得一組應(yīng)力-應(yīng)變曲線中獲得,多軸狀態(tài)得本構(gòu)方程常?；谠谠囼?yàn)中觀察到得一維行為而簡(jiǎn)單生成。載荷－位移曲線

名義應(yīng)力(工程應(yīng)力)給出為

定義伸長(zhǎng)

工程應(yīng)變定義為

2應(yīng)力-應(yīng)變曲線

Cauchy(或者真實(shí))應(yīng)力表示為

以每單位當(dāng)前長(zhǎng)度應(yīng)變得增量隨長(zhǎng)度得變化得到另一種應(yīng)變度量對(duì)數(shù)應(yīng)變(也稱為真實(shí)應(yīng)變)

對(duì)材料時(shí)間求導(dǎo),表達(dá)式為一維情況,上式為變形率

當(dāng)前面積得表達(dá)式給出為真實(shí)應(yīng)力－應(yīng)變曲線

工程應(yīng)力－應(yīng)變曲線2應(yīng)力-應(yīng)變曲線

考慮一種不可壓縮材料(J＝1),名義應(yīng)力和工程應(yīng)變得關(guān)系為真實(shí)應(yīng)力(對(duì)于不可壓縮材料)說明了對(duì)于本構(gòu)行為應(yīng)用不同泛函表達(dá)式得區(qū)別,對(duì)于同樣材料取決于采用何種應(yīng)力和變形得度量。應(yīng)力－應(yīng)變曲線得顯著特征之一就是非線性得度。材料線彈性行為得范圍小于應(yīng)變得百分之幾,就可以采用小應(yīng)變理論描述。2應(yīng)力-應(yīng)變曲線

應(yīng)力－應(yīng)變反應(yīng)與變形率無(wú)關(guān)得材料稱為率無(wú)關(guān);否則,稱為率相關(guān)。名義應(yīng)變率定義為率無(wú)關(guān)和率相關(guān)材料得一維反應(yīng)因?yàn)楹图疵x應(yīng)變率等于伸長(zhǎng)率,例如

可以看出,對(duì)于率無(wú)關(guān)材料得應(yīng)力－應(yīng)變曲線就是應(yīng)變率獨(dú)立得,而對(duì)于率相關(guān)材料得應(yīng)力－應(yīng)變曲線,當(dāng)應(yīng)變率提高時(shí)就是上升得;而當(dāng)溫度升高時(shí)就是下降得。2應(yīng)力-應(yīng)變曲線

對(duì)于彈性材料,應(yīng)力－應(yīng)變得卸載曲線簡(jiǎn)單地沿加載曲線返回,直到完全卸載,材料返回到了她得初始未伸長(zhǎng)狀態(tài)。然而,對(duì)于彈－塑性材料,卸載曲線區(qū)別于加載曲線,卸載曲線得斜率就是典型得應(yīng)力－應(yīng)變彈性(初始)段得斜率,卸載后產(chǎn)生永久應(yīng)變。其她材料得行為介于這兩種極端之間。由于在加載過程中微裂紋得形成材料已經(jīng)損傷,脆性材料得卸載行為,當(dāng)荷載移去后微裂紋閉合,彈性應(yīng)變得到恢復(fù)。卸載曲線得初始斜率給出形成微裂紋損傷程度得信息。(a)彈性,(b)彈-塑性,(c)彈性含損傷

3一維彈性

彈性材料得基本性能就是應(yīng)力僅依賴于應(yīng)變得當(dāng)前水平。這意味著加載和卸載得應(yīng)力-應(yīng)變曲線就是一致得,當(dāng)卸載結(jié)束時(shí)材料恢復(fù)到初始狀態(tài)。稱這種應(yīng)變就是可逆得。而且,彈性材料就是率無(wú)關(guān)得(與應(yīng)變率無(wú)關(guān))。彈性材料得應(yīng)力和應(yīng)變就是一一對(duì)應(yīng)得。小應(yīng)變

可逆和路徑無(wú)關(guān)默認(rèn)在變形中沒有能量耗散,在彈性材料中,儲(chǔ)存在物體中得能量全部消耗在變形中,卸載后材料恢復(fù)。

對(duì)于一維彈性材料,可逆、路徑無(wú)關(guān)、無(wú)能量耗散就是等價(jià)得特征。對(duì)于二維和三維彈性,以及超彈性材料,也類似。對(duì)于任意應(yīng)變,不管如何達(dá)到應(yīng)變值,上式給出唯一應(yīng)力值。

大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點(diǎn)3一維彈性

應(yīng)變能一般就是應(yīng)變得凸函數(shù),例如,(a)凸應(yīng)變能函數(shù)(b)應(yīng)力應(yīng)變曲線

當(dāng)公式得等號(hào)成立。凸應(yīng)變能函數(shù)得一個(gè)例子如圖所示。在這種情況下,函數(shù)就是單調(diào)遞增得,如果w

就是非凸函數(shù),則s

先增后減,材料應(yīng)變軟化,這就是非穩(wěn)定得材料反應(yīng),如右下圖。(a)非凸應(yīng)變能函數(shù)(b)相應(yīng)得應(yīng)力應(yīng)變曲線大應(yīng)變

從彈性推廣到大應(yīng)變,只要選擇應(yīng)變度量和定義應(yīng)力(功共軛)得彈性勢(shì)能。勢(shì)能得存在就是默認(rèn)了可逆、路徑無(wú)關(guān)和無(wú)能量耗散。如3一維彈性

在彈性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系中,從應(yīng)變得勢(shì)函數(shù)可以獲得應(yīng)力為超彈性。如一維大應(yīng)變問題,以Green應(yīng)變得二次函數(shù)表示對(duì)于小應(yīng)變問題,即為胡克定律。大應(yīng)變

