2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷-解析幾何與三角函數(shù)綜合試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.已知點(diǎn)A（1，2）和B（3，0），若點(diǎn)P在直線AB上，且滿足|AP|：|PB|=1：2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A.（2，1）B.（1.5，1）C.（2.5，1）D.（3，1）2.函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)的圖像關(guān)于哪條直線對(duì)稱？（）A.x=π/6B.x=π/3C.x=π/2D.x=2π/33.若sinα=1/2，且α是第二象限的角，則cosα的值為（）A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/24.拋物線y^2=2px（p>0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A.pB.2pC.p/2D.4p5.直線y=kx+1與圓x^2+y^2=1相交于兩點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A.(-1，1)B.(-∞，-1)∪(1，+∞)C.(-∞，0)∪(0，+∞)D.(-1，1)∪(1，+∞)6.函數(shù)f(x)=cos^2(x-π/4)的最小正周期是（）A.πB.2πC.π/2D.4π7.已知向量a=(1，2)，b=(3，-1)，則向量a+b的模長(zhǎng)為（）A.√10B.√13C.√14D.√158.設(shè)集合A={x|sinx>0}，B={x|cosx<0}，則A∩B的范圍是（）A.(0，π/2)B.(π/2，π)C.(π，3π/2)D.(3π/2，2π)9.雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1的離心率為（）A.√(a^2+b^2)B.a/bC.√(a^2+b^2)/aD.√(a^2+b^2)/b10.若點(diǎn)P在橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離的最大值為（）A.aB.cC.a+cD.a-c11.函數(shù)f(x)=tan(x-π/4)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（）A.(π/4，1)B.(π/2，1)C.(π/3，√3)D.(π/6，1)12.已知點(diǎn)A（1，0），B（0，1），C（1，1），若點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，且滿足△APB的面積是△APC面積的2倍，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A.（2/3，1/3）B.（1/3，2/3）C.（1/2，1/2）D.（1/4，1/4）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.已知cos(α+β)=1/2，sinα=-1/2，且α是第四象限的角，則β的值為______。14.拋物線y^2=8x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是______。15.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，則f(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值是______。16.已知直線y=kx+1與圓x^2+y^2=1相交于兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1/2，1/2），則k的值為______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）已知函數(shù)f(x)=2sin(x+π/6)-1，（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π/2，π/2]上的最大值和最小值。18.（12分）已知點(diǎn)A（1，2）和B（3，0），（1）求直線AB的方程；（2）若點(diǎn)P在直線AB上，且滿足|AP|：|PB|=1：2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。19.（12分）已知拋物線C：y^2=2px（p>0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，（1）求拋物線C的方程；（2）若直線y=x+m與拋物線C相交于兩點(diǎn)P和Q，且|PQ|=8，求實(shí)數(shù)m的值。20.（12分）已知橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的離心率為√3/2，（1）求橢圓C的方程；（2）若點(diǎn)P在橢圓C上，且點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離的最大值為2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。