結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論授課教師|XXX授課內(nèi)容28.1引言8.2圓形軸線曲桿平面內(nèi)彎曲的基本方程8.3圓拱在均布法向荷載作用下的平面內(nèi)屈曲第8章拱的平面內(nèi)屈曲8.1引言3拱在橫向荷載作用下，當(dāng)荷載達(dá)到某一臨界值時(shí)，可能在荷載作用平面內(nèi)發(fā)生彎曲屈曲，也可能發(fā)生彎扭屈曲。在一般情況下，拱的內(nèi)力主要是軸向壓力，同時(shí)也存在彎矩和剪力。當(dāng)拱軸線為合理拱軸線時(shí)，三鉸拱中只存在軸壓力。在超靜定拱中，當(dāng)不考慮軸向變形時(shí)，也只有軸壓力。8.1引言4拱的穩(wěn)定問題比較復(fù)雜。在只有軸壓力的情況下，拱的穩(wěn)定性與拱軸線的形狀和矢跨比有關(guān)，同時(shí)與約束情況，截面沿拱軸線變化情況等因素有關(guān)。當(dāng)拱中除了軸壓力外，如果還存在彎矩和剪力時(shí)，情況就更加復(fù)雜。本章只討論在均布法向荷載作用下，等截面圓拱的平面內(nèi)彎曲屈曲這類較為簡(jiǎn)單的情況。8.2圓形軸線曲桿平面內(nèi)彎曲的基本方程5圓形軸線曲桿的位移微段的總變形(a)由切線方向位移(b)與法線方向位移(c)兩部分疊加而成。(a)(b)(c)8.2圓形軸線曲桿平面內(nèi)彎曲的基本方程6切線方向位移u產(chǎn)生的正應(yīng)變?yōu)椋合鄳?yīng)地，引起截面A的轉(zhuǎn)角變化為：8.2圓形軸線曲桿平面內(nèi)彎曲的基本方程7法線方向位移u產(chǎn)生的正應(yīng)變?yōu)椋鹤⒁獾角?，則：相應(yīng)地，引起截面A的轉(zhuǎn)角變化為：8.2圓形軸線曲桿平面內(nèi)彎曲的基本方程8正應(yīng)變以伸長(zhǎng)為正，轉(zhuǎn)角以順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)檎?。在拱的穩(wěn)定計(jì)算中，通常認(rèn)為軸向應(yīng)變可以忽略不計(jì)，即假定

。則總應(yīng)變：

注意到曲率，則：截面A的轉(zhuǎn)角為：8.2圓形軸線曲桿平面內(nèi)彎曲的基本方程9一般直徑較大的圓形軸線曲桿，曲率比較小，而且截面高度與曲率半徑相比也比較小，可以忽略曲率的影響，認(rèn)為曲率的改變量與彎矩的關(guān)系為：根據(jù)式（8-2），并考慮（8-1b）所示關(guān)系，得：把上式代入式（8-3），得：8.2圓形軸線曲桿平面內(nèi)彎曲的基本方程10綜上，圓形軸線曲桿平面內(nèi)彎曲的基本微分方程為：式中，法線方向位移以向曲桿圓心方向時(shí)為正值，彎矩M為使曲率減小時(shí)為正值。8.3圓拱在均布法向荷載作用下的平面內(nèi)屈曲11圓拱承受法向荷載q（靜水壓力）時(shí)，失穩(wěn)前只承受軸向壓力，而彎矩和剪力均為零。由平衡條件可知，拱內(nèi)軸壓力為：當(dāng)荷載

q加大到某一臨界值時(shí)，拱將發(fā)生彎曲平面內(nèi)屈曲。屈曲后，拱截面上除產(chǎn)生軸壓力外，還將產(chǎn)生彎矩和剪力。8.3圓拱在均布法向荷載作用下的平面內(nèi)屈曲12兩鉸圓拱的平面內(nèi)屈曲：計(jì)算結(jié)果表明，雙鉸拱對(duì)稱屈曲時(shí)的臨界荷載遠(yuǎn)大于反對(duì)稱屈曲時(shí)的臨界荷載。因此，下面只討論起拱作用的反對(duì)稱屈曲情況。反對(duì)稱屈曲時(shí)的平衡位形對(duì)稱屈曲時(shí)的平衡位形8.3圓拱在均布法向荷載作用下的平面內(nèi)屈曲13對(duì)O點(diǎn)求矩建立平衡方程，得：即：取其左半部分為隔離體8.3圓拱在均布法向荷載作用下的平面內(nèi)屈曲14將式（8-6）代入式（8-4）得到屈曲時(shí)的平衡方程為：

令：則式（8-7）可寫為：8.3圓拱在均布法向荷載作用下的平面內(nèi)屈曲15其通解為：由邊界條件時(shí)，，得。由邊界條件時(shí)，，并考慮系數(shù)A與B不可能同時(shí)為零，即得到。的最小根為，于是得到：8.3圓拱在均布法向荷載作用下的平面內(nèi)屈曲16將其代入式（8-8）中，得臨界荷載為：臨界軸向壓力為：當(dāng)

角較小時(shí)，，式（8-11）可近似地寫為：8.3圓拱在均布法向荷載作用下的平面內(nèi)屈曲17式中為拱軸總長(zhǎng)度的一半。說明