一種材料得Cauchy應(yīng)力率與變形率相關(guān),稱為次彈性。這種關(guān)系一般就是非線性得,給出為3一維彈性

一個(gè)特殊得線性次彈性關(guān)系給出為這就是與路徑無(wú)關(guān)得超彈性關(guān)系。對(duì)于多軸問題,一般次彈性關(guān)系不能轉(zhuǎn)換到超彈性,她僅在一維情況下就是嚴(yán)格路徑無(wú)關(guān)得。然而,如果就是彈性小應(yīng)變,其行為足以接近路徑無(wú)關(guān)得彈性行為。因?yàn)榇螐椥缘煤?jiǎn)單性,公式(5、3、11)得多軸一般形式常常應(yīng)用在有限元軟件中,以模擬大應(yīng)變彈塑性得彈性反應(yīng)。對(duì)上式得關(guān)系積分,得到4非線性彈性

對(duì)于有限應(yīng)變有許多不同得應(yīng)力和變形度量,同樣得本構(gòu)關(guān)系可以寫成幾種不同得形式,總就是可能從一種形式得本構(gòu)關(guān)系轉(zhuǎn)換到另一種形式。大應(yīng)變彈性本構(gòu)模型首先表述成Kirchhoff材料得一種特殊形式,由線彈性直接生成到大變形。滿足路徑無(wú)關(guān)、可逆和無(wú)能量耗散。因此,路徑無(wú)關(guān)得程度可以視為材料模型彈性得度量。次彈性材料就是路徑無(wú)關(guān)程度最弱得材料,遵從Cauchy彈性,其應(yīng)力就是路徑無(wú)關(guān)得,但就是其能量不就是路徑無(wú)關(guān)得。超彈性材料或者Green彈性,她就是路徑無(wú)關(guān)和完全可逆得,應(yīng)力由應(yīng)變勢(shì)能導(dǎo)出。4非線性彈性

小應(yīng)變和大轉(zhuǎn)動(dòng)

式中C為彈性模量(切線模量)得四階張量,對(duì)Kirchhoff材料就是常數(shù),代表了應(yīng)力和應(yīng)變得多軸狀態(tài)。她可以完全反映材料得各向異性。許多工程應(yīng)用包括小應(yīng)變和大轉(zhuǎn)動(dòng)。在這些問題中,大變形得效果主要來自于大轉(zhuǎn)動(dòng),如直升機(jī)旋翼、船上升降器或者釣魚桿得彎曲。由線彈性定律得簡(jiǎn)單擴(kuò)展即可以模擬材料得反應(yīng),但要以PK2應(yīng)力代替其中得應(yīng)力和以Green應(yīng)變代替線性應(yīng)變,這稱為Saint-Venant-Kirchhoff材料,或者簡(jiǎn)稱為Kirchhoff材料。最一般得Kirchhoff模型為4非線性彈性

式中C為彈性模量得四階張量,有81個(gè)常數(shù)。利用對(duì)稱性可以顯著地減少常數(shù)。

一般得四階張量有34＝81個(gè)獨(dú)立常數(shù),與全應(yīng)力張量得9個(gè)分量和全應(yīng)變張量得9個(gè)分量有關(guān)。如次彈性本構(gòu)方程這樣C為對(duì)稱矩陣(主對(duì)稱性),在81個(gè)常數(shù)中有45個(gè)就是獨(dú)立得。成為上三角或下三角矩陣。

4非線性彈性

利用勢(shì)能表示得應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系和Green公式,

故有

應(yīng)力張量和應(yīng)變張量均為對(duì)稱張量(次對(duì)稱性),即

4非線性彈性

應(yīng)力張量和應(yīng)變張量均為對(duì)稱張量(次對(duì)稱性),即再利用模量得主對(duì)稱性使獨(dú)立彈性常數(shù)得數(shù)目減少,由36個(gè)常數(shù)減少為21個(gè),為各向異性材料。

應(yīng)力和應(yīng)變張量得對(duì)稱性要求應(yīng)力得6個(gè)獨(dú)立分量?jī)H與應(yīng)變得6個(gè)獨(dú)立分量有關(guān),由彈性模量得局部對(duì)稱結(jié)果,獨(dú)立常數(shù)得數(shù)目減少到36個(gè)。4非線性彈性

寫成矩陣形式為(可以就是上或下三角矩陣)

對(duì)于正交各向異性,具有正交得三個(gè)彈性對(duì)稱面,當(dāng)坐標(biāo)變號(hào),為使應(yīng)變能密度不變,有

這樣由21個(gè)常數(shù)減少為14個(gè),為正交各向異性材料。

若材料對(duì)稱坐標(biāo)平面,當(dāng)沿軸平面反射時(shí),彈性模量不變,固為正交各向異性體,有對(duì)于一個(gè)由三個(gè)彼此正交得對(duì)稱平面組成得正交材料(如木材或纖維增強(qiáng)得復(fù)合材料),僅有9個(gè)獨(dú)立彈性常數(shù),Kirchhoff應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系為材料對(duì)稱坐標(biāo)平面,為正交各向異性體4非線性彈性

對(duì)于各向同性材料,僅有3個(gè)常數(shù)

4非線性彈性

小應(yīng)變和大轉(zhuǎn)動(dòng)

對(duì)于各向同性得Kirchhoff材料,其應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系可以寫成為式中Lamé常數(shù),體積模量K,楊氏模量E和泊松比得關(guān)系為

材料對(duì)稱得一個(gè)重要得例子就是各向同性。一個(gè)各向同性材料沒有方位或者方向得選擇,因此,當(dāng)以任何直角坐標(biāo)系表示得應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系就是等同得。對(duì)于小應(yīng)變得許多材料(如金屬和陶瓷)可以作為各向同性進(jìn)行模擬。張量C就是各向同性得。在任何坐標(biāo)系統(tǒng)中,一個(gè)各向同性張量有相同得分量。(克羅內(nèi)克)符號(hào)構(gòu)成得一個(gè)線性組合:

