結構穩(wěn)定理論授課教師|XXX授課內容22.1引言2.2鐵摩辛柯能量法2.3勢能駐值原理和最小勢能原理2.4瑞利-里茨法2.5迦遼金法第2章穩(wěn)定計算的能量法2.1引言3靜力法求解構件穩(wěn)定問題，是通過建立臨界狀態(tài)的平衡微分方程而求出臨界荷載的精確解。但是，靜力法需要求解微分方程，同時得到的穩(wěn)定方程又是超越方程，求解十分困難。由于構件截面的變化或受力的復雜性，有時甚至要求解變系數平衡微分方程，往往不能得到閉合解，這就需要一些近似方法來求解。非等截面構件壓力沿軸線變化的構件壓桿的彈塑性屈曲問題具有變系數的平衡微分方程求解困難或無法求解2.1引言4近似方法：能量法

鐵摩辛柯能量法

勢能駐值原理和最小勢能原理

瑞利-里茨法

迦遼金法當時，中性平衡狀態(tài)2.2鐵摩辛柯能量法5能量守恒原理：保守體系處于平衡狀態(tài)時，貯存在結構體系中的應變能等于外力所作的功：鐵摩辛柯能量法：用能量守恒原理解決結構彈性穩(wěn)定問題受到擾動后：體系應變能增量

ΔEε

=外荷載作功增量

ΔW+擾動力所作功當時，不穩(wěn)定平衡狀態(tài)當時，穩(wěn)定平衡狀態(tài)求解臨界荷載2.2鐵摩辛柯能量法6以兩端鉸接軸心受壓直桿為例來說明鐵摩辛柯能量法：桿在中性平衡狀態(tài)下彎曲后，上端下降δ，外力所作的功：取桿件的微段dx來研究：因為θ

角很小，故可取兩端鉸接的軸心受壓直桿2.2鐵摩辛柯能量法7以兩端鉸接軸心受壓直桿為例來說明鐵摩辛柯能量法：兩端鉸接的軸心受壓直桿沿桿長積分，得到桿件上端下降量δ

為：外力功為：桿件由直線狀態(tài)過渡到曲線平衡狀態(tài)過程產生的彎曲應變能增量為：式中，y(x)是任一可能的撓度曲線，即滿足位移邊界條件的撓度曲線。根據ΔEε

=ΔW

得：2.2鐵摩辛柯能量法8以兩端鉸接軸心受壓直桿為例來說明鐵摩辛柯能量法：兩端鉸接的軸線受壓直桿由Fcr即為臨界荷載：支承情況撓度曲線級數表達式2.2鐵摩辛柯能量法9滿足位移邊界條件的撓度曲線級數表達式：2.2鐵摩辛柯能量法10滿足位移邊界條件的撓度曲線級數表達式：支承情況撓度曲線級數表達式2.2鐵摩辛柯能量法11滿足位移邊界條件的撓度曲線級數表達式：支承情況撓度曲線級數表達式支承情況撓度曲線級數表達式2.2鐵摩辛柯能量法12滿足位移邊界條件的撓度曲線級數表達式：2.2鐵摩辛柯能量法13例題2.1

采用鐵摩辛柯能量法來求兩端鉸接軸心受壓直桿的臨界荷載。解1:假定，此式滿足位移邊界和力學邊界條件。力學邊界條件：

位移邊界條件：

將代入ΔEε

和ΔW表達式，得到：2.2鐵摩辛柯能量法14根據ΔEε=ΔW得：與精確值完全一致采用能量法的精度取于位移函數的選擇2.2鐵摩辛柯能量法15選擇原則:形狀合理，盡量與真實變形接近盡可能滿足幾何、力學邊界條件，至少滿足幾何邊界條件易積分，便于計算，如常選用多項式和三角函數解2:設位移函數為：位移邊界：a=0b=-cl不滿足力學邊界條件2.2鐵摩辛柯能量法16代入ΔEε

