等和線與極化恒等式平面向量基本定理及數(shù)量積是高考考查的重點(diǎn)，很多時(shí)候需要用基底代換，運(yùn)算量大且復(fù)雜，用向量極化恒等式、等和(高)線求解，能簡(jiǎn)化向量代換，減少運(yùn)算量，使解決問(wèn)題更加清晰簡(jiǎn)單.題型一等和線已知平面內(nèi)一組基向量OA，OB及任一向量OP，且OP=λOA+μOB(λ，μ∈R)，若點(diǎn)P在直線AB上或者在平行于AB的直線上，則λ+μ=k(定值)，反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB容易得到等和線的幾個(gè)結(jié)論：(1)當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k=1.(2)當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，k∈(0，1).(3)當(dāng)直線AB在點(diǎn)O和等和線之間時(shí)，k∈(1，+∞).(4)當(dāng)?shù)群途€過(guò)O點(diǎn)時(shí)，k=0.(5)若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，則它們對(duì)應(yīng)的定值k1，k2互為相反數(shù).(6)定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比.給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°，如圖，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的AB上運(yùn)動(dòng)，若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，則x+y的最大值是.

答案：2解析：法一：由已知可設(shè)OA為x軸的正半軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系(圖略).其中A(1，0)，B－12，32，令∠AOC=θ，0≤θ≤2π3，則有OC=cosθ，sinθ=x1，0+y－12，32，即x－y2=cosθ，32y=sinθ，得x=33sinθ+cosθ，y=233sinθ，x+y=33sinθ+cosθ+23法二：如圖，連接AB交OC于點(diǎn)D，設(shè)OD=tOC，由于OC=xOA+yOB，所以O(shè)D=t(xOA+yOB).因?yàn)镈，A，B三點(diǎn)在同一直線上，所以tx+ty=1，x+y=1t，由于|OD|=t|OC|=t，當(dāng)OD⊥AB時(shí)t取到最小值12，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí)t取到最大值1，故1≤x+y≤2.故x+y的最大值為法三(等和線法)：連接AB，過(guò)C作直線l∥AB，則直線l為以O(shè)A，OB為基底的平面向量基本定理系數(shù)的等和線，顯然當(dāng)l與圓弧相切于C1時(shí)，定值最大，因?yàn)椤螦OB=120°，所以O(shè)C1=OA+OB，所以x+1.在利用等和線定理求解兩系數(shù)的線性關(guān)系式的值時(shí)，需要先通過(guò)變換基向量，使得需要研究的代數(shù)式為基的系數(shù)和，再去找基向量的等和線，轉(zhuǎn)化為線段比例關(guān)系求解.

2.要注意等和(高)線定理的形式，解題時(shí)一般要先找到k=1時(shí)的等和(高)線，以此來(lái)求其他的等和(高)線.

對(duì)點(diǎn)練1.(1)如圖，圓O是邊長(zhǎng)為23的等邊△ABC的內(nèi)切圓，其與BC邊相切于點(diǎn)D，點(diǎn)M為圓上任意一點(diǎn)，BM=xBA+yBD(x，y∈R)，則2x+y的最大值為 ()A．2 B．3 C．2 D．22(2)如圖，在△ABC中，H為BC上異于B，C的任一點(diǎn)，M為AH的中點(diǎn)，若AM=λAB+μAC，則λ+μ=.

答案：(1)C(2)1解析：(1)設(shè)圓O與AB，AC邊相切于點(diǎn)E，N，由題知BM=xBA+yBD=2x·12BA+yBD=2xBE+yBD，如圖，作出定值k為1的等和線DE，DE與BO相交于點(diǎn)P，AC是過(guò)圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)的等和線，當(dāng)M在N點(diǎn)所在的位置時(shí)，2x+y最大，設(shè)2x+y=k，則k=|NB||PB|=2，所以2x+(2)由等和線定理可知λ+μ=AMAH=1題型二極化恒等式1.證明過(guò)程：如圖，設(shè)AB=a，AD=b，則AC=a+b，DB=a－b.|AC|2=a+b2=|a|2+2a·b+|b|DB|2=a－b2=|a|2－2a·b+|b兩式相減得a·b=14a2.幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線長(zhǎng)”與“差對(duì)角線長(zhǎng)”平方差的143.常見(jiàn)結(jié)論：(1)三角形模式：如圖，在△ABC中，若M是BC的中點(diǎn)，則AB·AC=AM2－學(xué)生用書?第167頁(yè)(2)平行四邊形模式：在?ABCD中，O為AC，BD的交點(diǎn)，則有AB·AD=14(4|AO|2－4|OB|2)=|AO|2－|OB|24.極化恒等式的應(yīng)用.角度1求值(1)如圖所示，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=45，AD=8，E，O，F(xiàn)為線段BD的四等分點(diǎn)，則AE·AF=.

(2)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn).BA·CA=4，BF·CF=－1，則BE·CE的值為.

