專題1.4線段的垂直平分線和角平分線（知識(shí)梳理+5個(gè)考點(diǎn)講練+難度分層練共39題）知識(shí)點(diǎn)1：線段的垂直平分線1.定義：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（也稱為中垂線）；如圖1，，為線段中點(diǎn)，則為線段垂直平份線.圖1性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，?數(shù)學(xué)語(yǔ)言：點(diǎn)是線段的垂直平分線上一點(diǎn)（如圖2），圖2證明：直線是線段的垂直平分線，3.判定定理：到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.圖3點(diǎn)是線段的垂直平分線上一點(diǎn)（到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）.證明：過(guò)點(diǎn)作，垂直為，為線段的垂直平分線.4.尺規(guī)作圖：分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，以大于線段長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于兩點(diǎn)；?過(guò)這兩個(gè)交點(diǎn)作直線，這條直線就是該線段的垂直平分線.如圖4，的垂直平分線如圖所示，作圖中，要保留作圖痕跡.圖4知識(shí)點(diǎn)2：角平分線1.定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線;2.性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等;圖5又,,特別注意：解題過(guò)程中，學(xué)生容易漏掉“,”這個(gè)條件。3.判定定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上;圖6證明：,,4.尺規(guī)作圖：以角的頂點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交角的兩邊于兩點(diǎn)；分別以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)間距離一半的長(zhǎng)為半徑畫弧，在角的內(nèi)部交于一點(diǎn)；過(guò)角的頂點(diǎn)和這個(gè)交點(diǎn)作射線，這條射線就是該角的平分線.圖7特別注意：（1）作圖中“半徑大于線段一半”、角平分線作圖中“在角內(nèi)部交于一點(diǎn)”不然就沒(méi)有交點(diǎn)。?（2）角平分線作圖和垂直平分線作圖題是中考常考點(diǎn).考點(diǎn)1：線段垂直平分線的性質(zhì)【典例精講】（2425八年級(jí)上·湖南益陽(yáng)·期中）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）：如圖，在直線L上求作一點(diǎn)P，使PA=PB．【變式訓(xùn)練1】（2324八年級(jí)上·河北衡水·階段練習(xí)）如圖1，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，(1)求證：BD=CE；(2)將△ABC和△ADE繞點(diǎn)A向相反方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，BD與CE交于點(diǎn)O，BD與AC交于點(diǎn)F．①若∠BAC=70°，求∠BOC的度數(shù)；②連接AO，求證：OA平分∠BOE；③若G為CE上一點(diǎn)，GE=OD，AG=CO，且AG∥BD，連接CD，直接寫出∠AEG與【變式訓(xùn)練2】（2425八年級(jí)上·福建福州·期末）如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)P關(guān)于直線AC，AB，BC的對(duì)稱點(diǎn)．(1)求證：AE=AD；(2)當(dāng)∠CAB=90°時(shí)，求證：D，A，E三點(diǎn)在同一條直線上；(3)∠ADC，∠BFC，∠BEA的和是定值嗎？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由．考點(diǎn)2：線段垂直平分線的判定【典例精講】（2425八年級(jí)下·福建三明·期末）如圖，AC=AD，BC=BD，下列結(jié)論一定正確的是（

）A．CD平分∠ACB B．CD垂直平分ABC．AB垂直平分CD D．AB與CD互相垂直平分【變式訓(xùn)練1】（2324七年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)M，N，直線EF，MN交于點(diǎn)P．(1)求證：點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上；(2)已知∠FAN=56°，求∠FPN的度數(shù)．【變式訓(xùn)練2】（2425八年級(jí)上·貴州黔南·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD=CD，AB=CB，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．已知箏形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．(1)請(qǐng)判斷AC與BD之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若AC=6，BD=8，求四邊形ABCD的面積．考點(diǎn)3：角平分線的性質(zhì)定理【典例精講】（2324八年級(jí)上·重慶永川·期中）如圖，四邊形ABCD中，CD=CB，AC平分∠DAB，CF⊥AB于點(diǎn)F，CE⊥AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：∠ADC+∠B=180°．(2)若AD=2，AB=4，求【變式訓(xùn)練1】（2425八年級(jí)上·新疆伊犁·期中）如圖，在Rt△ABC(1)利用尺規(guī)作圖，在BC邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到AB的距離的長(zhǎng)等于PC的長(zhǎng)；(2)利用尺規(guī)作圖，作出（1）中的線段PD．【變式訓(xùn)練2】（2324八年級(jí)上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°?α，BD平分∠ABC．(1)如圖1，若α=90°，DA=2cm，則DC=(2)問(wèn)題解決：如圖2，求證：AD=CD；(3)問(wèn)題拓展：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求證：BD+AD=BC．考點(diǎn)4：角平分線的判定定理【典例精講】（2324八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期中）如圖，等邊三角形ABD與等邊三角形ACE，連接BE、CD，BE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，連接AF，有以下四個(gè)結(jié)論：①BE=CD；②FA平分∠EFC；③∠BFC=120°；④EF=DF；⑤FA?FC=FE．其中一定正確的結(jié)論是（

