2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計(jì)推斷與檢驗(yàn)解題技巧與模擬試題一、選擇題1.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(\sigma^{2}\)已知，\(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\)為來自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}\)為樣本均值，對于假設(shè)檢驗(yàn)\(H_{0}:\mu=\mu_{0}\)，\(H_{1}:\mu\neq\mu_{0}\)，在給定顯著性水平\(\alpha\)下，拒絕域?yàn)椋ǎ〢.\(|\overline{X}-\mu_{0}|>z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)B.\(|\overline{X}-\mu_{0}|>z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)C.\(\overline{X}-\mu_{0}>z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)D.\(\overline{X}-\mu_{0}>z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)答案：A解析：當(dāng)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(\sigma^{2}\)已知時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為\(Z=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}\simN(0,1)\)。對于雙側(cè)檢驗(yàn)\(H_{0}:\mu=\mu_{0}\)，\(H_{1}:\mu\neq\mu_{0}\)，在顯著性水平\(\alpha\)下，拒絕域?yàn)閈(|Z|>z_{\alpha/2}\)，即\(|\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}|>z_{\alpha/2}\)，也就是\(|\overline{X}-\mu_{0}|>z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)。2.在假設(shè)檢驗(yàn)中，若增大樣本容量\(n\)，則犯兩類錯誤的概率（）A.都增大B.都減小C.都不變D.一個(gè)增大一個(gè)減小答案：B解析：增大樣本容量\(n\)會使樣本信息更豐富，估計(jì)更準(zhǔn)確。從理論上來說，樣本容量越大，抽樣誤差越小，從而犯第一類錯誤（棄真錯誤）和第二類錯誤（取偽錯誤）的概率都會減小。3.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(\mu\)未知，\(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\)為來自總體\(X\)的樣本，\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\)為樣本方差，則檢驗(yàn)假設(shè)\(H_{0}:\sigma^{2}=\sigma_{0}^{2}\)，\(H_{1}:\sigma^{2}\neq\sigma_{0}^{2}\)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為（）A.\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}}\sim\chi^{2}(n-1)\)B.\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n-1)\)C.\(\frac{nS^{2}}{\sigma_{0}^{2}}\sim\chi^{2}(n)\)D.\(\frac{nS^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n)\)答案：A解析：當(dāng)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(\mu\)未知時(shí)，檢驗(yàn)關(guān)于方差的假設(shè)\(H_{0}:\sigma^{2}=\sigma_{0}^{2}\)，\(H_{1}:\sigma^{2}\neq\sigma_{0}^{2}\)，使用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是\(\chi^{2}=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}}\)，且\(\chi^{2}\sim\chi^{2}(n-1)\)。二、填空題1.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(\sigma^{2}\)未知，\(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\)為來自總體\(X\)的樣本，檢驗(yàn)假設(shè)\(H_{0}:\mu=\mu_{0}\)，\(H_{1}:\mu>\mu_{0}\)，采用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為__________，在\(H_{0}\)成立時(shí)，該統(tǒng)計(jì)量服從__________分布。答案：\(T=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}\)；\(t(n-1)\)解析：當(dāng)總體方差\(\sigma^{2}\)未知時(shí)，檢驗(yàn)關(guān)于均值的假設(shè)，使用\(t\)檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量\(T=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}\)，其中\(zhòng)(S\)是樣本標(biāo)準(zhǔn)差。在\(H_{0}\)成立時(shí)，即\(\mu=\mu_{0}\)時(shí)，\(T\)服從自由度為\(n-1\)的\(t\)分布。2.在區(qū)間估計(jì)中，置信水平\(1-\alpha\)表示__________。答案：在多次抽樣構(gòu)造的置信區(qū)間中，包含總體參數(shù)真值的區(qū)間所占的比例解析：置信水平\(1-\alpha\)反映了區(qū)間估計(jì)的可靠性。如果我們進(jìn)行大量的重復(fù)抽樣，每次抽樣都構(gòu)造一個(gè)置信區(qū)間，那么這些置信區(qū)間中大約有\(zhòng)(1-\alpha\)的比例會包含總體參數(shù)的真值。三、簡答題1.簡述假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。答案：假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟如下：-提出原假設(shè)\(H_{0}\)和備擇假設(shè)\(H_{1}\)：原假設(shè)通常是研究者想要推翻的假設(shè)，備擇假設(shè)是研究者想要支持的假設(shè)。例如，在檢驗(yàn)?zāi)钞a(chǎn)品的平均壽命是否為\(\mu_{0}\)時(shí)，\(H_{0}:\mu=\mu_{0}\)，\(H_{1}:\mu\neq\mu_{0}\)。