21.（12分）已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值和最小值。22.（12分）已知直線y=kx+1與圓x^2+y^2=1相交于兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1/2，1/2），（1）求實(shí)數(shù)k的值；（2）求直線y=kx+1與圓x^2+y^2=1相交的弦長(zhǎng)。四、證明題（本大題共1小題，共10分。）23.已知函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)-cos(x+π/6)，（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，π]上是增函數(shù)。五、綜合題（本大題共1小題，共10分。）24.已知點(diǎn)A（1，0），B（0，1），C（1，1），若點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，且滿足△APB的面積是△APC面積的2倍，（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)P到直線AB的距離。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：C解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)|AP|：|PB|=1：2，可得|AP|/|PB|=1/2。由兩點(diǎn)間距離公式，得|AP|=(√((x-1)^2+(y-2)^2))，|PB|=(√((x-3)^2+y^2))。代入比例關(guān)系，得(√((x-1)^2+(y-2)^2))/(√((x-3)^2+y^2))=1/2。兩邊平方，得(x-1)^2+(y-2)^2=(1/4)((x-3)^2+y^2)。展開并化簡(jiǎn)，得x^2-2x+1+y^2-4y+4=(1/4)(x^2-6x+9+y^2)。整理，得4x^2-8x+4+4y^2-16y+16=x^2-6x+9+y^2。移項(xiàng)并合并同類項(xiàng)，得3x^2-2x+3y^2-16y+11=0。由點(diǎn)P在直線AB上，直線AB的斜率為-1，即y=-x+3。代入上式，得3x^2-2x+3(-x+3)^2-16(-x+3)+11=0。展開并化簡(jiǎn)，得3x^2-2x+3(x^2-6x+9)+16x-48+11=0。整理，得6x^2+10x-14=0。解得x=2.5或x=-1.17（舍去）。代入y=-x+3，得y=0.5。故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2.5，0.5）。2.答案：B解析：函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)的圖像關(guān)于直線x=π/3對(duì)稱。因?yàn)閟in函數(shù)的周期為2π，所以sin(x+π/3)的周期也為2π。sin函數(shù)的圖像關(guān)于x=π/2對(duì)稱，所以sin(x+π/3)的圖像關(guān)于x=π/2-π/3=π/6對(duì)稱。但題目要求的是關(guān)于x=π/3對(duì)稱，所以需要進(jìn)一步分析。考慮sin函數(shù)的圖像平移π/3個(gè)單位，得到sin(x+π/3)的圖像。平移后的圖像關(guān)于x=π/3對(duì)稱。因此，sin(x+π/3)的圖像關(guān)于x=π/3對(duì)稱。3.答案：D解析：因?yàn)棣潦堑诙笙薜慕?，所以cosα<0。由sin^2α+cos^2α=1，得cos^2α=1-sin^2α=1-(1/2)^2=3/4。因?yàn)閏osα<0，所以cosα=-√3/2。4.答案：A解析：拋物線y^2=2px（p>0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p。因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于p/2，所以p/2=p，解得p=2p，即p=0（舍去）或p=p。故焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p。5.答案：C解析：直線y=kx+1與圓x^2+y^2=1相交于兩點(diǎn)，則圓心（0，0）到直線y=kx+1的距離小于1。圓心到直線的距離為|k*0-0*1+1|/√(k^2+1)=1/√(k^2+1)。所以1/√(k^2+1)<1，即√(k^2+1)>1，解得k^2>0，即k≠0。故k的取值范圍是(-∞，0)∪(0，+∞)。6.答案：C解析：函數(shù)f(x)=cos^2(x-π/4)的最小正周期是π/2。因?yàn)閏os函數(shù)的周期為2π，所以cos^2(x-π/4)的周期為2π/2=π。但題目要求的是最小正周期，所以需要進(jìn)一步分析?？紤]cos函數(shù)的圖像平移π/4個(gè)單位，得到cos^2(x-π/4)的圖像。平移后的圖像的周期為π/2。因此，cos^2(x-π/4)的最小正周期是π/2。7.答案：C解析：向量a=(1，2)，b=(3，-1)，則向量a+b=(1+3，2-1)=(4，1)。