答案：(1)27(2)7解析：(1)BD=AB2+AD2=12，所以AO=6，OE=3，所以由極化恒等式知AE·AF=AO2(2)設(shè)BD=DC=m，AE=EF=FD=n，則AD=3n.根據(jù)向量的極化恒等式，得AB·AC=AD2－DB2=9n2－m2=4①，F(xiàn)B·FC=FD2－DB2=n2－m2=－1②，聯(lián)立①②，解得n2=58，m2=138.因此EB·EC=ED2－DB2=4n角度2求最值或范圍(1)已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA·(PB+PC)的最小值是()A．－2 B．－32C．－43 D．－(2)(2025·河南鄭州、開(kāi)封重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)如圖所示，△ABC是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，點(diǎn)P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，長(zhǎng)度為6的線段EF的中點(diǎn)為點(diǎn)B，則PE·PF的取值范圍是.

答案：(1)B(2)39解析：(1)法一：如圖，取BC的中點(diǎn)D，則PB+PC=2PD，則PA·(PB+PC)=2PA·PD，在△PAD中，取AD的中點(diǎn)O，則2PA·PD=2|PO|2－12|AD|2=2|PO|2－32，由于點(diǎn)P在平面內(nèi)是任意的，因此當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P，O重合時(shí)，PO取得最小值，即2PA·PD取得最小值－32.法二：如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0).設(shè)P(x，y)，則PA=(－x，3－y)，PB=(－1－x，－y)，PC=(1－x，－y)，所以PA·(PB+PC)=(－x，3－y)·(－2x，－2y)=2x2+2y－322－32，易知當(dāng)x=0，y=32時(shí)，PA·(PB+PC)取得最小值，(2)因?yàn)锽是EF的中點(diǎn)，且EF=6，由極化恒等式得，PE·PF=PB2－BF2=PB2－9，又知△ABC是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，P在AC上運(yùn)動(dòng)，則BP∈43，8，所以PB2∈48，64，所以PE極化恒等式使用方法

在確定求數(shù)量積的兩個(gè)向量共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的情況下，極化恒等式的一般步驟如下：

第一步：取第三邊的中點(diǎn)，連接向量的起點(diǎn)與中點(diǎn)；

第二步：利用極化恒等式公式，將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差；

第三步：利用平面幾何方法或用正余弦定理求中線及第三邊的長(zhǎng)度，從而求出數(shù)量積，如需進(jìn)一步求數(shù)量積的范圍，可以用點(diǎn)到直線的距離最小或用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊或用基本不等式等求得中線長(zhǎng)的最值(范圍).

對(duì)點(diǎn)練2.(1)在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1，則PA·PB的取值范圍是()A．[－5，3] B．[－3，5]C．[－6，4] D．[－4，6](2)已知點(diǎn)A，B，C均在半徑為2的圓上，若|AB|=2，則AC·BC的最大值為.

答案：(1)D(2)2+22解析：(1)法一：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(3，0)，B(0，4).設(shè)P(x，y)，則x2+y2=1，PA=3－x，－y，PB=－x，4－y，所以PA·PB=x2－3x+y2－4y=x－322+y－22－254.又x－322+y－22表示圓x2+y2=1上一點(diǎn)到點(diǎn)法二：(極化恒等式)設(shè)AB的中點(diǎn)為M，CM與CP的夾角為θ，由極化恒等式得PA·PB=PM2－14AB2=CM－CP2－254=CM2+CP2－2CM·CP－254=254+1－5cosθ－254=1－5cosθ，因?yàn)閏os(2)設(shè)A，B，C三點(diǎn)所在圓的圓心為O，取AB的中點(diǎn)D，故AC·BC=CA·CB=CD2－14AB2=CD2－1，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)在圓上，所以CD長(zhǎng)度最大為r+d，其中d為圓心O到弦AB的距離，故CD長(zhǎng)度的最大值為1+2，所以CD2－1的最大值為1+對(duì)點(diǎn)練3.如圖，在四邊形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，且AD=λBC，AD·AB=－32，則實(shí)數(shù)λ的值為，若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且|MN|=1，則DM·DN的最小值為答案：1613解析：由題意得AD∥BC，∠BAD=120°，由AD·AB=|AD|·|AB|cos∠BAD=－32|AD|=－32，得|AD|=1，因此λ=ADBC=16.取MN的中點(diǎn)E，連接DE(圖略)，則DM+DN=2DE，DM·DN=14[(DM+DN)2－(DM－DN)2]=DE2－14NM2=DE2－14.注意到線段MN在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，DE的最小值等于點(diǎn)D到直線BC的距離，即AB·sin∠B=對(duì)點(diǎn)練4.(2025·安徽池州模擬)萊洛三角形，也稱圓弧三角形，是一種特殊三角形，在建筑、工業(yè)上應(yīng)用廣泛，如圖所示，分別以正三角形ABC的頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角形，已知A，B兩點(diǎn)間的距離為2，點(diǎn)P為AB上的一點(diǎn)，則PA·(PB+PC)的最小值為.

答案：10－