23.1.1成比例線段第23章

圖形的相似【2025-2026學年華東師大版】數(shù)學

九年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********幻燈片1：封面標題：23.1.1成比例線段副標題：理解比例關系，掌握線段成比例的判定幻燈片2：情境引入現(xiàn)實生活中，我們常常會遇到形狀相同但大小不同的圖形，例如兩張尺寸不同的照片、比例尺不同的地圖等。這些圖形中對應線段的長度存在一定的比例關系，這種關系就是我們今天要學習的成比例線段?；脽羝?：線段的比定義：如果選用同一長度單位量得兩條線段\(a\)、\(b\)的長度分別為\(m\)、\(n\)，那么這兩條線段的比就是它們長度的比，即\(a:b=m:n\)，或寫成\(\frac{a}=\frac{m}{n}\)。注意事項：線段的比是一個正數(shù)，沒有單位。兩條線段的比與所選用的長度單位無關，但在計算時單位必須統(tǒng)一。若\(\frac{a}=k\)，則\(a=kb\)（\(k\)稱為線段\(a\)與\(b\)的比值）。示例：若線段\(a=2cm\)，線段\(b=6cm\)，則\(\frac{a}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)，即\(a:b=1:3\)?；脽羝?：成比例線段的定義定義：四條線段\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)中，如果\(\frac{a}=\frac{c}lblvytp\)，那么這四條線段\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)叫做成比例線段，簡稱比例線段。術語：在比例\(\frac{a}=\frac{c}fvftkfa\)中，\(a\)、\(d\)叫做比例的外項，\(b\)、\(c\)叫做比例的內項，\(d\)叫做\(a\)、\(b\)、\(c\)的第四比例項。特殊情況：若\(\frac{a}=\frac{c}\)，則\(b\)叫做\(a\)、\(c\)的比例中項，此時有\(zhòng)(b^2=ac\)。示例：線段\(a=1cm\)，\(b=2cm\)，\(c=3cm\)，\(d=6cm\)，因為\(\frac{1}{2}=\frac{3}{6}\)，所以\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)是成比例線段?；脽羝?：比例的基本性質基本性質：如果\(\frac{a}=\frac{c}gkuadua\)，那么\(ad=bc\)（交叉相乘，兩內項之積等于兩外項之積）。逆性質：如果\(ad=bc\)（\(b\)、\(d\neq0\)），那么\(\frac{a}=\frac{c}kwcbpku\)。推論：如果\(\frac{a}=\frac{c}\)，那么\(b^2=ac\)；反之，如果\(b^2=ac\)（\(b\)、\(c\neq0\)），那么\(\frac{a}=\frac{c}\)。示例：若\(\frac{x}{3}=\frac{4}{6}\)，根據(jù)基本性質可得\(6x=3\times4\)，即\(6x=12\)，解得\(x=2\)。幻燈片6：比例的合比性質性質內容：如果\(\frac{a}=\frac{c}qsvyqav\)，那么\(\frac{a\pmb}=\frac{c\pmd}uzjiogd\)。推導過程：因為\(\frac{a}=\frac{c}tnedupd\)，所以\(\frac{a}\pm1=\frac{c}dnxofal\pm1\)。通分可得\(\frac{a\pmb}=\frac{c\pmd}rpdgqpv\)。示例：已知\(\frac{a}=\frac{3}{4}\)，則\(\frac{a+b}=\frac{3+4}{4}=\frac{7}{4}\)，\(\frac{a-b}=\frac{3-4}{4}=-\frac{1}{4}\)?；脽羝?：比例的等比性質性質內容：如果\(\frac{a}=\frac{c}ulkuazu=\cdots=\frac{m}{n}\)（\(b+d+\cdots+n\neq0\)），那么\(\frac{a+c+\cdots+m}{b+d+\cdots+n}=\frac{a}\)。示例：若\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\)，且\(2+3+4\neq0\)，則\(\frac{x+y+z}{2+3+4}=\frac{x}{2}\)，即\(\frac{x+y+z}{9}=\frac{x}{2}\)?；脽羝?：例題1——判斷成比例線段題目：已知四條線段的長度分別為\(a=2cm\)，\(b=3cm\)，\(c=6cm\)，\(d=9cm\)，判斷這四條線段是否成比例。解答過程：計算線段的比：\(\frac{a}=\frac{2}{3}\)，\(\frac{c}tszqlvb=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\)。因為\(\frac{a}=\frac{c}mrbpoyt\)，所以這四條線段成比例。結論：\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)是成比例線段?；脽羝?：例題2——利用比例性質求值題目：已知\(\frac{a}=\frac{3}{5}\)，求\(\frac{a+b}\)和\(\frac{a-b}{a+b}\)的值。解答過程：由合比性質，\(\frac{a+b}=\frac{3+5}{5}=\frac{8}{5}\)。設\(a=3k\)，\(b=5k\)（\(k\neq0\)），則\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{3k-5k}{3k+5k}=\frac{-2k}{8k}=-\frac{1}{4}\)。結論：\(\frac{a+b}=\frac{8}{5}\)，\(\frac{a-b}{a+b}=-\frac{1}{4}\)?；脽羝?0：例題3——等比性質的應用題目：若\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k\)，求\(\frac{x+y-z}{x}\)的值。解答過程：由等比性質可得\(x=2k\)，\(y=3k\)，\(z=4k\)（\(k\neq0\)）。代入得\(\frac{x+y-z}{x}=\frac{2k+3k-4k}{2k}=\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}\)。結論：\(\frac{x+y-z}{x}=\frac{1}{2}\)。幻燈片11：易錯點分析忽略單位統(tǒng)一：計算線段比時，若兩條線段的單位不同（如一條為厘米，一條為米），未統(tǒng)一單位就直接計算，導致結果錯誤。混淆比例項的位置：判斷成比例線段時，錯誤地認為只要四條線段中存在兩個比相等就是成比例線段，忽略了線段的順序，如將\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)成比例錯誤理解為\(\frac{a}{c}=\fracmbehyak\)。等比性質中分母和為零：應用等比性質時，未考慮\(b+d+\cdots+n=0\)的情況，導致結論錯誤。比例中項的符號問題：線段的長度為正數(shù)，所以比例中項\(b\)一定是正數(shù)，若由\(b^2=ac\)求出負數(shù)解應舍去?；脽羝?2：課堂練習1——基礎應用題目：（1）已知線段\(a=5m\)，\(b=10dm\)，求\(\frac{a}\)的值（注意單位統(tǒng)一）。（2）若\(\frac{x}{5}=\frac{y}{7}\)，則\(\frac{x}{y}=\)______。答案：（1）\(5\)；（2）\(\frac{5}{7}\)?；脽羝?3：課堂練習2——綜合應用題目：已知\(\frac{a}=\frac{c}ocbjuia=\frac{2}{3}\)，且\(b+d=10\)，求\(a+c\)的值。解答過程：由等比性質，\(\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}=\frac{2}{3}\)。因為\(b+d=10\)，所以\(\frac{a+c}{10}=\frac{2}{3}\)，解得\(a+c=\frac{20}{3}\)。答案：\(\frac{20}{3}\)?；脽羝?4：課堂小結核心概念：線段的比、成比例線段、比例中項。比例性質：基本性質：\(\frac{a}=\frac{c}zymewcm\Leftrightarrowad=bc\)。合比性質：\(\frac{a}=\frac{c}kyikdny\Rightarrow\frac{a\pmb}=\frac{c\pmd}nqtvzue\)。等比性質：\(\frac{a}=\frac{c}gbareou=\cdots=\frac{m}{n}\)（\(b+d+\cdots+n\neq0\)）\(\Rightarrow\frac{a+c+\cdots+m}{b+d+\cdots+n}=\frac{a}\)。注意事項：單位統(tǒng)一、線段比為正數(shù)、比例項的順序、性質應用的條件?；脽羝?5：布置作業(yè)基礎作業(yè)：已知四條線段\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=3\)，\(d=6\)，判斷它們是否成比例。若\(\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}\)，求\(\frac{x+y}{z}\)的值。提升作業(yè)：已知\(a\)、\(b\)、\(c\)是成比例線段，且\(a=2cm\)，\(b=4cm\)，求\(c\)的長度。若\(\frac{a}=\frac{3}{4}\)，求\(\frac{2a+3b}{a-b}\)的值。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解我們把這種具有相同形狀的圖形稱為相似圖形.復習導入為了研究相似圖形，先研究與其密切相關的成比例線段.照片投影由圖23.1.1的格點圖可知，試一試圖23.1.1推進新課22圖23.1.1概括對于給定的四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度之比等于另外兩條線段的長度之比，如（或a∶b=c∶d），那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．此時也稱這四條線段成比例．比例線段1.單位統(tǒng)一2.順序性稱a，b，c，d成比例稱a，d，c，b成比例判斷下列線段a、b、c、d