向量a+b的模長(zhǎng)為√(4^2+1^2)=√17。但選項(xiàng)中沒有√17，所以需要重新計(jì)算。實(shí)際上，向量a+b的模長(zhǎng)為√(4^2+1^2)=√17≈4.12。選項(xiàng)中最接近的是√14≈3.74，所以可能是答案錯(cuò)誤或選項(xiàng)錯(cuò)誤。8.答案：B解析：集合A={x|sinx>0}，B={x|cosx<0}。sinx>0的解集為(2kπ，(2k+1)π)，k∈Z。cosx<0的解集為((2k+1)π/2，(2k+3)π/2)，k∈Z。A∩B的范圍是(π/2，π)∪(3π/2，2π)。但題目只要求一個(gè)范圍，所以選擇(π/2，π)。9.答案：C解析：雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1的離心率為√(a^2+b^2)/a。離心率e=c/a，其中c=√(a^2+b^2)。所以e=√(a^2+b^2)/a。10.答案：C解析：橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1的離心率為c/a，其中c=√(a^2-b^2)。點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離的最大值為a+c。因?yàn)殡x心率e=c/a，所以c=ae。所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離的最大值為a+ae=a(1+e)。11.答案：A解析：函數(shù)f(x)=tan(x-π/4)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(π/4，1)。因?yàn)閠an(π/4)=1，所以f(π/4)=tan(π/4-π/4)=tan(0)=0≠1。所以點(diǎn)(π/4，1)不在圖像上?？紤]其他選項(xiàng)，f(π/2)=tan(π/2-π/4)=tan(π/4)=1，所以點(diǎn)(π/2，1)在圖像上。f(π/3)=tan(π/3-π/4)=tan(π/12)，tan(π/12)≈0.2679≠1。f(π/6)=tan(π/6-π/4)=tan(-π/12)，tan(-π/12)≈-0.2679≠1。所以只有點(diǎn)(π/2，1)在圖像上。但題目選項(xiàng)中沒有(π/2，1)，所以可能是題目錯(cuò)誤或選項(xiàng)錯(cuò)誤。12.答案：A解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則△APB的面積為(1/2)|x*1+y*0-0*2|=(1/2)|x|，△APC的面積為(1/2)|x*1+y*1-1*2|=(1/2)|x+y-2|。由題意，(1/2)|x|=2*(1/2)|x+y-2|，即|x|=|x+y-2|。因?yàn)辄c(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，所以x>0，y>0，且x+y<2。所以|x|=x，|x+y-2|=2-x。所以x=2-x，解得x=1。代入y=x/2，得y=1/2。故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1/2）。但選項(xiàng)中沒有（1，1/2），所以可能是答案錯(cuò)誤或選項(xiàng)錯(cuò)誤。二、填空題答案及解析13.答案：2kπ+5π/6，k∈Z解析：因?yàn)閏os(α+β)=1/2，所以α+β=π/3或α+β=11π/3。因?yàn)閟inα=-1/2，且α是第四象限的角，所以α=11π/6。所以β=π/3-11π/6=5π/6，或β=11π/3-11π/6=2kπ+5π/6，k∈Z。故β的值為2kπ+5π/6，k∈Z。14.答案：4解析：拋物線y^2=8x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p/2，其中p=8。所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為8/2=4。15.答案：√3/2解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)在區(qū)間[0，π]上的最大值為1，最小值為-1。但題目要求的是最大值和最小值，所以需要進(jìn)一步分析?？紤]sin函數(shù)的圖像平移π/3個(gè)單位，得到sin(2x+π/3)的圖像。平移后的圖像的最大值為√3/2，最小值為-√3/2。因此，sin(2x+π/3)在區(qū)間[0，π]上的最大值為√3/2，最小值為-√3/2。16.答案：-1解析：設(shè)直線y=kx+1與圓x^2+y^2=1相交于兩點(diǎn)P和Q，則P和Q的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1/2，1/2）。由中點(diǎn)公式，得P和Q的坐標(biāo)分別為（1/2，1/2）±（√(1-(1/2)^2)，√(1-(1/2)^2)）。即P和Q的坐標(biāo)分別為（1/2±√3/2，1/2±√3/2）。代入圓的方程，得（1/2±√3/2）^2+(1/2±√3/2)^2=1。展開并化簡(jiǎn)，得1/4+3/4+1/4+3/4=1，即2=1（矛盾）。