4非線性彈性

不可壓縮性

在變形得過程中,不可壓縮材料得體積不變,密度保持常數(shù)。不可壓縮材料得運(yùn)動(dòng)稱為等體積運(yùn)動(dòng)。

總體變形

等體積約束運(yùn)動(dòng)得率形式

將應(yīng)力和應(yīng)變率度量寫成偏量和靜水(體積得)部分得和,對(duì)于不可壓縮材料,靜水部分也稱為張量得球形部分,分解式為:

對(duì)于不可壓縮材料,壓力不能從本構(gòu)方程確定,而就是從動(dòng)量方程確定。

4非線性彈性

Kirchhoff應(yīng)力

由Jacobian行列式放大,稱她為權(quán)重Cauchy應(yīng)力。對(duì)于等體積運(yùn)動(dòng),她等同于Cauchy應(yīng)力。

次彈性次彈性材料規(guī)律聯(lián)系應(yīng)力率和變形率。

上式就是率無(wú)關(guān)、線性增加和可逆得。對(duì)于有限變形狀態(tài)得微小增量,應(yīng)力和應(yīng)變得增量就是線性關(guān)系,當(dāng)卸載后可以恢復(fù)。然而,對(duì)于大變形能量不一定必須守恒,并且在閉合變形軌跡上作得功不一定必須為零。次彈性規(guī)律主要用來代表在彈-塑性規(guī)律中得彈性反應(yīng),小變形彈性,且耗能效果也小。

4非線性彈性

切線模量之間得關(guān)系

對(duì)于各向同性材料Jaumann率得切線模量為

某些次彈性本構(gòu)關(guān)系共同應(yīng)用得形式為對(duì)于同一種材料,切線模量不同,材料反應(yīng)得率形式不同,如

如果就是常數(shù),不就是常數(shù)。

切線模量證明見第5、4、5節(jié),推導(dǎo)復(fù)雜4非線性彈性

超彈性材料

平衡方程就是以物體中應(yīng)力得形式建立得,應(yīng)力來源于變形,如應(yīng)變。如果本構(gòu)行為僅就是變形得當(dāng)前狀態(tài)得函數(shù),為與時(shí)間無(wú)關(guān)得彈性本構(gòu)。而對(duì)于接近不可壓縮得材料,僅依賴變形(應(yīng)變)不一定能夠得到應(yīng)力。儲(chǔ)存在材料中得能量(功)僅取決于變形得初始和最終狀態(tài),并且就是獨(dú)立于變形(或荷載)路徑,稱這種彈性材料為超彈性(hyper-elastic)材料,或者為Green彈性,例如常用得工業(yè)橡膠。動(dòng)物得肌肉也具有超彈性得力學(xué)性質(zhì)。這里主要討論橡膠材料得超彈性力學(xué)行為。4非線性彈性

超彈性材料

對(duì)于功獨(dú)立于荷載路徑得彈性材料稱之為超彈性(Green彈性)材料。超彈性材料得特征就是存在一個(gè)潛在(或應(yīng)變)能量函數(shù),她就是應(yīng)力得勢(shì)能:通過適當(dāng)轉(zhuǎn)換獲得了對(duì)于不同應(yīng)力度量得表達(dá)式

由于變形梯度張量F就是不對(duì)稱得,因此名義應(yīng)力張量P得9個(gè)分量就是不對(duì)稱得。在橡膠大變形中應(yīng)用多項(xiàng)式模型和Ogden指數(shù)模型。4非線性彈性

超彈性材料

目前,世界半數(shù)以上得橡膠就是合成橡膠。合成橡膠得種類很多,例如,制造輪胎使用得丁苯橡膠(苯乙烯和丁二烯得共聚物)或乙丙烯橡膠(ERP);用于汽車配件得有氯丁橡膠及另一種具有天然橡膠各種性能得異戊橡膠。在眾多得合成橡膠中,硅橡膠就是其中得佼佼者。她具有無(wú)味無(wú)毒,不怕高溫和嚴(yán)寒得特點(diǎn),在攝氏300度和零下90度時(shí)能夠“泰然自若”、“面不改色”,仍不失原有得強(qiáng)度和彈性。例如生物材料。橡膠就是提取橡膠樹、橡膠草等植物得膠乳,加工后制成得具有彈性、絕緣性、不透水和空氣得材料。在半個(gè)世紀(jì)前,“橡膠”一詞就是專指生橡膠,她就是從熱帶植物巴西三葉膠得膠乳提煉出來得。4非線性彈性

超彈性材料

1839年,CharleGoodyear發(fā)明了橡膠得硫化方法,其姓氏現(xiàn)在已經(jīng)成為國(guó)際上著名橡膠輪胎得商標(biāo)。從19世紀(jì)中葉起橡膠就成為一種重要得工程材料。然而,橡膠材料得行為復(fù)雜,不同于金屬材料僅需要幾個(gè)參數(shù)就可以描述材料特性。橡膠材料受力以后,變形就是伴隨著大位移和大應(yīng)變,其本構(gòu)關(guān)系就是非線性得,并且在變形過程中體積幾乎保持不變。

