數(shù)值計(jì)算試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題(每題2分,共20分)1.數(shù)值計(jì)算中,誤差按來源可分為幾類?A.2類B.3類C.4類D.5類(答案:C)2.有效數(shù)字的位數(shù)越多,近似數(shù)的精度(）A.越低B.越高C.不變D.不確定（答案:B)3.迭代法收斂的條件是迭代函數(shù)的導(dǎo)數(shù)()A.大于1B.小于1C.等于1D.無要求(答案:B)4.線性方程組Ax=b,當(dāng)A為(）矩陣時(shí),高斯消去法可順利進(jìn)行。A.奇異B.非奇異C.對(duì)稱D.正定（答案:B)5.計(jì)算積分常用的數(shù)值方法是()A.牛頓法B.二分法C.梯形公式D.迭代法（答案:C)6.多項(xiàng)式插值的基本思想是(）A.找一個(gè)多項(xiàng)式近似代替函數(shù)B.找一個(gè)線性函數(shù)近似代替函數(shù)C.找一個(gè)指數(shù)函數(shù)近似代替函數(shù)D.找一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)近似代替函數(shù)(答案:A)7.數(shù)值微分常用的方法是()A.差商B.積分C.迭代D.回歸(答案:A)8.用松弛法求解線性方程組時(shí),松弛因子ω的取值范圍是()A.0<ω<1B.0<ω<2C.1<ω<2D.ω>2(答案:B)9.數(shù)值計(jì)算中,算法的穩(wěn)定性是指(）A.計(jì)算結(jié)果誤差小B.初始數(shù)據(jù)有小擾動(dòng)時(shí),計(jì)算結(jié)果誤差也小C.計(jì)算速度快D.占用內(nèi)存少（答案:B)10.最小二乘法的目標(biāo)是(）A.使誤差平方和最小B.使誤差絕對(duì)值和最小C.使誤差最大D.使誤差平均值最小(答案:A)二、多項(xiàng)選擇題(每題2分,共20分)1.數(shù)值計(jì)算中誤差的來源包括()A.模型誤差B.觀測誤差C.截?cái)嗾`差D.舍入誤差（答案:ABCD)2.以下屬于數(shù)值積分方法的有()A.矩形公式B.梯形公式C.辛普森公式D.龍貝格算法（答案:ABCD)3.求解線性方程組的直接方法有()A.高斯消去法B.高斯主元消去法C.三角分解法D.雅可比迭代法（答案:ABC)4.迭代法收斂的判斷方法有()A.誤差限判斷B.迭代前后值變化判斷C.系數(shù)矩陣判斷D.導(dǎo)數(shù)判斷（答案:ABCD)5.多項(xiàng)式插值的方法有()A.拉格朗日插值B.牛頓插值C.埃爾米特插值D.分段插值（答案:ABCD)6.數(shù)值微分的常用公式有()A.向前差商公式B.向后差商公式C.中心差商公式D.二階差商公式（答案:ABC)7.非線性方程求根的方法有()A.二分法B.牛頓法C.弦截法D.迭代法（答案:ABCD)8.矩陣的三角分解形式有()A.LU分解B.LDLT分解C.QR分解D.Cholesky分解（答案:ABCD)9.數(shù)值計(jì)算中提高算法效率的方法有()A.減少計(jì)算量B.避免相近數(shù)相減C.避免除數(shù)接近零D.合理使用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（答案:ABCD)10.以下關(guān)于最小二乘法的說法正確的是(）A.可用于數(shù)據(jù)擬合B.目標(biāo)是使誤差平方和最小C.能處理線性和非線性問題D.常用于回歸分析(答案:ABCD)三、判斷題(每題2分,共20分)1.數(shù)值計(jì)算中的誤差是可以完全消除的。(×)2.有效數(shù)字相同的兩個(gè)近似數(shù),其絕對(duì)誤差一定相同。（×)3.迭代法一定收斂。(×)4.高斯消去法可以求解任何線性方程組。(×)5.數(shù)值積分的精度與積分區(qū)間的劃分有關(guān)。(√)6.多項(xiàng)式插值的次數(shù)越高,逼近效果一定越好。（×)7.數(shù)值微分的結(jié)果與步長無關(guān)。(×)8.松弛因子ω取1時(shí),松弛法就是高斯-賽德爾迭代法。（√)9.算法的穩(wěn)定性與初始數(shù)據(jù)無關(guān)。(×)10.最小二乘法得到的擬合曲線一定經(jīng)過所有數(shù)據(jù)點(diǎn)。(×）四、簡答題(每題5分,共20分)1.簡述數(shù)值計(jì)算中誤差分析的重要性。答案:誤差分析可評(píng)估計(jì)算結(jié)果可靠性,了解誤差來源傳播規(guī)律,指導(dǎo)選擇算法和參數(shù),避免誤差積累致結(jié)果失真,確保數(shù)值計(jì)算準(zhǔn)確有效。2.簡述高斯消去法的基本步驟。答案:先將線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換化為上三角矩陣,再從最后一個(gè)方程開始,逐步回代求解出各個(gè)未知數(shù)的值。3.簡述迭代法的基本思想。答案:從一個(gè)初始近似值出發(fā),通過構(gòu)造一個(gè)迭代公式,反復(fù)迭代計(jì)算,逐步逼近方程的精確解,直到滿足給定的精度要求。4.簡述最小二乘法在數(shù)據(jù)擬合中的應(yīng)用思路。答案:根據(jù)給定數(shù)據(jù)點(diǎn),選擇合適函數(shù)形式,建立誤差平方和目標(biāo)函數(shù),通過求導(dǎo)等方法找到使目標(biāo)函數(shù)最小的函數(shù)參數(shù),得到擬合曲線。五、討論題(每題5分,共20分)1.討論在數(shù)值計(jì)算中,如何選擇合適的算法以提高計(jì)算效率和精度。答案：要考慮問題類型、數(shù)據(jù)規(guī)模等。如計(jì)算積分,簡單問題用梯形公式,復(fù)雜的可用龍貝格算法。同時(shí)避免相近數(shù)相減、除數(shù)接近零等,合理選取步長、迭代次數(shù)等參數(shù)。2.討論迭代法收斂速度的影響因素。答案:迭代函數(shù)性質(zhì)如導(dǎo)數(shù)大小,導(dǎo)數(shù)越小收斂越快;初始值選取也有影響,合適初始值能加快收斂;問題本身復(fù)雜程度,復(fù)雜問題收斂可能慢;迭代公式結(jié)構(gòu)也會(huì)影響收斂速度。3.討論數(shù)值微分和數(shù)值積分在實(shí)際應(yīng)用中的局限性。答案:數(shù)值微分對(duì)噪聲敏感,數(shù)據(jù)有誤差時(shí)結(jié)果不準(zhǔn)確;數(shù)值積分精度依賴劃分,劃分不當(dāng)誤差大,且被積函數(shù)