線面夾角題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.直線與平面所成角的范圍是（）A.[0,π]B.[0,π/2]C.(0,π/2)D.(0,π)答案：B2.若直線l的方向向量與平面α的法向量夾角為120°，則直線l與平面α所成角為（）A.30°B.60°C.120°D.150°答案：A3.已知直線的方向向量\(\vec{a}=(1,1,0)\)，平面的法向量\(\vec{n}=(-1,0,2)\)，則直線與平面夾角的正弦值為（）A.\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)B.\(\frac{\sqrt{10}}{5}\)C.\(\frac{\sqrt{15}}{5}\)D.\(\frac{\sqrt{30}}{10}\)答案：D4.直線與平面平行時(shí)，線面夾角是（）A.0°B.90°C.180°D.45°答案：A5.正方體\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(A_{1}B\)與平面\(ABCD\)所成角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°答案：B6.若直線與平面所成角為\(\frac{\pi}{6}\)，直線的方向向量與平面法向量夾角為θ，則\(\cos\theta\)的值為（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)答案：B7.已知直線\(l\)的方向向量\(\vec{m}=(1,-1,1)\)，平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}=(1,0,-1)\)，則直線\(l\)與平面\(\alpha\)夾角的余弦值為（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)B.\(\frac{\sqrt{6}}{3}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)答案：A8.直線與平面垂直時(shí)，線面夾角是（）A.0°B.45°C.90°D.180°答案：C9.已知直線的方向向量\(\vec{a}=(0,2,1)\)，平面的法向量\(\vec{n}=(1,1,-1)\)，則直線與平面夾角的正弦值為（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)B.\(\frac{\sqrt{6}}{3}\)C.\(\frac{\sqrt{10}}{10}\)D.\(\frac{\sqrt{15}}{10}\)答案：D10.若直線\(l\)與平面\(\alpha\)所成角為\(30°\)，平面\(\alpha\)的法向量為\(\vec{n}\)，直線\(l\)的方向向量為\(\vec{a}\)，則\(\vec{a}\cdot\vec{n}\)與\(\vert\vec{a}\vert\vert\vec{n}\vert\)的關(guān)系是（）A.\(\vec{a}\cdot\vec{n}=\frac{1}{2}\vert\vec{a}\vert\vert\vec{n}\vert\)B.\(\vec{a}\cdot\vec{n}=-\frac{1}{2}\vert\vec{a}\vert\vert\vec{n}\vert\)C.\(\vec{a}\cdot\vec{n}=\frac{\sqrt{3}}{2}\vert\vec{a}\vert\vert\vec{n}\vert\)D.\(\vec{a}\cdot\vec{n}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\vert\vec{a}\vert\vert\vec{n}\vert\)答案：B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于直線與平面夾角的說法正確的是（）A.直線與平面夾角是直線與它在平面內(nèi)射影所成角B.直線與平面夾角范圍是\([0,\frac{\pi}{2}]\)C.當(dāng)直線與平面平行時(shí)，線面夾角為0°D.當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，線面夾角為90°答案：ABCD2.若直線\(l\)的方向向量\(\vec{m}=(x_{1},y_{1},z_{1})\)，平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}=(x_{2},y_{2},z_{2})\)，直線\(l\)與平面\(\alpha\)夾角為\(\theta\)，則（）A.\(\sin\theta=\vert\cos\langle\vec{m},\vec{n}\rangle\vert\)B.\(\cos\theta=\vert\cos\langle\vec{m},\vec{n}\rangle\vert\)C.\(\sin\theta=\frac{\vert\vec{m}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{m}\vert\vert\vec{n}\vert}\)D.\(\cos\theta=\frac{\vert\vec{m}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{m}\vert\vert\vec{n}\vert}\)答案：AC3.在長(zhǎng)方體\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，下列直線與平面所成角為45°的有（）A.\(A_{1}A\)與平面\(ABCD\)B.\(A_{1}B\)與平面\(BB_{1}C_{1}C\)C.\(A_{1}D\)與平面\(ADD_{1}A_{1}\)D.\(A_{1}C_{1}\)與平面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)答案：AB4.已知直線\(l\)與平面\(\alpha\)夾角為\(\varphi\)，直線\(l\)的方向向量與平面\(\alpha\)法向量夾角為\(\beta\)，則（）A.\(\varphi+\beta=\frac{\pi}{2}\)（\(0\leqslant\beta\leqslant\pi\)）B.\(\varphi=\vert\frac{\pi}{2}-\beta\vert\)C.當(dāng)\(\beta\gt\frac{\pi}{2}\)時(shí)，\(\varphi=\beta-\frac{\pi}{2}\)D.當(dāng)\(\beta\leqslant\frac{\pi}{2}\)時(shí)，\(\varphi=\frac{\pi}{2}-\beta\)答案：BD5.下列能確定直線與平面夾角的是（）A.已知直線的方向向量和平面的法向量B.已知直線上兩點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)C.已知直線在平面內(nèi)的射影D.已知直線與平面內(nèi)兩條相交直線所成角答案：AC6.對(duì)于直線與平面夾角，以下結(jié)論正確的是（）A.一條直線在一個(gè)平面內(nèi)射影唯一B.若兩條直線與同一平面夾角相等，則兩直線平行C.直線與平面夾角為0°時(shí)，直線在平面內(nèi)或與平面平行D.