）

A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②④⑤【變式訓(xùn)練1】（2425八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·階段練習(xí)）如圖，∠AOB=60°，P是射線OC上的一點(diǎn)，PD⊥OA與點(diǎn)D，PE⊥OB與點(diǎn)E．M、N分別是OA與OB上的點(diǎn)，DM=EN，∠MPN=120°．求證：OC是∠AOB的平分線．【變式訓(xùn)練2】（2425八年級(jí)上·湖北恩施·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，BD=CD，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，若BE=CF．求證：AD平分∠BAC．請(qǐng)你補(bǔ)全下述證明過(guò)程：證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，在Rt△DBE和RtBD＝CD①＝②，①∴Rt△DBE≌Rt△DCF∴DE=DF，∵DE=DF，，，∴AD平分∠BAC．考點(diǎn)5：角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用【典例精講】（2324八年級(jí)上·江蘇連云港·期中）如圖所示，有三條道路圍成Rt△ABC，其中∠C=90°，BC=800m，一個(gè)人從B處出發(fā)沿著BC行走了500m，到達(dá)D處，AD恰為∠CAB的平分線，則此時(shí)這個(gè)人到AB的最短距離為（A．1300m B．800m C．500m D．300m【變式訓(xùn)練1】（2122八年級(jí)下·河南鄭州·期中）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：

(1)如圖①，要在河邊l修建一個(gè)水泵站M，使MA=MB．水泵站M要建在什么位置？(2)如圖②，三條公路兩兩相交，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)油庫(kù)P，要求油庫(kù)P到這三條公路的距離都相等，那么如何選擇油庫(kù)P的位置？（請(qǐng)作出符合條件的一個(gè)）【變式訓(xùn)練2】（2223八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為A，B，C，現(xiàn)計(jì)劃修一個(gè)油庫(kù)，要求到三條公路的距離都相等，△ABC內(nèi)部被河水填滿無(wú)法施工，則可供選擇的地址有（）A．1處 B．2處 C．3處 D．4處1．（2025·遼寧·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=16，BC=12，CA=10，∠ABC的平分線BP與AC相交于點(diǎn)D．在線段AD上取一點(diǎn)K，以點(diǎn)C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，與射線BP相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M和點(diǎn)N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)Q，作射線CQ，與AB相交于點(diǎn)E，連接DE．則△DAEA．12 B．14 C．16 D．182．（2025·山東威?！ぶ锌颊骖}）我們把兩組鄰邊分別相等的四邊形稱之為“箏形”．在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O．下列條件中，不能判斷四邊形A．BO=DO，AC⊥BD B．∠DAC=∠BAC，AD=ABC．∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA D．∠ADC=∠ABC，BO=DO3．（2025·四川達(dá)州·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D，則△BDC的周長(zhǎng)為（

A．21 B．14 C．13 D．94．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，△ABC的邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，連接BD．若AC=8，CD=5，則BD=．基礎(chǔ)夯實(shí)1．（2425八年級(jí)上·天津·期中）如圖，點(diǎn)G在AB的延長(zhǎng)線上，∠GBC，∠BAC的平分線相交于點(diǎn)F，連接CF．若∠AFB=40°，則∠BCF的度數(shù)為（