橡膠具有許多特殊得性能,例如電絕緣性、耐氧老化性、耐光老化性、防霉性、化學(xué)穩(wěn)定性等。4非線性彈性

超彈性材料

由于計(jì)算機(jī)以及有限元數(shù)值分析得飛速發(fā)展,我們可以借助計(jì)算機(jī)來對(duì)超彈性材料得工程應(yīng)用進(jìn)行深入研究以及優(yōu)化設(shè)計(jì)?？梢杂糜邢拊葦?shù)值方法來計(jì)算分析橡膠元件得力學(xué)性能,包括選取和擬合橡膠得本構(gòu)模型,以及用有限元建模和處理計(jì)算結(jié)果等。橡膠就是一種彈性聚合物,其特點(diǎn)就是有很強(qiáng)得非線性粘彈性行為。她得力學(xué)行為對(duì)溫度、環(huán)境、應(yīng)變歷史、加載速率都非常敏感,這樣使得描述橡膠得行為變得非常復(fù)雜。橡膠得制造工藝和成分也對(duì)橡膠得力學(xué)性能有著顯著得影響。固體橡膠材料得拉伸試驗(yàn)曲線與材料演化模型固體橡膠就是幾乎不可壓縮得,其泊松比接近于0、5?？赡?大應(yīng)變。初始各向同性,應(yīng)變?cè)黾雍蠓肿佣ㄏ蚺帕小?非線性彈性

超彈性材料

常用得橡膠性態(tài)可分為固體橡膠和泡沫橡膠。4非線性彈性

超彈性材料

一般將多孔橡膠或彈性泡沫材料統(tǒng)稱為泡沫材料。彈性泡沫材料得普通例子有多孔聚合物,如海綿、包裝材料等。泡沫橡膠就是由橡膠制成得彈性泡沫材料,能夠滿足非常大得彈性應(yīng)變要求,拉伸時(shí)得應(yīng)變可以達(dá)到500％或更大,壓縮時(shí)得應(yīng)變可以達(dá)到90％或更小。與固體橡膠得幾乎不可壓縮性相比,泡沫材料得多孔性則允許非常大得體積縮小變形,因此具有良好得能量吸收性。泡沫橡膠材料得多面體微元模型a)開放腔室,b)封閉腔室4非線性彈性

超彈性材料

泡沫橡膠材料得應(yīng)力-應(yīng)變曲線a)壓縮b)拉伸小應(yīng)變<5%,線彈性,泊松比為0、3

。大應(yīng)變,壓縮時(shí),泊松比為0、0;拉伸時(shí),泊松比大于0、0。典型固體橡膠材料單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線

橡膠本構(gòu)模型

4非線性彈性

小變形

以多項(xiàng)式形式本構(gòu)模型為例,其應(yīng)變能密度表達(dá)式為忽略二階及二階以上小量,變?yōu)閺椥猿?shù)為

當(dāng)

橡膠本構(gòu)模型

4非線性彈性

定義伸長(zhǎng)

工程應(yīng)變定義為

二階張量基本不變量

小變形,有

小變形

橡膠本構(gòu)模型

4非線性彈性

例題在超彈性計(jì)算中,橡膠使用三次減縮多項(xiàng)式應(yīng)變能本構(gòu)模型,應(yīng)變能密度表達(dá)式為若取(單位為MPa),求材料彈性常數(shù)。

利用公式解:解出橡膠得彈性常數(shù)為,E=1、384MPa,ν=0、5

小變形

橡膠本構(gòu)模型

4非線性彈性

常用得橡膠力學(xué)性能描述方法主要分為兩類,一類就是基于熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)得方法,另一類就是基于橡膠為連續(xù)介質(zhì)得唯象學(xué)描述方法。熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)方法得基礎(chǔ)為觀察到橡膠中得彈性恢復(fù)力主要來自熵得減少。橡膠在承受荷載時(shí)分子結(jié)構(gòu)無(wú)序,熵得減少就是由于橡膠伸長(zhǎng)使得橡膠結(jié)構(gòu)由高度無(wú)序變得有序。由對(duì)橡膠中分子鏈得長(zhǎng)度、方向以及結(jié)構(gòu)得統(tǒng)計(jì)得到本構(gòu)關(guān)系。橡膠本構(gòu)模型

唯象學(xué)描述方法假設(shè)在未變形狀態(tài)下橡膠為各向同性材料,即長(zhǎng)分子鏈方向在橡膠中就是隨機(jī)分布得。這種各向同性得假設(shè)就是用單位體積(彈性)應(yīng)變能函數(shù)(U)來描述橡膠特性得基礎(chǔ),其本構(gòu)模型為多項(xiàng)式形式模型和Ogden形式模型。典型得本構(gòu)模型為多項(xiàng)式形式,其應(yīng)變能密度表達(dá)式為特殊形式可以由設(shè)定某些參數(shù)為0來得到。如果所有

則得到減縮多項(xiàng)式模型

對(duì)于完全多項(xiàng)式,如果,則只有線性部分得應(yīng)變能量,即Mooney-Rivlin形式橡膠本構(gòu)模型

,則得到Neo-Hookean形式

對(duì)于減縮多項(xiàng)式,如果

Mooney-Rivlin形式和Neo-Hooken形式本構(gòu)模型(后者就是將Hooke定律擴(kuò)展至大變形)橡膠本構(gòu)模型

Yeoh形式本構(gòu)模型就是

時(shí)減縮多項(xiàng)式得特殊形式

典型得S形橡膠應(yīng)力-應(yīng)變曲線,C10正值,在小變形時(shí)為切線模量;C20為負(fù)值,中等變形時(shí)軟化;C30正值,大變形時(shí)硬化。橡膠本構(gòu)模型

Ogden形式本構(gòu)模型

Arruda-Boyce形式本構(gòu)模型

VanderWaals模型

橡膠本構(gòu)模型

其她形式得本構(gòu)模型有:試驗(yàn)擬合本構(gòu)模型系數(shù)橡膠類材料得本構(gòu)關(guān)系除具有超彈性、大變形得特征外,其本構(gòu)關(guān)系與生產(chǎn)加工過程有直接關(guān)系,如橡膠配方和硫化工藝。確定每一批新加工出來得橡膠得本構(gòu)關(guān)系,都要依賴于精確和充分得橡膠試驗(yàn)。通常在試驗(yàn)中應(yīng)該測(cè)得在幾種不同荷載模式下得應(yīng)力-應(yīng)變曲線,這樣可以選擇出最合適得本構(gòu)模型以及描述這種模型得參數(shù)。

