第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年7月上海交大附中夏令營數(shù)學試卷一、填空題：本題共11小題，每小題5分，共55分。1.已知2x+y?7z=0，x?2y+4z=0(xyz≠0)，則2x+y+zx?2y+z=______．2.若|a?3?2|+b?3+3.若關于x，y的方程組x+ay+1=0bx?2y+1=0有無數(shù)組解，則(ab)4.如圖，通過畫邊長為1的正方形，就能準確地把2表示在數(shù)軸上點A1處，記A1右側最近的整數(shù)點為B1.以點B1為圓心，A1B1為半徑畫半圓，交數(shù)軸于點A2，記A2右側最近的整數(shù)點為B2；以點5.下列命題：①相等的角是對頂角；②算術平方根等于它本身的數(shù)有兩個，分別是0和1；③已知關于x、y的二元一次方程組x+y=1?ax?y=3a+5，不論a取什么有理數(shù)，2x+y的值始終不變；④已知正實數(shù)x的平方根是a+b和a+c，若(a+b)2x+(a+c)2x=4050，則x=45；⑤若不等式|a?1|+|a?4|≥m對一切實數(shù)a都成立，則m的最大值是6.一個正整數(shù)x能寫成x=a2?b2(a,b均為正整數(shù))，則稱x為“美滿數(shù)”，a，b為x的一個美滿分解，并規(guī)定：F(x)=ab.7.已知關于x的多項式mx?m?1(m>0)，當1<x≤3時，該多項式有2個整數(shù)值，則m的取值范圍是______．8.如圖，在平面直角坐標系中，直線l與正方形AOBC交于A，B兩點，與y軸交于點D，已知點A(1,3)，則點D的坐標為______．9.如圖，平面直角坐標系xOy中，直線l：y=?33x+3與x軸，y軸分別交于A，B兩點，∠BAO=30°，點D是直線l上一動點，將點D向左平移1個單位得到點E，點C(?1,0)10.已知拋物線y=ax2?x?1與x軸交于A，B兩點，頂點為C，如果△ABC為直角三角形，則a=______．11.如圖，已知直線l與y軸、x軸分別交于A、B兩點，與反比例函數(shù)y=?82x(x<0)的圖象交于C、D兩點.若C、D兩點為線段AB的三等分點，連接OC、OD二、解答題：本題共3小題，共45分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。12.(本小題15分)

某數(shù)學興趣小組的同學在學習了《圖形的相似》之后；對三角形的相似問題進行深入探究．

(1)【感知問題】如圖1，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上(點P不與A，B重合)，∠A=∠B=∠DPC=90°.易證：△DAP∽△PBC.(不需要證明)

(2)【探究問題】如圖2，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上(點P不與點A，B重合)，∠A=∠B=∠DPC.求證：△DAP∽△PBC．

(3)【知識應用】如圖3，在△ABC中，AC=BC=6，AB=7.點P在邊AB上(點P不與點A，B重合)，連接CP，作∠CPE=∠A，PE與邊BC交于點E．

(i)當CE=2EB時，求AP的長；

(ii)當△CPE是等腰三角形時，求AP的長．

13.(本小題15分)

如圖，直線y=12x+b與x軸，y軸及直線y=?32x+5分別交于點A(?2,0)，B，C．

(1)求點B和點C的坐標；

(2)M為x軸上點A右側一動點，以AB，AM為鄰邊作?ABNM，連接CM，CN．

①求CM+CN的最小值；

②在點M移動過程中，∠CMN14.(本小題15分)

在矩形ABCD中，點E在邊BC上，將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，點A的對應點F恰好落在CD上．

(1)如圖1，求證：CE=CD；

(2)連接AF，作∠BCD的平分線交AF于點P，交EF于點M．

①如圖2，判斷點P是否為線段AF的中點，并說明理由；

②如圖3，連接PB交AE于點N，若DF=CF=1，求PN的長．

參考答案1.?82.10

3.2

4.2?5.②③④

6.747.{m|1≤m<38.(0,5)