所以假設(shè)錯(cuò)誤，直線y=kx+1與圓x^2+y^2=1不可能相交于兩點(diǎn)。故k不存在。但題目要求的是k的值，所以可能是題目錯(cuò)誤或選項(xiàng)錯(cuò)誤。三、解答題答案及解析17.解析：（1）函數(shù)f(x)=2sin(x+π/6)-1的最小正周期為2π。因?yàn)閟in函數(shù)的周期為2π，所以sin(x+π/6)的周期為2π。因此，2sin(x+π/6)的周期也為2π。減去1不改變周期，所以f(x)的最小正周期為2π。（2）函數(shù)f(x)=2sin(x+π/6)-1在區(qū)間[-π/2，π/2]上的最大值為1，最小值為-3。因?yàn)閟in函數(shù)在區(qū)間[-π/2，π/2]上的取值范圍為[-1，1]，所以2sin(x+π/6)在區(qū)間[-π/2，π/2]上的取值范圍為[-2，2]。因此，f(x)=2sin(x+π/6)-1在區(qū)間[-π/2，π/2]上的取值范圍為[-3，1]。所以最大值為1，最小值為-3。18.解析：（1）設(shè)直線AB的方程為y=kx+b。由點(diǎn)A（1，2）和B（3，0），得k=(0-2)/(3-1)=-1，b=2-(-1)*1=3。所以直線AB的方程為y=-x+3。（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由題意，|AP|：|PB|=1：2，即|AP|/|PB|=1/2。由兩點(diǎn)間距離公式，得|AP|=(√((x-1)^2+(y-2)^2))，|PB|=(√((x-3)^2+y^2))。代入比例關(guān)系，得(√((x-1)^2+(y-2)^2))/(√((x-3)^2+y^2))=1/2。兩邊平方，得(x-1)^2+(y-2)^2=(1/4)((x-3)^2+y^2)。展開并化簡(jiǎn)，得x^2-2x+1+y^2-4y+4=(1/4)(x^2-6x+9+y^2)。整理，得4x^2-8x+4+4y^2-16y+16=x^2-6x+9+y^2。移項(xiàng)并合并同類項(xiàng)，得3x^2-2x+3y^2-16y+11=0。由點(diǎn)P在直線AB上，直線AB的斜率為-1，即y=-x+3。代入上式，得3x^2-2x+3(-x+3)^2-16(-x+3)+11=0。展開并化簡(jiǎn)，得3x^2-2x+3(x^2-6x+9)+16x-48+11=0。整理，得6x^2+10x-14=0。解得x=2.5或x=-1.17（舍去）。代入y=-x+3，得y=0.5。故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2.5，0.5）。19.解析：（1）拋物線C：y^2=2px（p>0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p/2，所以p/2=4，解得p=8。故拋物線C的方程為y^2=16x。（2）設(shè)直線y=x+m與拋物線y^2=16x相交于兩點(diǎn)P和Q，則P和Q的坐標(biāo)分別為（x，x+m）和（y，y+m）。代入拋物線方程，得(x+m)^2=16x，即x^2+2mx+m^2-16x=0。由韋達(dá)定理，得x1+x2=-2m/1=16，解得m=-8。所以直線y=x-8與拋物線y^2=16x相交于兩點(diǎn)P和Q，且|PQ|=8。20.解析：（1）橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的離心率為√3/2，所以c/a=√3/2，即c=√3/2*a。因?yàn)閏^2=a^2-b^2，所以(√3/2*a)^2=a^2-b^2，解得b^2=a^2-(3/4*a^2)=1/4*a^2。所以b=1/2*a。故橢圓C的方程為x^2/(4b^2)+y^2/b^2=1，即x^2/4+y^2/1=1。（2）點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離的最大值為2，所以a+c=2。因?yàn)閏=√3/2*a，所以a+√3/2*a=2，解得a=4/(2+√3)。所以c=√3/2*a=2√3/(2+√3)。故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0）或（-a，0），即（4/(2+√3)，0）或（-4/(2+√3)，0）。21.解析：（1）函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期為π。因?yàn)閟in函數(shù)的周期為2π，所以sin(2x+π/3)的周期為2π/2=π。（2）函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)在區(qū)間[0，π]上的最大值為1，最小值為-1/2。因?yàn)閟in函數(shù)在區(qū)間[0，π]上的取值范圍為[-1/2，1]，所以f(x)=sin(2x+π/3)在區(qū)間[0，π]上的取值范圍為[-1/2，1]。所以最大值為1，最小值為-1/2。22.解析：（1）設(shè)直線y=kx+1與圓x^2+y^2=1相交于兩點(diǎn)P和Q，則P和Q的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1/2，1/2）。由中點(diǎn)公式，得P和Q的坐標(biāo)分別為（1/2，1/2）±（√(1-(1/2)^2)，√(1-(1/2)