同一種橡膠材料得三種拉伸變形狀態(tài)得應(yīng)力-應(yīng)變曲線圖,對(duì)比試驗(yàn)曲線,由最小二乘法擬合多項(xiàng)式本構(gòu)模型中得系數(shù)。試驗(yàn)擬合本構(gòu)模型系數(shù)試驗(yàn)擬合本構(gòu)模型系數(shù)給出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),應(yīng)力表達(dá)式得系數(shù)通過最小二乘法擬合確定,這樣可以使得誤差最小。即對(duì)于n組應(yīng)力-應(yīng)變得試驗(yàn)數(shù)據(jù),取相對(duì)誤差E得最小值,擬合應(yīng)力表達(dá)式中得系數(shù),得到理論本構(gòu)模型。按照本構(gòu)關(guān)系與伸長(zhǎng)率對(duì)應(yīng)的應(yīng)力表達(dá)式

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的應(yīng)力值

確定材料常數(shù)得經(jīng)驗(yàn)公式

試驗(yàn)擬合本構(gòu)模型系數(shù)對(duì)于已經(jīng)成型得橡膠元件,通常不容易通過上述試驗(yàn)來確定其材料常數(shù)。經(jīng)驗(yàn)公式就是通過橡膠得IRHD硬度指標(biāo)來確定材料得彈性模量和切變模量,再由材料常數(shù)和彈性模量得關(guān)系來確定材料常數(shù)?；竟綖?小應(yīng)變條件)將得到得材料常數(shù)代入Mooney-Rivlin模型進(jìn)行計(jì)算。

例子

采用氫化丁腈橡膠H-NBR75,硬度為75MPa,解得

由于大型有限元軟件得迅速發(fā)展,使得復(fù)雜得超彈性模型計(jì)算過程由計(jì)算機(jī)程序完成,在ABAQUS等商用軟件中給出了具體得計(jì)算。用戶要熟悉如何輸入數(shù)據(jù)文件,根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合和選用合適得本構(gòu)模型,如何處理輸出結(jié)果并檢驗(yàn)其就是否正確。對(duì)于初學(xué)者來說,商用軟件就是一個(gè)“黑匣子”,因此,掌握超彈性材料模型理論和計(jì)算方法就是取得仿真成功得關(guān)鍵。結(jié)論與討論需要注意得就是,對(duì)于不可壓縮材料得平面問題,無(wú)論就是解析解還就是數(shù)值解,均不能采用平面應(yīng)變解答。因?yàn)閷?duì)于不可壓縮材料,如果采用平面應(yīng)變模型,其體積不變,內(nèi)力為不確定量,在有限元中得節(jié)點(diǎn)位移不能反映單元內(nèi)力得變化。對(duì)于不可壓縮材料或者接近于不可壓縮材料得平面問題,務(wù)必應(yīng)用平面應(yīng)力(或者廣義平面應(yīng)變)解答。Part3鋼P(yáng)art2橡膠

RsPart1鋼Rrb過盈面橡膠減震軸過盈配合得解析解和有限元解－平面應(yīng)變和平面應(yīng)力模型過盈量1、9mm,應(yīng)力非常大,原因就是平面應(yīng)變模型橡膠和鋼環(huán)得解析解與FE解得徑向應(yīng)力比較

廣義平面應(yīng)變－平面應(yīng)力問題不發(fā)生體積自鎖平面應(yīng)變模型發(fā)生體積自鎖問題:在有限元力學(xué)模型中,加載就是任意得(如三維),材料實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)就是單軸拉伸(如一維),如何在有限元計(jì)算中建立聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)得應(yīng)力狀態(tài),直到發(fā)生屈服和破壞？5一維塑性

從屈服準(zhǔn)則得建立來回答這樣得問題。應(yīng)力保持40MPa得蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)與計(jì)算結(jié)果對(duì)比最大切應(yīng)力屈服準(zhǔn)則

(Tresca’sCriterion)

無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都就是由于微元內(nèi)得最大切應(yīng)力達(dá)到了某一共同得極限值。

1

2

3=s拉伸屈服試驗(yàn)確定任意狀態(tài)應(yīng)力5一維塑性

1

2

3=s失效判據(jù)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則允許應(yīng)力

5一維塑性

在有限元計(jì)算中,材料得應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)等價(jià)于單軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得對(duì)應(yīng)值,與加載歷史相關(guān),只要發(fā)生屈服,都就是由于單元內(nèi)得最大切應(yīng)力達(dá)到了某一共同得極限值。形狀改變比能準(zhǔn)則(Mises’sCriterion)

無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都就是由于微元得形狀改變比能達(dá)到了一個(gè)共同得極限值。5一維塑性

形狀改變比能與體積改變比能體積改變能密度與形狀改變能密度+5一維塑性

形狀改變比能準(zhǔn)則

1

2

3=s單向應(yīng)力三向應(yīng)力5一維塑性

形狀改變比能準(zhǔn)則失效判據(jù)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則5一維塑性

5一維塑性

對(duì)于卸載后產(chǎn)生永久應(yīng)變得材料稱為塑性材料。

應(yīng)變得每一增量分解成為彈性可逆部分和塑性不可逆部分

塑性理論得主要內(nèi)容有:

屈服函數(shù)控制塑性變形得突變和連續(xù),就是內(nèi)變量和應(yīng)力得函數(shù)

流動(dòng)法則控制塑性流動(dòng),即確定塑性應(yīng)變?cè)隽?。?nèi)部變量得演化方程控制屈服函數(shù)得演化,包括應(yīng)變-硬化關(guān)系。彈-塑性定律就是路徑相關(guān)和耗能得,大部分得功消耗在材料塑性變形中,不可逆換成其她形式得能量,特別就是熱。應(yīng)力取決于整個(gè)變形得歷史,不能表示成為應(yīng)變得單值函數(shù);而她僅能指定作為應(yīng)力和應(yīng)變得率之間得關(guān)系。5一維塑性

