空間幾何體的截面及交線問題題型一多面體中的交線問題1．利用相交平面有且只有一條過交點的直線尋找交線，即只需找相交平面的兩個公共點，兩點連線就是交線．2．利用線面平行與面面平行的判定定理尋找線面平行及面面平行，再利用性質(zhì)作出交線．3．對于球與多面體的交線長問題，根據(jù)交線的不同有兩種計算方法：一是利用弧長公式計算，只需找出弧所對的圓心角即可；二是轉(zhuǎn)化為截面小圓計算，只需找到小圓半徑即可．(2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60?.以D1為球心，5為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．答案：2解析：易知四邊形A1B1C1D1為菱形，∠B1A1D1＝60?，連接B1D1，則△B1C1D1為正三角形，取B1C1的中點O，連接D1O，易得D1O⊥B1C1，所以D1O⊥平面BCC1B1.取BB1的中點E，CC1的中點F，連接D1E，D1F，OE，OF，EF，易知D1E＝D1F＝5，易知以D1為球心，5為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線是以O(shè)為圓心，OE為半徑的EF，因為B1E＝B1O＝1，所以O(shè)E＝2，同理OF＝2，易知EF＝2，所以∠EOF＝90?，所以EF的長＝14對點練1．在四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩垂直且AB＝AC＝AD＝3，以C為球心，2為半徑的球C與該四面體每個面的交線的長度之和為()A．5π6 BC．4π3 D答案：D解析：由題意得△ACD，△ABC為等腰直角三角形．設(shè)球C與Rt△ACD的邊CD，AD分別交于點M，N，如圖①所示，設(shè)球C與Rt△ABC的邊AB，CB分別交于點H，G，如圖②所示．易得cos∠ACN＝32，則∠ACN＝π6，AN＝AC·tanπ6＝1，所以∠NCM＝∠ACD－∠ACN＝π4-π6＝π12，所以MN的長＝2×π12＝π6，同理，GH的長＝π6.在△ABD內(nèi)，如圖③所示，因為AH＝AN＝在△BCD內(nèi)，如圖④所示，易知GM是以頂點C為圓心，2為半徑，圓心角為π3的弧，則GM的長＝2×π3＝2π3，所以球C對點練2．(2024·四川成都二模)在所有棱長均相等的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD＝60?，點P在四邊形AA1B1B內(nèi)(含邊界)運動．當C1P＝72CC1時，點P的軌跡長度為2A．16＋43 B．8＋23C．4＋3 D．43答案：A解析：設(shè)棱長為a，延長A1B1，過點C1作C1O垂直于A1B1的延長線于O，由∠BAD＝60?，可得OB1＝a2，C1O＝3a2；由直四棱柱的性質(zhì)可得，C1O⊥平面AA1B1B，OP?平面AA1B1B，所以C1O⊥OP；因為C1P＝72CC1＝72a，所以O(shè)P＝C1P2-C1O2＝a.在平面AA1B1B內(nèi)，點P的軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓夾在四邊形AA1B1B內(nèi)的部分，即圖中圓弧EF.因為OB1＝a2，OF＝a，∠OB1F＝90?，所以∠FOB1＝π3，因為點P的軌跡長度為題型二多面體中的截面問題1．正方體中的基本斜截面2．多面體中找截面的幾種方法(1)直接法：有兩點在多面體的同一個面上，連接這兩點即為多面體與截面的交線，找截面實際就是找交線的過程．(2)延長線法：若直線相交，但在多面體中未體現(xiàn)，可以通過作延長線的方法找到交點，然后借助交點找到交線．(3)平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的平面與點所在的平面平行，可以通過過點作直線的平行線找到多面體與截面的交線．角度1作空間幾何體的截面在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為BB1的中點．(1)畫出過A1，C1，P的截面；(2)畫出過A1，D1，P的截面．解：(1)因為此三點在幾何體的棱上，且兩兩在一個平面內(nèi)，直接連接A1P，A1C1，C1P就得到截面A1C1P.(2)連接A1P，其余面上的交線根據(jù)平面的性質(zhì)尋找，由于A1，D1，P在一個平面內(nèi)，且兩個平面A1ADD1和B1BCC1平行，過P作A1D1的平行線，設(shè)CC1的中點為Q，連接PQ和D1Q，得到截面A1D1QP.學生用書第195頁在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，Q分別為AB，BC，AA1的中點，畫出過E，F(xiàn)，Q的截面．解：連接EF，得到平面EFQ和平面ABCD的交線，其余面由正方體的性質(zhì)和平面的性質(zhì)來判斷，延長FE，EF，分別交DA，DC的延長線于G，H，則G，Q都在面AA1D1D內(nèi)，連接GQ并延長交A1D1于點P，交DD1的延長線于S，則S，H都在面DD1C1C內(nèi)，連接SH交D1C1于點M，交CC1于點N，連接QE，NF，PM，就得到截面EFNMPQ.角度2截面圖形的判斷與計算(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點，MD＝13DD1，NB＝13BB1A．三角形 B．四邊形C．五邊形 D．六邊形(2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點，平面α經(jīng)過直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為________．答案：(1)C(2)9解析：(1)先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點，再確定截面與幾何體的棱的交點．如圖，設(shè)直線C1M，CD相交于點P，直線C1N，CB相交于點Q，連接PQ交直線AD于點E，交直線AB于點F，則五邊形C1MEFN為所求截面圖形．故選C．(2)如圖，過點B作BM∥C1E交B1C1于點M，過點M作BD的平行線，交C1D1于點N，連接DN，則平面BDNM即為符合條件的平面α，由作圖可知M，N分別為B1C1，C1D1的中點，故BD＝22，MN＝2，且BM＝DN＝5，所以等腰梯形MNDB的高為h＝52-2對點練3.(多選)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，已知平面α⊥AC1，則關(guān)于α截此正方體所得截面的判斷正確的是()A．截面形狀可能為正三角形B．截面形狀可能為正方形C．截面形狀可能為正六邊形D．截面面積最大值為33答案：ACD解析：易知A、C正確，B不正確，下面說明D正確，如圖，截面為正六邊形，當六邊形的頂點均為棱的中點時，其面積最大，MN＝22，GH＝2，OE＝OO對點練4．(2024·北京豐臺二模)“用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線”．利用這個原理，小明在家里用兩個射燈(射出的光錐視為圓錐)在墻上投影出兩個相同的橢圓(圖①)，光錐的一條母線恰好與墻面垂直．圖②是一個射燈投影的直觀圖，圓錐PO的軸截面APB是等邊三角形，橢圓O1所在平面為α，PB⊥α，則橢圓O1的離心率為()A．32 B．C．22 D．答案：D解析：設(shè)AB＝2r，由于PB⊥α，所以PB⊥AM，在等邊三角形PAB中，點M為PB的中點，于是AM＝3r，在平面α中，由橢圓的對稱性可知，AO1＝MO1＝32r，連接OO1，PO1，延長PO1與AB交于點Q，由于O，O1為中點，所以在△PO1M中，PM＝r，MO1＝32r，由勾股定理可得PO1＝PM2+MO12＝r2+32r2＝72r，在△PO1O中，PO＝3r，PO1＝72r，OO1＝12r，由余弦定理可得cos∠OPO1＝PO12+PO2-OO122PO1·PO＝74r2+3r2-14r22×72r×3r對點練5．如圖，正方體A1C的棱長為1，點M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，過M的平面α與平面A1BC1平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長