第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年甘肅省天水市秦安一中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若z=1?i1+i，其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的虛部為(

)A.1 B.i C.?1 D.?i2.在2025年6月21日天水市公祭伏羲活動期間，有人提出了這樣一個問題：伏羲八卦中每一卦由三個爻組成(“”為陽爻，“”為陰爻).從八卦中隨機抽取一卦，那么抽到恰好含有兩個陽爻的卦的概率是(

)

A.12 B.38 C.143.已知向量a=(1,0),b=(?1,?3)，若(ka+A.?10 B.?2 C.2 D.104.如圖，四邊形ABCD的斜二測畫法的直觀圖為等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4，C′D′=2，則下列說法正確的是(

)A.AB=2

B.A′D′=22

C.四邊形ABCD的周長為4+22+235.擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，記事件A=“第一枚骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)”，事件B=“第二枚骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)”，則(

)A.A與B互為對立事件 B.A與B互斥

C.P(A)=P(B) D.A=B6.在△ABC中，A=60°，b=1，其面積為3，則a+b+csinA+sinB+sinC等于(

)A.33 B.2393 7.一個圓臺的母線長為5，上、下底面的半徑分別為2，5，則圓臺的體積為(

)A.64π B.56π C.48π D.52π8.已知0<α<π，cosα2=5A.210 B.25 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知a，b為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，下列四個命題中正確的是(

)A.若a⊥α，b⊥α，則a//b B.若a//α，b//α，則a//b

C.若a⊥α，a⊥β，則α//β D.若b//α，b//β，則α//β10.甲、乙兩人練習(xí)射擊，命中目標(biāo)的概率分別為12和13，甲、乙兩人各射擊一次，下列說法正確的是(

)A.目標(biāo)恰好被命中一次的概率為12+13 B.目標(biāo)恰好被命中兩次的概率為12×1311.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，N為底面ABCD的中心，P為線段A1D1上的動點(不A.CM與PN是異面直線

B.存在P點使得PN//平面CC1D1D

C.平面PAN⊥平面BDD1B1

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某種開關(guān)在電路中閉合的概率為p，現(xiàn)將3只這種開關(guān)并聯(lián)在某電路中，若該電路為不通電的概率為827，則p=______．13.已知單位向量a,b滿足a?b=0，若向量c=14.一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則此球的表面積等于______．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，E為PD的中點，F(xiàn)為BC的中點．

(1)證明：EF//平面PAB；

(2)求異面直線EF與PC所成角的余弦值．16.(本小題12分)

同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤②得到的數(shù)為y．

(1)寫出這個試驗的樣本點；

(2)“x+y=5”這一事件包含哪幾個樣本點？“x<3且y>1”呢？

(3)“xy=4”這一事件包含哪幾個樣本點？“x=y”呢？17.(本小題12分)

一副三角板如圖所示的方式拼接，將△BCD折起，使得二面角A?BC?D為直二面角，BC=23．

(1)求證：CD⊥平面ABC；

(2)求點B到平面ACD的距離．18.(本小題12分)

已知f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)，且f(0)=12．

(1)求φ的值；

(2)設(shè)g(x)=f(x)+f(x?π19.(本小題12分)

如圖，在三棱錐A?BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點．

(1)證明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E?BC?D的大小為45°，求三棱錐A?BCD的體積．

參考答案1.C

2.B

3.D

4.D

5.C

6.B

7.D

8.D

9.AC

10.BD

11.BCD

12.1313.714.πa15.(1)證明：如圖，

取PA中點G，連接EG、BG，

因E為PD中點，G為PA中點，故EG為△PAD中位線，得EG//AD且EG=12AD，

又底面ABCD是正方形，F(xiàn)為BC中點，故BF//AD且BF=12AD，

所以EG//BF且EG=BF，所以四邊形EGBF為平行四邊形，故EF//BG，

又BG?平面PAB，EF?平面PAB，故EF//平面PAB；

(2)如圖，

取CD的中點Q，連接EQ，EQ為△PDC的中位線，所以EQ//PC，EQ=12PC，

故∠QEF(或其補角)為異面直線EF與PC所成角，

在正方形ABCD中，AB=AD=2，PA=2且PA⊥底面ABCD，故△PAC、△PAB為直角三角形，

PC為Rt△PAC的斜邊，AC=AB2+AD2=22，

故PC=PA2+AC2=23，所以EQ=3，

G為PA中點，得PG=AG=1,BG=A16.(1)這個試驗的樣本點有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．

(2)“x+y=5”包含的樣本點有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)；“x<3且y>1”包含的樣本點有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．

(3)“xy=4”包含的樣本點有(1,4)，(2,2)，(4,1)；“x=y”包含的樣本點有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．17.(1)證明：由題意可得平面ABC⊥平面BCD，

平面ABC∩平面BCD=BC，又∵在△BCD中，∠BCD=90°，∴BC⊥CD，

又CD?平面BCD，∴CD⊥平面ABC．

(2)解：如圖，記點B到平面ACD的距離為?，取BC的中點為P，連接AP，

∵AB=AC，∴AP⊥BC.同(1)可得AP⊥平面BCD，

由(1)CD⊥平面ABC，AC?平面ABC得，CD⊥AC，即△ACD為直角三角形．

又∵△ABC和△BCD是直角三角形，∠BAC=∠BCD=90°，∠ABC=∠ACB=45°，

∠CBD=30°,BC=23，則AB=AC=6，CD=33BC=2,BD=2CD=4，AP=12BC=3．18.f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)，且f(0)=12，

(1)由已知得f(0)=cosφ=12，結(jié)合0≤φ<π，

所以φ=π3；

(2)由(1)知：f(x)=cos(2x+π3)，所以f(x?π6)=cos2x，

所以g(x)=

f(x)+f(x?π6)=cos2xcosπ3?sin2xsinπ3+cos2x

=32cos2x?32sin2x=3[cos2xcosπ6?sin2xsinπ6]

=3cos(2x+π6)，

顯然g(x)的值域為[?3,3]，因為y=cosx在[?π+2kπ,2kπ]上遞增，在[2kπ,2kπ+π]上遞減，k∈Z，

所以令?π+2kπ≤2x+π6<2kπ，解得g(x)的遞增區(qū)間為[?7π12+kπ,?π12+kπ)，k∈Z，

再令2kπ≤2x+π6≤2kπ+π，解得g(x)的遞減區(qū)間為[?π12+kπ,5π12+kπ)，k∈Z．

19.解：(1)證明：因為AB=AD，O為BD的中點，所以AO⊥BD，

又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO?平面ABD，

所以AO⊥平面BCD，又CD?平面BCD，

所以AO⊥CD；

(2)方法一：

取OD的中點F，因為△OCD為正三角形，所以CF⊥OD，

過O作OM//CF與BC交于點M，則OM⊥OD，

所以O(shè)M，OD，OA兩兩垂直，

以點O為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)M，OD，OA所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則B(0,?1,0)，C(32,12,0)，D(0,1,0)，

設(shè)A(0,0,t)(t>0)，則E(0,13,2t3)，