-選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：根據(jù)總體分布、樣本信息和假設(shè)的類型選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。如總體服從正態(tài)分布且方差已知時(shí)，檢驗(yàn)均值用\(Z\)統(tǒng)計(jì)量；方差未知時(shí)用\(t\)統(tǒng)計(jì)量。-確定顯著性水平\(\alpha\)：它表示犯第一類錯誤（棄真錯誤）的概率，通常取\(\alpha=0.05\)或\(\alpha=0.01\)。-確定拒絕域：根據(jù)顯著性水平和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布，確定拒絕原假設(shè)的區(qū)域。對于雙側(cè)檢驗(yàn)，拒絕域在分布的兩側(cè)；單側(cè)檢驗(yàn)則在一側(cè)。-計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的具體數(shù)值。-做出決策：將計(jì)算得到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值與拒絕域進(jìn)行比較，如果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值落在拒絕域內(nèi)，則拒絕原假設(shè)\(H_{0}\)，接受備擇假設(shè)\(H_{1}\)；否則，不拒絕原假設(shè)\(H_{0}\)。2.說明第一類錯誤和第二類錯誤的含義，并分析它們之間的關(guān)系。答案：-第一類錯誤：也稱為棄真錯誤，是指原假設(shè)\(H_{0}\)為真時(shí)，卻拒絕了\(H_{0}\)。犯第一類錯誤的概率記為\(\alpha\)，它就是我們在假設(shè)檢驗(yàn)中設(shè)定的顯著性水平。例如，實(shí)際上某批產(chǎn)品是合格的，但檢驗(yàn)結(jié)果卻判定為不合格，這就犯了第一類錯誤。-第二類錯誤：也稱為取偽錯誤，是指原假設(shè)\(H_{0}\)為假時(shí)，卻接受了\(H_{0}\)。犯第二類錯誤的概率記為\(\beta\)。例如，實(shí)際上某批產(chǎn)品是不合格的，但檢驗(yàn)結(jié)果卻判定為合格，這就犯了第二類錯誤。-兩者關(guān)系：在樣本容量\(n\)固定的情況下，\(\alpha\)和\(\beta\)不能同時(shí)減小，減小其中一個(gè)，另一個(gè)就會增大。要同時(shí)減小\(\alpha\)和\(\beta\)，只能增大樣本容量\(n\)。四、計(jì)算題1.某廠生產(chǎn)的某種電池，其壽命長期以來服從方差\(\sigma^{2}=5000\)（小時(shí)2）的正態(tài)分布。今有一批這種電池，從生產(chǎn)情況來看，壽命的波動性有所改變?，F(xiàn)隨機(jī)抽取\(26\)只電池，測得其壽命的樣本方差\(S^{2}=9200\)（小時(shí)2）。問在顯著性水平\(\alpha=0.02\)下，這批電池壽命的波動性較以往是否有顯著變化？解：-提出假設(shè)：\(H_{0}:\sigma^{2}=5000\)，\(H_{1}:\sigma^{2}\neq5000\)-選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：由于總體服從正態(tài)分布，\(\mu\)未知，所以使用\(\chi^{2}=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}}\)，其中\(zhòng)(n=26\)，\(S^{2}=9200\)，\(\sigma_{0}^{2}=5000\)。在\(H_{0}\)成立時(shí)，\(\chi^{2}\sim\chi^{2}(n-1)=\chi^{2}(25)\)。-確定拒絕域：對于雙側(cè)檢驗(yàn)，\(\alpha=0.02\)，\(\chi_{1-\alpha/2}^{2}(n-1)=\chi_{0.99}^{2}(25)=11.524\)，\(\chi_{\alpha/2}^{2}(n-1)=\chi_{0.01}^{2}(25)=44.314\)，拒絕域?yàn)閈(\chi^{2}<\chi_{1-\alpha/2}^{2}(n-1)\)或\(\chi^{2}>\chi_{\alpha/2}^{2}(n-1)\)。-計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值：\(\chi^{2}=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}}=\frac{(26-1)\times9200}{5000}=46\)-做出決策：因?yàn)閈(46>44.314\)，即檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值落在拒絕域內(nèi)，所以拒絕原假設(shè)\(H_{0}\)，接受備擇假設(shè)\(H_{1}\)。結(jié)論：在顯著性水平\(\alpha=0.02\)下，這批電池壽命的波動性較以往有顯著變化。2.某食品廠用自動裝罐機(jī)裝罐頭食品，每罐標(biāo)準(zhǔn)重量為\(500\)克，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的罐頭中隨機(jī)抽取\(9\)罐，測得其重量（單位：克）為：\(510\)，\(505\)，\(498\)，\(503\)，\(492\)，\(502\)，\(505\)，\(497\)，\(506\)。假定罐頭重量服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，\(\sigma^{2}\)未知。問在顯著性水平\(\alpha=0.05\)下，這天生產(chǎn)的罐頭平均重量是否為\(500\)克？解：-提出假設(shè)：\(H_{0}:\mu=500\)，\(H_{1}:\mu\neq500\)-選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：由于總體服從正態(tài)分布，\(\sigma^{2}\)未知，所以使用\(T=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}\)，其中\(zhòng)(n=9\)，\(\mu_{0}=500\)。在\(H_{0}\)成立時(shí)，\(T\simt(n-1)=t(8)\)。-計(jì)算樣本均值\(\overline{X}\)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差\(S\)：\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}=\frac{510+505+498+503+492+502+505+497+506}{9}=502\)\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\)\(=\frac{(510-502)^{2}+(505-502)^{2}+(498-502)^{2}+(503-502)^{2}+(492-502)^{2}+(502-502)^{2}+(505-502)^{2}+(497-502)^{2}+(506-502)^{2}}{8}=21\)\(S=\sqrt{21}\approx4.58\)-計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值：\(T=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}=\frac{50