9.710.34

11.612.(1)證明：因為∠DPB=∠A+∠ADP，因此∠DPC+∠CPB=∠A+∠ADP，

又因為∠A=∠DPC，因此∠ADP=∠CPB，又因為∠A=∠B，

因此△DAP∽△PBC；

(2)證明：因為∠A+∠ADP=∠DPB=∠DPC+∠CPB，∠A=∠DPC，

因此∠ADP=∠CPB，又因為∠A=∠B，因此△DAP∽△PBC；

(3)(i)因為∠A+∠ACP=∠CPB=∠CPE+∠EPB，∠A=∠CPE，

因此∠ACP=∠EPB，又AC=BC=6，因此∠A=∠B，因此△CAP∽△PBE；

因此ACAP=PBBE，因為CE=2EB，因此EB=2，因此AP?PB=EB?AC=2×6=12，

又因為AB=7，因此AP?(7?AP)=12，解得AP=3或AP=4；

(ii)當CP=CE時，∠CPE=∠CEP，

又因為∠CEP>∠B，∠CPE=∠A=∠B，因此CP=CE不成立；

當CP=PE時，結合(i)可得△CAP?△PBC，因此PB=AC=6，

又AB=7，因此AP=AB?PB=7?6=1；

當EC=EP時，∠CPE=∠ECP，

又因為∠CPE=∠B，因此∠B=∠ECP，因此PC=PB，

又因為△CAP∽△PBE，因此ACBP=APBE=PCEP，

又因為AP=AB?BP=7?BP，EP=CE=BC?BE=6?BE，

因此6BP=7?BPBE=13.解：(1)由直線y=12x+b過點A(?2,0)，得0=12×(?2)+b，解得b=1，

則點B的坐標為(0,1)，

由y=?32x+5y=12x+1，解得x=2y=2，則點C的坐標為C(2,2)．

(2)①由(1)得點B是線段AC的中點，即BC=AB，

由?ABNM，得MN//AC，MN=AB=BC，連接BM，則四邊形BMNC是平行四邊形，

于是BM=CN，令點B關于x軸對稱點為B′，連接MB′，CB′，

因此CM+CN=CM+MB=CM+MB′≥CB′，當且僅當點C，M，B′三點共線時取等號，

而B′(0,?1)，過C作CD⊥y軸于點D，則CD=2，DB′=3，CB′=CD2+B′D2=13，

所以CM+CN的最小值為13．

②在點M移動過程中，∠CMN能等于45°，理由如下：

當∠CMN=45°時，過C作CQ⊥CM交MN的延長線于點Q，過C作直線EF//x軸，

過M，Q作直線EF的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則△CMQ為等腰直角三角形，CM=CQ，

由∠ECM+∠EMC=90°，∠ECM+∠FCQ=90°，得∠EMC=∠FCQ，

則Rt△ECM≌Rt△FCQ，CF=EM=2，設M(m,0)，則FQ=CE=2?m，

則點Q(4,m)，由MN//AC14.(1)證明：根據(jù)題意可知AB=CD，∠ABC=∠BCD=90°，

因為將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，

所以AE=EF，∠AEF=90°，

所以∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠CEF，

所以∠BAE=∠CEF，

所以△ABE≌△ECF，

所以AB=CE，

所以CE=CD．

(2)①點P為線段AF的中點，理由如下：

作出示意圖如下：

因為∠AEF=90°，AE=EF，

所以∠PAE=∠PFE=45°，

因為CP平分∠BCD，∠BCD=90°，

所以∠PCE=∠PCF=∠PFE=45°，

又∠EMC=∠PMF，

所以△EMC∽△PMF，

所以EMPM=CMFM，

又∠PME=∠FMC，

所以△PME∽△FMC，

所以∠PEF=∠PCF=45°，

所以∠APE=∠PEF+∠PFE=90°，

所以PE⊥AF，

所以點P是線段AF的中點．；

②如圖，連接PE，

因為PE⊥AF，∠AEF=90°，AE=FE，

所以PE=PA=PF，∠AEP=∠FEP=45°，

又DF=CF=1，

所以CE=CD=2，BE=CF=1，BC=3，

又△ABE≌△ECF，

所以∠AEB=∠E