第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣西玉林市四校高二（下）期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.小明和小紅去看《哪吒2》，小明想坐第六排，小紅想坐第五排，買票時(shí)發(fā)現(xiàn)第六排還有5個(gè)位置，第五排還有9個(gè)位置，請(qǐng)問他們看電影的座位有(????)種不同選法．A.14 B.30 C.45 D.542.已知函數(shù)f(x)=exsinxx，則A.ecos1 B.esin1 C.e2 D.3.設(shè)隨機(jī)變量η=2ξ?1，且P(ξ≥4)=0.7，則P(η<7)=(

)A.0.3 B.0.5 C.0.1 D.0.24.已知a為函數(shù)f(x)=x3?12x的極小值點(diǎn)，則a=A.?4 B.?2 C.4 D.25.某冷飲店有4種瓶裝飲品可供選擇，現(xiàn)有4位同學(xué)到店，每人購買一瓶，則恰好購買了2種飲料的購買方法有(

)A.84種 B.36種 C.48種 D.120種6.2023年9月8日，杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f啟動(dòng)儀式在西湖涌金公園廣場舉行.秉持杭州亞運(yùn)會(huì)“綠色、智能、節(jié)儉、文明”的辦賽理念，本次亞運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f線路的籌劃聚焦簡約、規(guī)模適度.在杭州某路段傳遞活動(dòng)由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成.若第一棒火炬手只能從甲、乙、丙中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案種數(shù)為(

)A.18 B.24 C.36 D.487.(x?y2)(x+2y)5A.12 B.40 C.60 D.1008.已知函數(shù)f(x)=ax+1,x<0lnx,x>0若函數(shù)f(x)的圖象上存在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(?∞,0] B.(?∞,1] C.[?12,0]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.將四大名著《紅樓夢》《西游記》《三國演義》《水滸傳》，詩集《唐詩三百首》《徐志摩詩集》和戲曲《中華戲曲》7本書放在一排，則(

)A.戲曲書放在正中間位置的不同放法有A66種

B.詩集相鄰的不同放法有2A66種

C.四大名著互不相鄰的不同放法有A310.下列說法正確的是(

)A.C9029+C9128+?+C99=39

B.若11.f(x)是定義在R上的函數(shù)，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，下列說法正確的有(

)A.已知f(x)>0，且f′(x)f(x)>0，則f(3)<f(2)

B.若xf(x)+x2f′(x)>0，則函數(shù)xf(x)有極小值

C.若f′(x)>f(x)，且f(1)=e，則不等式f(x)>ex的解集為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.C74+C8513.如圖所示，積木拼盤由A，B，C，D，E五塊積木組成，若每塊積木都要涂一種顏色，且為了體現(xiàn)拼盤的特色，相鄰的區(qū)域需涂不同的顏色(如：A與B為相鄰區(qū)域，A與D為不相鄰區(qū)域)，現(xiàn)有五種不同的顏色可供挑選，則不同的涂色方法的種數(shù)是______．14.若對(duì)任意x>0，恒有a(eax+1)≥2(x+1x四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某機(jī)器人商店出售的機(jī)器人中，甲品牌的占40%，合格率為95%；乙品牌的占30%，合格率為90%；丙品牌的占30%，合格率為90%，在該商店隨機(jī)買一臺(tái)機(jī)器人．

(1)求該機(jī)器人是甲品牌合格品的概率；

(2)求該機(jī)器人是合格品的概率；

(3)若該機(jī)器人是不合格品，求它是丙品牌的概率．16.(本小題15分)

某中學(xué)舉辦“數(shù)學(xué)知識(shí)競賽”，初賽采用“兩輪制”方式進(jìn)行，要求每個(gè)班級(jí)派出兩個(gè)小組，且每個(gè)小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的小組才具備參與決賽的資格.高三(6)班派出甲、乙兩個(gè)小組參賽，在初賽中，若甲、乙兩組通過第一輪比賽的概率分別是34,35，通過第二輪比賽的概率分別是45,23，且各個(gè)小組所有輪次比賽的結(jié)果互不影響．

(1)若高三(6)班獲得決賽資格的小組個(gè)數(shù)為X，求X的分布列；

(2)已知甲、乙兩個(gè)小組在決賽中相遇，決賽以三道搶答題形式進(jìn)行，搶到并答對(duì)一題得100分，答錯(cuò)一題扣100分，得分高的獲勝17.(本小題15分)

已知x=2是函數(shù)f(x)=x3?ax2?8x+1的一個(gè)極值點(diǎn)．

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)求函數(shù)18.(本小題17分)

已知(2x?1x)n(n∈N?)的展開式的第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是2：5．

(1)求n19.(本小題17分)