直線與平面夾角越大，直線與平面的位置關(guān)系越“傾斜”答案：CD7.設(shè)直線\(l\)的方向向量\(\vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})\)，平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}=(n_{1},n_{2},n_{3})\)，直線\(l\)與平面\(\alpha\)夾角為\(\theta\)，下列等式成立的是（）A.\(\sin\theta=\frac{\verta_{1}n_{1}+a_{2}n_{2}+a_{3}n_{3}\vert}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\sqrt{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}\)B.\(\cos\theta=\frac{\verta_{1}n_{1}+a_{2}n_{2}+a_{3}n_{3}\vert}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\sqrt{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}\)C.\(\sin\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{n}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{n}\vert}\)D.\(\cos\theta=\sqrt{1-(\frac{\vert\vec{a}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{n}\vert})^{2}}\)答案：AD8.已知正方體棱長(zhǎng)為\(a\)，下列直線與平面所成角的正弦值為\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)的有（）A.\(A_{1}C\)與平面\(ABCD\)B.\(A_{1}B\)與平面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)C.\(BC_{1}\)與平面\(A_{1}BD\)D.\(C_{1}D\)與平面\(BB_{1}D_{1}D\)答案：AC9.直線與平面夾角的求解過程中，可能用到的知識(shí)點(diǎn)有（）A.向量的數(shù)量積B.向量的模C.直線的方向向量D.平面的法向量答案：ABCD10.若直線\(l\)與平面\(\alpha\)夾角為\(\theta\)，下列說法正確的是（）A.當(dāng)\(\theta=0\)時(shí)，直線\(l\)在平面\(\alpha\)內(nèi)或與平面\(\alpha\)平行B.當(dāng)\(\theta=\frac{\pi}{2}\)時(shí)，直線\(l\)垂直于平面\(\alpha\)C.\(\theta\)越大，直線\(l\)與平面\(\alpha\)內(nèi)直線所成角的最小值越大D.\(\theta\)的大小由直線\(l\)的方向向量與平面\(\alpha\)法向量的夾角決定答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.直線與平面所成角就是直線與平面內(nèi)任意直線所成角。（）答案：錯(cuò)誤2.若直線的方向向量與平面的法向量夾角為鈍角，則直線與平面所成角為其補(bǔ)角。（）答案：錯(cuò)誤3.直線在平面內(nèi)的射影一定是直線。（）答案：錯(cuò)誤4.當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線與平面所成角為0°。（）答案：正確5.兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影所成角就是這兩條異面直線與該平面所成角。（）答案：錯(cuò)誤6.直線與平面所成角的正弦值等于直線的方向向量與平面法向量夾角余弦值的絕對(duì)值。（）答案：正確7.若直線與平面所成角為\(\frac{\pi}{4}\)，則直線的方向向量與平面法向量夾角為\(\frac{\pi}{4}\)或\(\frac{3\pi}{4}\)。（）答案：正確8.平面的斜線與平面所成角是斜線與平面內(nèi)直線所成角中的最小角。（）答案：正確9.已知直線的方向向量和平面內(nèi)一點(diǎn)就能確定直線與平面所成角。（）答案：錯(cuò)誤10.直線與平面所成角的范圍是\((0,\frac{\pi}{2})\)。（）答案：錯(cuò)誤四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述求直線與平面夾角的一般步驟。答案：先確定直線的方向向量\(\vec{m}\)和平面的法向量\(\vec{n}\)，計(jì)算\(\cos\langle\vec{m},\vec{n}\rangle=\frac{\vec{m}\cdot\vec{n}}{\vert\vec{m}\vert\vert\vec{n}\vert}\)，再根據(jù)直線與平面夾角\(\theta\)與\(\langle\vec{m},\vec{n}\rangle\)的關(guān)系\(\sin\theta=\vert\cos\langle\vec{m},\vec{n}\rangle\vert\)求出\(\theta\)。2.直線\(l\)的方向向量\(\vec{a}=(1,1,1)\)，平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}=(1,0,-1)\)，求直線\(l\)與平面\(\alpha\)所成角。答案：\(\cos\langle\vec{a},\vec{n}\rangle=\frac{1\times1+1\times0+1\times(-1)}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}\sqrt{1^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}}=0\)，\(\sin\theta=\vert\cos\langle\vec{a},\vec{n}\rangle\vert=0\)，所以直線\(l\)與平面\(\alpha\)所成角\(\theta=0°\)。3.說明直線與平面夾角和直線的方向向量與平面法向量夾角的關(guān)系。答案：設(shè)直線與平面夾角為\(\theta\)，直線的方向向量與平面法向量夾角為\(\beta\)，則\(\sin\theta=\vert\cos\beta\vert\)，當(dāng)\(0\leqslant\beta\leqslant\frac{\pi}{2}\)時(shí)，\(\theta=\frac{\pi}{2}-\beta\)；當(dāng)\(\frac{\pi}{2}\lt\beta\leqslant\pi\)時(shí)，\(\theta=\beta-\frac{\pi}{2}\)。4.已知直線\(l\)與平面\(\alpha\)所成角為\(30°\)，直線\(l\)的方向向量\(\vec{m}\)與平面\(\alpha\)法向量\(\vec{n}\)夾角為\(\beta\)，求\(\cos\beta\)。答案：因?yàn)橹本€\(l\)與平面\(\alpha\)所成角為\(30°\)，所以\(\sin30°=\vert\cos\beta\vert\)，則\(\vert\c