）

A．40° B．50° C．55° D．60°2．（2425八年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期中）如圖，在△ABC中，分別以A，B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，與AB交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，連接AE．若△ACE的周長(zhǎng)為10，AB=9，則△ABC的周長(zhǎng)為（A．17 B．19 C．20 D．213．（2025·江蘇連云港·中考真題）如圖，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G，則△AEG的周長(zhǎng)為（

）A．5 B．6 C．7 D．84．（2025·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E為BC的中點(diǎn)，且AE⊥DE，延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若AB=9，CD=4，則AD的長(zhǎng)為（

）A．11 B．12 C．13 D．145．（2425八年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期中）如圖，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，AM=4，△BCD的周長(zhǎng)是12，△ABC的周長(zhǎng)是．6．（2324八年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)A為圓心，小于AC長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交AB，AC于點(diǎn)E、F，再分別以E、F為圓心，大于12EF的同樣長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP，交CB于點(diǎn)D．∠C=90°，BC=9cm，7．（2425八年級(jí)上·廣東肇慶·期中）如圖，△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=4cm，△ABD的周長(zhǎng)為14cm，則△ABC的周長(zhǎng)為8．（2425八年級(jí)上·寧夏固原·期中）如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC，求證：AM平分∠DAB．9．（2425八年級(jí)上·內(nèi)蒙古通遼·期中）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，求證：(1)DE=DF；(2)AD平分∠BAC．10．（2425八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，AB=32，BC=24．(1)△ABD與△CBD的面積之比為_(kāi)___________；(2)若△ABC的面積為140，求DE的長(zhǎng)．培優(yōu)拔高11．（2425八年級(jí)上·內(nèi)蒙古通遼·期中）如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線MN對(duì)稱，P為MN上任一點(diǎn)（A．AP=B．MN垂直平分AA′C．△ABC與△AD．直線AB、A′B′12．（2425八年級(jí)上·湖南株洲·期中）如圖，E是BC的中點(diǎn)，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD．有下列結(jié)論：A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④13．（2324八年級(jí)上·甘肅定西·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于D，下列說(shuō)法中：①EF=BE+CF；②∠BOC=90°+12∠A；③設(shè)OD=m，AE+AF=n14．（2324八年級(jí)下·福建寧德·期中）如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線PQ與△ABC的外角平分線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E．若BC=8，AC=4．則CE的長(zhǎng)度是．15．（2425八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點(diǎn)E，與CD相交于點(diǎn)F，DH⊥BC于點(diǎn)H，交BE于點(diǎn)G．下列結(jié)論：①BD=CD②AD+CF=BD，③CE=12BF，④AE=CF16．（2425八年級(jí)上·山東聊城·期末）如圖，在△ABC中，∠ABC，∠EAC的平分線BD，AD交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BA，BC，DG⊥BE，DH⊥BF，下列說(shuō)法正確的是．①CD平分∠ACF；②∠ACB=∠ADB；③S△ADC=S△DHC17．（2324八年級(jí)上·廣東汕頭·期中）已知，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，BD、CE交點(diǎn)F，CF=BF，AC=AB．求證：

(1)點(diǎn)F在∠CAB的平分線上；(2)AD=AE．18．（2324八年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖，∠ABC=∠ADC=90°，AC與BD相交于點(diǎn)E，∠ABD=∠ADB．(1)求證：AC垂直平分BD；(2)過(guò)點(diǎn)B作BF∥CD交CA的延長(zhǎng)線于F，如果AB=AF；①求證：△BCD是等邊三角形；②如果G、H分別是線段AC、線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)GH+AH為最小值時(shí)，請(qǐng)確定點(diǎn)H的位置，并思考此時(shí)GH與CH有怎樣的數(shù)量關(guān)系．19．（2425八年級(jí)上·福建泉州·階段練習(xí)）【材料1】在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．即“在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，則【材料2】定義：若P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．(1)如圖1，若點(diǎn)O是等邊△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且OA+OB+OC=18，則這個(gè)等邊三角形的高的長(zhǎng)度為_(kāi)______；(2)如圖2，已知△ABC，分別以AB，AC為邊向外作等邊△ABD與等邊△ACE，線段CD、BE交于點(diǎn)P，連接AP，求證：點(diǎn)P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)；(3)應(yīng)用探究：已知有A、