英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：ex=1+x+x22!+x33!+?+xnn!+?，其中n!=1×2×3×4×?×n，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828?.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)f(x)=ex?e?x2,g(x)=ex+e?x答案解析1.【答案】C

【解析】解：已知小明和小紅去看《哪吒2》，小明想坐第六排，小紅想坐第五排，買票時(shí)發(fā)現(xiàn)第六排還有5個(gè)位置，第五排還有9個(gè)位置，

由分步乘法原理可得，他們看電影的座位有5×9=45種不同選法．

故選：C．

由分步乘法原理可得．

本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．2.【答案】A

【解析】解：f′(x)=(ex)′sinxx+ex(sinxx)′=ex3.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，因?yàn)棣?2ξ?1，則P(ξ≥4)=P(η≥7)=0.7，

故P(η<7)=1?P(η≥7)=0.3．

故選：A．

根據(jù)隨機(jī)變量之間的關(guān)系可知若ξ≥4，可得η≥7，結(jié)合對(duì)立事件概率求法求出結(jié)果．

本題考查隨機(jī)變量的概率計(jì)算，涉及對(duì)立事件的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】D

【解析】【分析】本題考查函數(shù)極小值點(diǎn)的定義，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)極值點(diǎn)的方法及過程，要熟悉二次函數(shù)的圖象，是基礎(chǔ)題．

可求導(dǎo)數(shù)得到f′(x)=3x2?12，可通過判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)從而得出f(x)【解答】

解：f′(x)=3x2?12；

∴x<?2時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

?2<x<2時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

x>2時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

∴x=2是f(x)的極小值點(diǎn)；

又a為f(x)的極小值點(diǎn)；

∴a=2．

5.【答案】A

【解析】解：某冷飲店有4種瓶裝飲品可供選擇，現(xiàn)有4位同學(xué)到店，每人購買一瓶，且恰好購買了2種飲料，

先指定購買的2種飲料，共C42=6種，要求這4位同學(xué)只能購買這2種飲料，

利用間接法，每位同學(xué)共有2種選擇，共24=16種購買方法，

除去4位同學(xué)所買的飲料都是同一種，共2種情況，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，恰好購買了2種飲料的購買方法種數(shù)為6×(16?2)=84種．

故選：A．

先指定購買的2種飲料，然后要求46.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

當(dāng)?shù)谝话魹楸麜r(shí)，排列方案有C21A33=12種；

當(dāng)?shù)谝话魹榧谆蛞視r(shí)，排列方案有A22A33=12種；7.【答案】C

【解析】解：因?yàn)?x?y2)(x+2y)5=x(x+2y)5?y2(x+2y)5，

其中(x+2y)5展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C5rx5?r(2y)r(r∈{0,1,2,3,4,5})8.【答案】B

【解析】解：函數(shù)f(x)=ax+1,x<0lnx,x>0若函數(shù)f(x)的圖象上存在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，

可得x>0時(shí)，ax?1=lnx，有解；

可得a=lnx+1x，令g(x)=lnx+1x，g′(x)=?lnxx2，所以x∈(0,1)時(shí)，g′(x)>0，函數(shù)是增函數(shù)，x>1時(shí)，g′(x)<0，函數(shù)g(x)是減函數(shù)，所以g(x)的最大值為：g(1)=1，

所以a≤1．

故選：B9.【答案】ABC

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A，戲曲書放在正中間位置的不同方法有A66種，即選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，詩集相鄰的不同方法有A22A66=2A66種，即選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C，四大名著互不相鄰，先將四大名著全排，然后將另外3本書排在四大名著之間的3個(gè)空中即可，即不同方法有A33A44種，即選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D，四大名著不放在兩端，先將四大名著排在中間5個(gè)位置，然后將其他10.【答案】AB

【解析】解：對(duì)于A項(xiàng)，由二項(xiàng)式定理可知c9029+c9128+?+c99=(2+1)9=39，故A項(xiàng)正確；

對(duì)于B項(xiàng)，若(2x?1)8=a0+a1x+a2x+…+a8x8，

令x=0得，a0=1①，

令x=1得，1=a0+a1+a2+1+a311.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A，令函數(shù)g(x)=lnf(x)，那么導(dǎo)函數(shù)g′(x)=f′(x)f(x)>0，

因此函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，因此函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，因此f(3)>f(2)，所以A錯(cuò)誤．

對(duì)于選項(xiàng)B，令函數(shù)g(x)=xf(x)，那么導(dǎo)函數(shù)g′(x)=f(x)+xf′(x)，

由于xf(x)+x2f′(x)>0，

因此當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)g(x)<0，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)g(x)>0，