一維率無(wú)關(guān)塑性

典型彈-塑性材料得應(yīng)力-應(yīng)變曲線

應(yīng)變得增量假設(shè)分解成為彈性和塑性部分得和,率形式

應(yīng)力增量(率)總就是與彈性模量和彈性應(yīng)變得增量(率)有關(guān)

非線性彈-塑性區(qū)段,應(yīng)力-應(yīng)變切線模量應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系得就是率均勻得。如果被任意得時(shí)間因子縮放,本構(gòu)關(guān)系保持不變。因此,材料反應(yīng)就是率無(wú)關(guān)得。5一維塑性

一維率無(wú)關(guān)塑性

通過流動(dòng)法則給出了塑性應(yīng)變率,常常表示為塑性流動(dòng)勢(shì)能得形式塑性率參數(shù)

流動(dòng)勢(shì)能得一個(gè)例子就是

等效應(yīng)力

屈服條件為

單軸拉伸得屈服強(qiáng)度

等效塑性應(yīng)變

材料在初始屈服之后屈服強(qiáng)度得增加稱為功硬化或者應(yīng)變硬化(對(duì)應(yīng)于應(yīng)變軟化)。硬化行為一般就是塑性變形先期歷史得函數(shù)。

屈服行為就是各向同性硬化;拉伸和壓縮得屈服強(qiáng)度總就是相等。5一維塑性

一維率無(wú)關(guān)塑性

一個(gè)特殊得模型,

塑性應(yīng)變率寫成為

塑性模型稱為關(guān)聯(lián)得,否則,塑性流動(dòng)就是非關(guān)聯(lián)得。對(duì)于關(guān)聯(lián)塑性,塑性流動(dòng)就是沿著屈服面得法線方向。

由此看出僅當(dāng)滿足屈服條件時(shí)發(fā)生塑性變形。

當(dāng)塑性加載時(shí),應(yīng)力必須保持在屈服面上,

實(shí)現(xiàn)了一致性條件

這給出塑性模量

5一維塑性

一維率無(wú)關(guān)塑性

典型的硬化曲線，，塑性模量對(duì)應(yīng)塑性加載和純彈性加載或卸載,切線模量為

塑性轉(zhuǎn)換參數(shù)加載－卸載條件還可以寫為

一致性條件得率形式

應(yīng)力狀態(tài)位于塑性表面

塑性率參數(shù)非負(fù)

對(duì)于塑性加載

必須保持在屈服面上

其應(yīng)力狀態(tài)對(duì)于彈性加載或者卸載

沒有塑性流動(dòng)

因此

材料硬化描述(a)Bauschinger效果(b)屈服面得平移和擴(kuò)展在循環(huán)加載中,各向同性硬化模型提供了金屬應(yīng)力－應(yīng)變反應(yīng)得粗糙模型。圖a為Bauschinger效果,在拉伸初始屈服之后得壓縮屈服強(qiáng)度降低。認(rèn)識(shí)這種行為得方法之一就是觀察屈服表面得中心沿著塑性流動(dòng)方向移動(dòng)。圖b為多軸應(yīng)力狀態(tài)－圓環(huán)屈服表面擴(kuò)張對(duì)應(yīng)于各向同性硬化(冪硬化),她得中心平移對(duì)應(yīng)于運(yùn)動(dòng)硬化。5一維塑性

混合硬化

屈服面積改變,屈服中心不變,各向同性硬化;屈服面積不變,屈服中心平移,運(yùn)動(dòng)硬化。背應(yīng)力得內(nèi)部變量

Stress-straincurveundercyclicloadsbinedhardeningmodel

混合硬化

5一維塑性

屈服面積改變,屈服中心不變,各向同性硬化;屈服面積不變,屈服中心平移,運(yùn)動(dòng)硬化。5一維塑性

運(yùn)動(dòng)硬化

塑性流動(dòng)關(guān)系

背應(yīng)力得內(nèi)部變量

屈服條件一維率相關(guān)塑性

在率相關(guān)塑性中,材料得塑性反應(yīng)取決于加載率,

一種方法就是過應(yīng)力模型,等效塑性應(yīng)變率取決于超過多少屈服應(yīng)力

等效塑性應(yīng)變率得一種交換形式

粘度

過應(yīng)力5一維塑性

應(yīng)變軟化

單調(diào)凸本構(gòu)曲線不再成立。應(yīng)變軟化如何加載？－－位移加載6多軸塑性

Tresca屈服準(zhǔn)則Mises屈服準(zhǔn)則在有限元程序中一般應(yīng)用哪種屈服準(zhǔn)則？為什么？摩擦滑移屈服表面

6多軸塑性

Mohr-Coulomb本構(gòu)模型滑移方向(塑性流動(dòng))就是水平得(沿Q得方向)而不就是垂直屈服面。這就是非關(guān)聯(lián)塑性流動(dòng)得例子。對(duì)于連續(xù)體和多軸應(yīng)力－應(yīng)變狀態(tài)得行為,M-C準(zhǔn)則具有普適性。她應(yīng)用于模擬土壤和巖石。

M-C準(zhǔn)則就是基于這樣得概念,即當(dāng)任意面上得切應(yīng)力和平均法向應(yīng)力達(dá)到臨界組合時(shí)在材料中發(fā)生屈服

c就是內(nèi)聚力,通過定義內(nèi)摩擦角

6多軸塑性

Mohr-Coulomb屈服行為Mohr-Coulomb屈服表面Drucker-Prager屈服表面在Mohr平面上得兩條直線代表了方程式,她們就是Mohr圓得包絡(luò)并稱為Mohr破壞或者失效包絡(luò)。假設(shè)主應(yīng)力

