第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年黑龍江省牡丹江第二高級中學高一（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z滿足z1?i=?2+i，則復數(shù)z的共軛復數(shù)在復平面內對應的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為7，圓臺的側面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為(

)A.8 B.7 C.5 D.33.已知向量a=(1,?1)，b=(2,m)，若a⊥(a+b)，則向量A.(?255,?4554.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，對于下列四個命題：①n//m，n?α?m//α；②若m，n為異面直線，n?α，n//β，m?β，m//α?α//β；③α//β，m?α，n?β?m//n；④m//α，n?α?m//n.其中正確命題的個數(shù)有(

)A.0個 B.1個 C.2個 D.3個5.下列說法正確的是(

)A.數(shù)據(jù)1，8，3，5，6的第60百分位數(shù)是5

B.若一組樣本數(shù)據(jù)4，6，7，8，9，a的平均數(shù)為7，則a=7

C.用分層隨機抽樣時，個體數(shù)最多的層里的個體被抽到的概率最大

D.若x1，x2，?，x10的標準差為4，則?2x1+3，?2x26.如圖，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P為CD上一點，且滿足AP=mAC+12A.62

B.233

7.在△ABC中，點M，N在邊BC上，AM為邊BC上中線，AN為∠A平分線，若∠A=π3，AM=212，△ABC的面積等于A.25 B.235 C.8.如圖所示，正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長為2，側棱長為3，D是棱BC上的動點，EA.當D為BC中點時，A，A1，E，D四點共面

B.當D為BC中點時，直線AC1與DE所成角為60°

C.三棱錐D?A1B1C1的體積為定值1

D.9.已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，c=4且ccosC=2a?bcosBA.C=2π3 B.△ABC的外接圓半徑為433

C.若a=2b，則△ABC的面積為8310.設A，B易兩個隨機事件，且P(A)=12,P(B)=1A.若A，B是互斥事件，則P(AB)=16

B.若B?A，則P(A∪B)=56

C.若A，B是相互獨立事件，則P(A∪B)=23

D.若11.已知O為坐標原點，點P1(?sinα,?cosα)，P2(sinβ,cosβ)，P3(A.|OP1|=|OP2|=|OP3|=1 B.|三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知復數(shù)z=1+ai(a∈R)，且z(2+3i)為純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則a=______13.將一枚質地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，向上的點數(shù)分別記為a，b，則事件“|a?b|≤1”的概率為______．14.在三棱錐P?ABC中，AB⊥BC，點P在底面的投影O為△ABC的外心，若AB=4，BC=3，PO=5，則三棱錐P?ABC的外接球的表面積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC..

(1)求A；

(2)16.(本小題15分)

今年是國家安全法頒布十周年，4月15日迎來了第十個全民國家安全教育日.某大學團委組織開展了2025年全民國家安全教育知識競答活動，旨在踐行總體國家安全觀，增強全民國家安全意識和素養(yǎng).該活動共有200名學生參加，現(xiàn)將所有答案卷面成績統(tǒng)計分成五段，分別為[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]并作出如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中x的值；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，求這200名學生成績的中位數(shù)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)；

(3)已知學生成績落在[70,80)的平均數(shù)是77，方差是5；落在[80,90)的平均數(shù)是84，方差是5.求這兩組數(shù)據(jù)的總方差．

附：設兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：m,x1?,s117.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3．

(1)求證：PA⊥平面PCD；

(2)求直線AD與平面PAC所成角的余弦值．18.(本小題17分)

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，3bsinC?ccosB=c．

(1)BD是邊AC上的中線，BD=2，且a2+c2=10，求AC的長度．

(2)若19.(本小題17分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M是PD的中點．

(1)求證：PB//平面MAC；

(2)求二面角M?AC?D的余弦值；

(3)在棱PC上是否存在點Q使平面BDQ⊥平面MAC成立？如果存在，求出PQQC的值；如果不存在，請說明理由．

參考答案1.C

2.D

3.C

4.B

5.D

6.A

7.D

8.B

9.BC

10.CD

11.ACD

12.2313.4914.6251615.解：(1)∵sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC．

∴由正弦定理可得：a2=b2+c2+bc．

∴由余弦定理可得：cosA=b2+c2?a22bc=?bc2bc=?12，

∵A∈(0,π)16.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，有10(x+0.01+0.04+2x+0.005)=1，

解得x=0.015；

(2)因為0.15+0.1=0.25<0.5，0.15+0.1+0.4=0.65>0.5，

所以中位數(shù)在[70,80)內，

可得中位數(shù)為70+10×0.50?0.250.40=76.25，

學生成績的平均數(shù)為0.15×55+0.10×65+0.40×75+0.30×85+0.05×95=75；

(3)這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為0.400.40+0.30×77+0.300.40+0.30×84=80，

這兩組數(shù)據(jù)的總方差為

0.400.30+0.40×[5+(77?80)2]+0.300.30+0.40×[5+(84?80)2]=17．

17.(1)證明：取PC的中點N，連接DN，

因為△PCD為等邊三角形，所以DN⊥PC，

又平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD=PC，DN?平面PCD，

所以DN⊥平面PAC，

因為PA?平面PAC，所以DN⊥PA，

又PA⊥CD，DN∩CD=D，DN，CD?面PCD，

所以PA⊥平面PCD．

(2)解：連接AN，

由(1)得DN⊥平面PAC，

所以∠NAD即為直線AD與平面PAC所成的角，

因為△PCD是等邊三角形，且CD=2，N是PC的中點，

所以DN=318.解：(1)因為3bsinC?ccosB=c，由正弦定理得：3sinBsinC?sinCcosB=sinC，

在△ABC中，sinC>0，

可得3sinB?cosB=1，即sin(B?π6)=12，

由B∈(0,π)，

所以B?π6=π6，

解得B=π3；

因為D為BC的中點，BD=2，且a2+c2=10，

則2BD=BA+BC，

兩邊平方可得4BD2=BA2+BC2+2BA?BC=c2+a2+2cacosB，

即4×4=10+ac，19.(1)證明：設AC，BD交于點O，連接OM，則O為BD中點．

在△PBD中，O，M分別為BD，PD中點，所以OM//PB．

因為OM?平面MAC，PB?平面MAC，

所以PB//平面MAC．

(2)解：過點M作ME⊥AD，垂足為E，過點E作EF⊥AC，垂足為F，連接MF．

因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以ME⊥平面ABCD．

因為AC?平面ABCD，所以ME⊥AC．

又EF⊥AC，ME∩EF=E，ME，EF?平面MEF．

所以AC⊥平面MEF．

因為MF?平面MEF，所以AC⊥MF，

則∠MFE即為平面MAC與底面ABCD所成二面角的平面角．

設AB=2，則EF=324，ME=32，故MF=(324)2+(32)2=304，

所以cos∠MFE=EFMF=155，

即二面角M?AC?D的余弦值為155．