所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，在(?∞,0)上單調(diào)遞減，

因此函數(shù)g(x)=xf(x)在x=0取得極小值，因此選項(xiàng)B正確．

對(duì)于選項(xiàng)C，令函數(shù)g(x)=f(x)ex，那么導(dǎo)函數(shù)g′(x)=f′(x)?f(x)ex>0，

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，而f(x)>ex等價(jià)于f(x)ex>f(1)e，

所以g(x)>g(1)，所以x>1，所以不等式f(x)>ex的解集為(1,+∞)，所以C正確．

對(duì)于D，令g(x)=f(x)x?2(x>2)，則g′(x)=(x?2)f′(x)?f(x)(x?2)2>0，

所以g(x)在(2,+∞)單調(diào)遞增，所以g(4)>g(3)，即f(4)2>f(3)1，

所以12.【答案】175

【解析】解：法一：

由題意，C74+C85+C96=(C73+C74+C85+C9613.【答案】960

【解析】解：已知五種不同的顏色對(duì)A，B，C，D，E五塊積木進(jìn)行涂色，

若每塊積木都要涂一種顏色，且為了體現(xiàn)拼盤的特色，相鄰的區(qū)域需涂不同的顏色，

先涂A，則A有5種涂法，再涂B，

因?yàn)锽與A相鄰，

所以B的顏色只要與A不同即可，有4種涂法，

同理C有3種涂法，D有4種涂法，E有4種涂法，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知不同的涂色方法種數(shù)為5×4×3×4×4=960．

故答案為：960．

先涂A，再涂B，再涂C，再涂D，最后涂E，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的涂色方法種數(shù)．

本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．14.【答案】[2【解析】解：由不等式a(eax+1)≥2(x+1x)lnx，可得(eax+1)lneax≥(x2+1)lnx2，

設(shè)f(t)=(t+1)lnt(t>0)，

則f′(t)=lnt+t+1t，f″(t)=1t?1t2=t?1t2，

0<t<1時(shí)，f″(t)<0；t>1時(shí)，f″(t)>0，

故f′(t)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

因此f′(t)≥f′(1)=2>0，

因此f(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

由f(eax)≥f(x2)得eax≥x2，即a≥2lnxx，

設(shè)g(x)=15.【答案】0.38；

0.92；

38．【解析】解：(1)用A表示機(jī)器人是甲品牌，用B表示機(jī)器人是合格品，

甲品牌的占40%，合格率為95%，

則P(A)=40%，P(B|A)=95%，

所以該機(jī)器人是甲品牌合格品的概率P(BA)=P(A)P(B|A)=40%×95%=0.38．

(2)用C表示機(jī)器人是乙品牌，用D表示機(jī)器人是丙品牌，

甲品牌的占40%，合格率為95%；乙品牌的占30%，合格率為90%；丙品牌的占30%，合格率為90%，

P(B)=P(A)P(B|A)+P(C)P(B|C)+P(D)P(B|D)

=40%×95%+30%×90%+30%×90%=0.92；

(3)由(2)知，該機(jī)器人是不合格品的概率P(B?)=1?0.92=0.08，

若該機(jī)器人是不合格品，它是丙品牌的概率P(D|B?)=P(DB?)P(B16.【答案】(1)設(shè)甲、乙通過兩輪制的初賽分別為事件A1，A2，

則P(A1)=34×45=35,P(A2)=35×23=25X012P6136(2)依題意甲、乙搶到并答對(duì)一題的概率分別為P(B1)=13×35=15，P(B2)=23×25=415，

乙已得100分，甲若想獲勝情況有：

①甲得200分，其概率為15×15【解析】(1)先算出甲乙通過兩輪制的初賽的概率，X的取值有0，1，2分三種情況解決；

(2)先分別算出甲，乙搶到并答對(duì)一題的概率，然后再算出乙已得100分，甲若想獲勝的3種情況，最后由分類加法計(jì)數(shù)原理求解即可．

本題主要考查了獨(dú)立事件的概率公式，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列，屬于中檔題．17.【答案】(1)解：因?yàn)閒(x)=x3?ax2?8x+1，所以f′(x)=3x2?2ax?8，

因?yàn)閤=2是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)．

所以f′(2)=0，

所以f′(2)=12?4a?8=0，∴a=1，經(jīng)檢驗(yàn)，a=1符合題意．

(2)解：由(1)可知f(x)=x3?x2?8x+1，∴f′(x)=(x?2)(3x+4)，

令f′(x)>0，解得x<?43或x>2，令f′(x)<0，解得?43<x<2，

因?yàn)閤∈[?1,3]，

所以f(x)在(?1,2)上單調(diào)遞減，(2,3)上單調(diào)遞增，

【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意f′(2)=0，即可得到方程，解得即可，再檢驗(yàn)即可；

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值，再計(jì)算出區(qū)間端點(diǎn)值，即可得到函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．18.【答案】6；

60；

T3=240【解析】