和ΔW表達式，得到：根據ΔEε

=ΔW得：比精確值大21%解3:仍假定位移函數為：ΔW計算不變ΔEε的計算采用，而非2.2鐵摩辛柯能量法17根據ΔEε=ΔW得：比精確值大1.3%由于假定的y(x)不是真實的屈曲撓度曲線，y〞的誤差更大2.3勢能駐值原理和最小勢能原理18虛位移原理：變形體處于平衡狀態(tài)的充分必要條件是，對于與約束條件相協調的任意微小虛位移，外力虛功應等于內力虛功，即外力虛功內力虛功，始終為負值，應等于負的虛應變能外力勢能

為總勢能，應變能和外力勢能之和。勢能駐值原理：當體系處于平衡狀態(tài)時，總勢能一階變分為零，或體系總勢能為一駐值。2.3勢能駐值原理和最小勢能原理19勢能駐值條件平衡狀態(tài)平衡是否穩(wěn)定，還要進一步考察Ep的高階變分最小勢能原理：對于穩(wěn)定的平衡，給定任何虛位移，總勢能的變化ΔEp總為正，因為只有干擾力作正功才可能偏離原來的平衡位置。因此，在穩(wěn)定平衡狀態(tài)，體系的總勢能為最小。（a）穩(wěn)定平衡（b）隨遇平衡（中性平衡）（c）不穩(wěn)定平衡剛體的平衡狀態(tài)202.3勢能駐值原理和最小勢能原理當時，，為極小，屬于穩(wěn)定平衡；當時，，為極大，屬于不穩(wěn)定平衡。當時，，屬于中性平衡；求臨界荷載的兩種方法：從中性平衡狀態(tài)的荷載為臨界荷載這一概念出發(fā)，由勢能駐值原理，求臨界荷載。從穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的荷載為臨界荷載這一概念出發(fā)，由最小勢能原理，求臨界荷載。簡單，平衡條件更嚴密2.4瑞利-里茨法21瑞利－里茨法：建立在勢能駐值原理基礎上的近似方法，用求解代數方程式代替求解微分方程式。步驟：假定體系在中性平衡時，沿坐標軸x、y、

z方向的位移分量分別為：形狀函數2.4瑞利-里茨法22將假定的形狀函數代入勢能方程Ep=Eε-W中，根據勢能駐值原理得：由于是微小的任意值：求解臨界荷載2.4瑞利-里茨法23例題2.3

采用瑞利－里茨法求解一端固定一端鉸接軸心壓桿的臨界荷載。根據表2.1，位移函數只取前兩項：位移函數的一階、二階導數分別為：壓桿的應變能為：滿足邊界條件2.4瑞利-里茨法24外力勢能為：壓桿的總勢能為：對系數α1、

α2

微分：2.4瑞利-里茨法25系數α1、

α2不全為零的條件是其系數行列式為零，得到穩(wěn)定方程為：比精確值大3.7%2.5迦遼金法26瑞利－里茨法：迦遼金法：瑞利－里茨法的改進型，仍然利用勢能駐值原理，直接寫出微分方程。

假定形函數

寫出勢能方程容易利用勢能駐值原理，對系數微分得到代數方程組失穩(wěn)時系數不全為零，得到特征值方程組，求解臨界荷載2.5迦遼金法27原理及步驟：以兩端鉸接軸心受壓直桿為例在彎曲狀態(tài)下的應變能和外力勢能分別為：則總勢能為:根據勢能駐值原理，一階變分得：利用分部積分：2.5迦遼金法28代入邊界條件，簡化得到：令L(y)=EIy(4）+Fy'',L(y)為軸壓構件平衡微分方程的左端項：設軸心受壓構件撓曲線方程為：變形曲線y的一階變分為：2.5迦遼金法29代入形函數方程，得：由于是不等于零的任意微小量，其系數等于零上式才成立，于是得到迦遼金方程組為：求解臨界荷載2.5迦遼金法30例題2.4

采用迦遼金法求