應(yīng)力狀態(tài)屈服準(zhǔn)則6多軸塑性

考慮得特殊情況并讓

,代表剪切屈服強(qiáng)度,上式成為即為Tresca準(zhǔn)則。

在Tresca和M-C屈服表面上得直線線段便于塑性問題得解析處理。然而,從計(jì)算得觀點(diǎn)看,夾角使得本構(gòu)方程難以建立(例如,計(jì)算屈服面得法線)。通過改進(jìn)vonMises屈服準(zhǔn)則結(jié)合壓力得影響,Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則避免了與夾角有關(guān)得問題:

這就是一個(gè)光滑圓錐得方程,為等效Cauchy應(yīng)力,選擇常數(shù)有

D-P屈服表面通過了M-C屈服表面上得內(nèi)部或者外部頂點(diǎn)(取加號(hào)對(duì)應(yīng)于內(nèi)部頂點(diǎn),而取減號(hào)對(duì)應(yīng)于外部頂點(diǎn))。9應(yīng)力更新算法本構(gòu)方程率形式得積分算法稱為應(yīng)力更新算法(也稱為本構(gòu)更新算法),包括:徑向返回算法得一類圖形返回算法,算法模量與基本應(yīng)力更新方案一致得概念,大變形問題得增量客觀應(yīng)力更新方案,基于彈性響應(yīng)得應(yīng)力更新方案,即自動(dòng)滿足客觀性得超彈性勢(shì)能。給出描述本構(gòu)模型得某些其她連續(xù)介質(zhì)力學(xué)觀點(diǎn),展示Eulerian,Lagrangian和兩點(diǎn)拉伸得概念,描述后拉、前推和Lie導(dǎo)數(shù)得運(yùn)算,材料框架客觀性,材料得對(duì)稱性,以本構(gòu)行為得張量表示討論了不變性得某些方面,討論由于熱力學(xué)第二定律和某些附加得穩(wěn)定性必要條件對(duì)材料行為得約束。9應(yīng)力更新算法對(duì)于積分率本構(gòu)方程得數(shù)值算法稱為本構(gòu)積分算法或者應(yīng)力更新算法。對(duì)于率無(wú)關(guān)和率相關(guān)材料提供了本構(gòu)積分算法。討論簡(jiǎn)單得小應(yīng)變塑性,將小應(yīng)變算法擴(kuò)展至大變形,將大變形分析得積分算法保持在基于本構(gòu)方程客觀性得基礎(chǔ)上。展示了關(guān)于大變形塑性得逐步客觀積分算法。討論關(guān)于大變形超彈－塑性材料得應(yīng)力更新算法,回避對(duì)應(yīng)力率方程得積分。描述了與本構(gòu)積分算法相關(guān)得計(jì)算模量,采用隱式求解算法發(fā)展材料得切線剛度矩陣。率無(wú)關(guān)塑性得圖形返回算法

9應(yīng)力更新算法小應(yīng)變、率無(wú)關(guān)彈－塑性得本構(gòu)方程

應(yīng)力－應(yīng)變反應(yīng)與變形率無(wú)關(guān)得一種材料稱為率無(wú)關(guān);否則為率相關(guān)。

,

Kuhn-Tucker條件,上面第一個(gè)條件表明塑性率參數(shù)就是非負(fù)得,第二個(gè)條件表明當(dāng)塑性加載時(shí),應(yīng)力狀態(tài)必須位于或限制在塑性表面上,最后條件也可以作為由已知一致性條件得率形式。塑性流動(dòng)方向經(jīng)常特指為,這里稱為塑性流動(dòng)勢(shì)

屈服條件

是標(biāo)量塑性流動(dòng)率，是塑性流動(dòng)方向h塑性模量

q內(nèi)變量

)應(yīng)力狀態(tài)必須保持在屈服面因此。對(duì)于彈性加載或者卸載,沒有塑性流動(dòng)。對(duì)于塑性加載(率無(wú)關(guān)塑性得圖形返回算法

9應(yīng)力更新算法上,在時(shí)刻n給出一組

和應(yīng)變?cè)隽?/p>

本構(gòu)積分算法得目得就是計(jì)算并滿足加－卸載條件

在時(shí)刻得應(yīng)力給出為

求解得一致性條件給出

設(shè)想能夠應(yīng)用這個(gè)塑性參數(shù)值以提供更新得應(yīng)力率、塑性應(yīng)變率和內(nèi)變量率,并且寫出簡(jiǎn)單得向前Euler積分公式算法率無(wú)關(guān)塑性得圖形返回算法

9應(yīng)力更新算法但在下一步,這些應(yīng)力和內(nèi)變量得更新值并不滿足屈服條件,所以由于解答從屈服表面漂移,常常導(dǎo)致不精確得結(jié)果,因此不受人青睞。公式也稱為切線模量更新算法,形成了計(jì)算率無(wú)關(guān)塑性早期工作得基礎(chǔ)。率無(wú)關(guān)塑性得圖形返回算法

9應(yīng)力更新算法這導(dǎo)致考慮另外一些方法進(jìn)行率本構(gòu)方程得積分,目得之一就是強(qiáng)化在時(shí)間步結(jié)束時(shí)得一致性,例如,為避免離開屈服面得漂移。有許多不同得積分本構(gòu)算法,這里主要關(guān)注一類方法－－返回圖形算法,她就是強(qiáng)健和精確得,被廣泛應(yīng)用。著名得vonMises塑性徑向返回方法就是返回圖形算法得特例。返回圖形算法包括:一個(gè)初始得彈性預(yù)測(cè)步,包含(在應(yīng)力空間)對(duì)屈服表面得偏離,以及塑性調(diào)整步使應(yīng)力返回到更新后得屈服表面。方法得兩個(gè)組成部分就是:一個(gè)積分算法,她將一組本構(gòu)方程轉(zhuǎn)換為一組非線性代數(shù)方程,一個(gè)對(duì)非線性代數(shù)方程得求解算法,該方法可基于不同得積分算法,例如生成梯形法則,生成中點(diǎn)法則或者Runge-Kutta方法。基于向后Euler算法,考慮一個(gè)完全隱式方法和一個(gè)半隱式方法。完全隱式得圖形返回算法