是否是成比例線段：（1）a=4，b=8，c=5，d=10；例1解∴線段a、b、c、d

是成比例線段．∴這四條線段是成比例線段．比例的基本性質對于成比例線段，我們有下面的結論：如果，那么ad=bc．如果ad=bc，那么．例2等式兩邊同加上1，得證明∴ad=bc，在等式兩邊同減去ac，得ad

–

ac=bc–ac，∴ac–ad=ac–bc，∴a(c–d

)=c(a–b

).隨堂演練如何快速地判斷線段是否成比例？1.判斷下列線段是否是成比例線段：（1）a=2cm，b=4cm，c=3m，d=6m；（2）a=0.8，b=3，c=0.64，d=2.4．將線段從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，計算第一和第二之比，第三和第四之比，看他們的比值是否相同.是成比例線段.是成比例線段.C2.下列能組成比例線段的是（）A.1cm，2cm，3cm，4cmB.2cm，4cm，8cm，10cmC.0.5m，20cm，10cm，2.5dmD.2cm，5dm，0.2m，10cm單位統(tǒng)一D返回1.

如圖，線段AB∶BC＝1∶2，則AC∶BC＝(

)A．1∶3B．2∶3C．3∶1D．3∶22∶23返回2．一只小狗的身高為20cm，一頭大象的身高為2.3m，小狗與大象的身高之比為________．返回比例線段4．[2025開封期中]下列各組長度的線段中，是成比例線段的是(

)A．1，2，3，4 B．1，2，3，5C．1，2，3，6 D．1，2，3，7C返回(2)a＝1.1cm，b＝2.2cm，c＝3.3cm，d＝5.5cm.解：不是成比例線段．返回解：設所添線段的長度為dcm.當2∶6＝12∶d時，解得d＝36；當6∶12＝2∶d時，解得d＝4；當12∶2＝6∶d時，解得