阿波羅尼斯圓圓是高中數(shù)學(xué)中一種簡單但又非常重要的曲線，近幾年高考題和高考模擬題中，經(jīng)常出現(xiàn)一類有關(guān)圓的題目，這類題目中，有一個共性是有關(guān)圓的信息沒有直接在條件中給出，而是以“隱性”的形式出現(xiàn)，涉及軌跡方程、定值、定點、弦長、面積等解析幾何核心問題，可以通過分析、轉(zhuǎn)化，可以利用圓的知識求解，而阿波羅尼斯圓就是這一類問題.1.阿波羅尼斯圓的定義在平面上給定兩點A，B，設(shè)P點在同一平面上且滿足|PA||PB|=λ，當λ>0且λ≠1時，P點的軌跡是圓，稱之為阿波羅尼斯圓.(λ=1時，2.阿波羅尼斯圓的證明設(shè)Px，y，A-a，0，Ba，0.若|PA||PB|=λ(λ>0且λ≠1)，則點P的軌跡方程是x-λ2+1證明：由|PA|=λ|PB|及兩點間距離公式，可得x+a2+y2=λ化簡可得1-λ2x2+1-λ2y2+21+λ2(1)當λ=1時，得x=0，此時動點的軌跡是線段AB的垂直平分線；(2)當λ≠1時，方程①兩邊都除以1-λ2得x2+y2+2a1+λ2x1x-λ2+1λ2-1a2+y2=2aλλ(1)已知平面直角坐標系中，A(-2，0)，B(2，0)，則滿足|PA|=2|PB|的點P的軌跡的圓心坐標為.

(2)已知圓O：x2+y2=1和點A-12，0，若定點B(b，0)b≠-12和常數(shù)λ滿足：對圓O上任意一點M，都有|MB|=λ|MA|，則λ=答案：(1)103，0(2)解析：(1)設(shè)P(x，y)，由|PA|=2|PB|，得x+22+y2=2(x-2)2+y2(2)設(shè)點M(x，y)，由|MB|=λ|MA|，得x-b2+y2=λ2x+122+y2，整理得x2+y2-2如圖所示，S△MAB=12|AB|·|yM|，由圖可知，當|yM|=1，即M的坐標為(0，1)或(0，-1)時，S△MAB取得最大值，故△MAB面積的最大值為12×-12--對點練1.(多選)在平面直角坐標系中，M(-2，0)，N(1，0)，A(3，1)，|PM|=2|PN|，設(shè)點P的軌跡為C，下列說法正確的是()A．軌跡C的方程為(x+4)2+y2=12B．△PMN面積的最大值為9C．|AP|的最小值為42D．若直線y=2x+1與軌跡C交于D，E兩點，則|DE|=6答案：BD解析：設(shè)點P(x，y)，則(x+2)2+y2=2×(x-1)2+y2，化簡得(x-4)2+y2=18，故A錯誤；當點P縱坐標的絕對值最大時，△PMN面積最大，此時S△PMN=12×3×32=922，故B正確；設(shè)軌跡C的圓心為C，半徑為r，所以C(4，0)，r=32，點A在圓內(nèi)，所以|AP|min=r-|AC|=32-1+1=22，故C錯誤；設(shè)圓心到直線y=2x+1的距離為d，則對點練2.(1)在平面直角坐標系xOy中，點A(0，3)，直線l：y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.若圓C上存在點M，使|MA|=2|MO|，則圓心C的橫坐標a的取值范圍為.

(2)(2025·廣東佛山聯(lián)考)希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值λ(λ≠1)的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，點P是滿足λ=12的阿氏圓上的任一點，則該阿氏圓的方程為；若點Q為拋物線E：y2=4x上的動點，Q在y軸上的射影為H，則12|PB|+|PQ|+|QH|的最小值為答案：(1)0，125(2)(x+2)2+y2=4解析：(1)點C在直線l：y=2x-4上，故設(shè)C的坐標為(a，2a-4).因為半徑r1=1，所以圓C的方程是(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.設(shè)點M(x，y)，則由|MA|=2|MO|可得x2+y-32=2x2+y2，化簡整理得x2+(y+1)2=4.所以點M在以D(0，-1)為圓心，r2=2為半徑的圓上，又點M在圓C上，所以兩圓有公共點，則|r1-r2|≤|DC|≤|r1+r2|，即1≤5a2-12a+9≤9，解得0(2)設(shè)點P(x，y)，因為λ=12，所以(x+2)2+(y-1)2(x+2