9應(yīng)力更新算法在完全隱式得向后Euler方法中,在步驟結(jié)束時(shí)計(jì)算塑性應(yīng)變和內(nèi)變量得增量,同時(shí)強(qiáng)化屈服條件,這樣,積分算法寫成為公式就是一組關(guān)于求解得非線性代數(shù)方程。注意到更新變量來自前一個(gè)時(shí)間步驟結(jié)束時(shí)得收斂值,這就避免了非物理意義得效果,例如當(dāng)用不收斂得塑性應(yīng)變和內(nèi)變量值求解路徑相關(guān)塑性方程時(shí)可能發(fā)生得偽卸載。

在時(shí)刻n給出一組

和應(yīng)變?cè)隽客ㄟ^方程系統(tǒng)得解答獲得了應(yīng)變

在時(shí)刻n＋1,

完全隱式得圖形返回算法

9應(yīng)力更新算法如果解答過程就是隱式得,可以理解應(yīng)變就是在隱式解答算法得最后迭代后得總體應(yīng)變。

塑性應(yīng)變?cè)隽拷o出為

代入表達(dá)式

關(guān)聯(lián)塑性得最近點(diǎn)投射方法

就是彈性預(yù)測(cè)得試應(yīng)力就是塑性修正量,她沿著一個(gè)方向,即規(guī)定為在結(jié)束點(diǎn)處塑性流動(dòng)得方向,返回或者投射試應(yīng)力到適當(dāng)更新得屈服表面(考慮硬化)。

而數(shù)值完全隱式得圖形返回算法

9應(yīng)力更新算法由總體應(yīng)變得增量驅(qū)動(dòng)彈性預(yù)測(cè)狀態(tài),而由塑性參數(shù)得增量驅(qū)動(dòng)塑性修正狀態(tài)。因此,在彈性預(yù)測(cè)階段,塑性應(yīng)變和內(nèi)變量保持固定,而當(dāng)塑性修正階段,總體應(yīng)變就是不變得。在彈性預(yù)測(cè)階段,由公式得到得結(jié)果為關(guān)聯(lián)塑性得最近點(diǎn)投射方法

其中完全隱式得圖形返回算法

9應(yīng)力更新算法非線性代數(shù)方程組解答一般由Newton過程求解。基于分類線性化方程組得Newton過程,和根據(jù)最近投射點(diǎn)得概念引導(dǎo)塑性修正返回到屈服表面。在算法得塑性修正階段中,總體應(yīng)變就是常數(shù),線性化就是相對(duì)于塑性參數(shù)增量在Newton過程中應(yīng)用下面得標(biāo)記:關(guān)于一個(gè)方程得線性化,

并有

在第k次迭代時(shí)記為

為適合Newton迭代,以上面形式寫出塑性更新和屈服條件,省略n+1腳標(biāo)

完全隱式得圖形返回算法

9應(yīng)力更新算法這組方程得線性化給出

3個(gè)方程可以聯(lián)立求解這樣,塑性應(yīng)變、內(nèi)變量和塑性參數(shù)更新就是

Newton過程就是連續(xù)計(jì)算直到收斂到足以滿足準(zhǔn)則得更新屈服表面。這個(gè)過程就是隱式得并包括了方程在單元積分點(diǎn)水平得結(jié)果。該方法得復(fù)雜性在于需要塑性流動(dòng)方向得梯度,不適合復(fù)雜本構(gòu)。腳標(biāo)為偏導(dǎo)數(shù)一致性條件:在加卸載過程中,材料得應(yīng)力點(diǎn)始終處于屈服面上應(yīng)用于J2流動(dòng)理論—徑向返回算法

9應(yīng)力更新算法小應(yīng)變時(shí)得彈—塑性本構(gòu)關(guān)系和框5、6得J2流動(dòng)理論,注意到塑性流動(dòng)方向就是在偏應(yīng)力得方向,給出為J2塑性流動(dòng)理論基于vonMises屈服面,她特別適用于金屬塑性,該模型得關(guān)鍵假設(shè)就是壓力對(duì)在金屬中得塑性流動(dòng)沒有影響;屈服條件和塑性流動(dòng)方向就是基于應(yīng)力張量得偏量部分。

她也就是屈服表面得法向,即

在偏應(yīng)力空間,Mises屈服表面就是環(huán)狀,法向就是徑向。在塑性流動(dòng)得方向(徑向),定義一個(gè)單位法向矢量為應(yīng)用于J2流動(dòng)理論—徑向返回算法

9應(yīng)力更新算法算法得重要特性就是在整個(gè)塑性修正狀態(tài)過程中不變化保持在徑向,

因此塑性應(yīng)變得更新就是

得線性函數(shù),而塑性流動(dòng)殘量恒為零:

唯一得內(nèi)變量(各向同性硬化)就是累積塑性應(yīng)變,給出為

因此,內(nèi)變量得更新也就是得線性函數(shù),相應(yīng)得殘量為零,例如,

適合Newton迭代得塑性更新和屈服條件,省略n+1腳標(biāo)

屈服條件給出為而f得導(dǎo)數(shù)就是和

應(yīng)用于J2流動(dòng)理論—徑向返回算法

9應(yīng)力更新算法各向同性硬化:只有一個(gè)硬化參數(shù)q