2026《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專(zhuān)題106講》含答案98.條件概率計(jì)算的四種方法98.計(jì)算條件概率的四種常用方法一．基本原理1.根據(jù)件概率的定義,也就是條件概率的計(jì)算公式,先求和,再由定義,即可求解.2.根據(jù)條件概率的定義,也就是條件概率的計(jì)算公式,先求和,再由定義,即可求解.3.由條件概率和對(duì)立事件的定義,可得條件概率的性質(zhì):,利用該性質(zhì)可以解決一些證明相對(duì)復(fù)雜的條件概率問(wèn)題.4.條件概率的性質(zhì)二．典例分析題型一.概率公式例1．已知，，則A． B． C． D．【解析】由條件概率的公式得故選D.題型二.基本事件數(shù)法例2．為響應(yīng)“援疆援藏萬(wàn)名教師支教計(jì)劃”，珠海市教育局計(jì)劃從某學(xué)校數(shù)學(xué)科組的4名男教師（含一名珠海市骨干教師）和英語(yǔ)科組的3名女教師（含一名珠海市骨干教師）中分別選派2名男教師和2名女教師，則在有一名珠海市骨干教師被選派的條件下，兩名珠海市骨干教師都被選派的概率為（

）A． B． C． D．【解析】記至少有一名骨干教師被選派的事件為A，兩名骨干教師被選派的事件為B，則，，于是得，所以所求概率為.故選：C三．條件概率的性質(zhì)例3．已知，分別為隨機(jī)事件A，B的對(duì)立事件，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．若，則A，B對(duì)立C．若A，B獨(dú)立，則D．若A，B互斥，則【解析】對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若A，B對(duì)立，則，反之不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，根據(jù)獨(dú)立事件定義，故C正確；對(duì)D，若A，B互斥，則，故D錯(cuò)誤；故選：C例4．已知隨機(jī)事件，，若，，，則_________.【解析】由題意可得，，且，則，又因?yàn)?，則，且，所以.故答案為:.題型4.計(jì)算反面例5．三行三列的方陣中有9個(gè)數(shù)，從中任取三個(gè)數(shù)，已知取到的條件下，至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率是_____________．【解析】記事件{任取的三個(gè)數(shù)中有}，事件{三個(gè)數(shù)至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列}，則{三個(gè)數(shù)互不同行且不同列}，依題意得，，故，則．即已知取到的條件下，至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率為．故答案為：.題型5.綜合問(wèn)題例6．如果不是等差數(shù)列，但若，使得，那么稱(chēng)為“局部等差”數(shù)列.已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為4，其中，，2，3，4，記事件A：集合；事件B：為“局部等差”數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【解析】由題意知，事件共有個(gè)基本事件，對(duì)于事件，其中含1，2，3的“局部等差”數(shù)列的分別為1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3個(gè)，含3，2，1的“局部等差”數(shù)列的同理也有3個(gè)，共6個(gè)；含3，4，5的和含5，4，3的與上述相同，也有6個(gè)；含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2個(gè)；含4，3，2的同理也有2個(gè)；含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4個(gè)；含5，3，1的同理也有4個(gè)，所以事件共有24個(gè)基本事件，所以．故選：C.三．習(xí)題演練1．根據(jù)歷年的氣象數(shù)據(jù)，某市月份發(fā)生中度霧霾的概率為，刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為，既發(fā)生中度霧霾又刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為，則在發(fā)生中度霧霾的情況下，刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為（

）A． B． C． D．【詳解】設(shè)發(fā)生中度霧霾為事件，刮四級(jí)以上大風(fēng)為事件，由題意知：，，，則在發(fā)生中度霧霾的情況下，刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為.故選：C.2．已知事件,,，，則（

）A． B． C． D．【詳解】由條件概率公式可知,即①,,即②,而，所以③，又已知④,②③④聯(lián)立可得.故選：C3．定義：設(shè)X，Y是離散型隨機(jī)變量，則X在給定事件條件下的期望為，其中為X的所有可能取值集合，表示事件“”與事件“”都發(fā)生的概率．某日小張擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若擲出1點(diǎn)向上兩次時(shí)即停止．設(shè)A表示第一次擲出1點(diǎn)向上時(shí)的投擲次數(shù)，B表示第二次擲出1點(diǎn)向上時(shí)的投擲次數(shù)，則______．【詳解】由可得或或，由題意可得故答案為：24．為進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的文明養(yǎng)成教育，推進(jìn)校園文化建設(shè)，倡導(dǎo)真善美，用先進(jìn)人物的先進(jìn)事跡來(lái)感動(dòng)師生，用身邊的榜樣去打動(dòng)師生，用真情去發(fā)現(xiàn)美，分享美，弘揚(yáng)美，某校以爭(zhēng)做最美青年為主題，進(jìn)行“最美青年”評(píng)選活動(dòng)，最終評(píng)出了10位“最美青年”，其中6名女生4名男生。學(xué)校準(zhǔn)備從這10位“最美青年”中每次隨機(jī)選出一人做事跡報(bào)告.（1）若每位“最美青年”最多做一次事跡報(bào)告，記第一次抽到女生為事件A，第二次抽到男生為事件B，求，；（2）根據(jù)不同需求，現(xiàn)需要從這10位“最美青年”中每次選1人，可以重復(fù)，連續(xù)4天分別為高一、高二、高三學(xué)生和全體教師做4場(chǎng)事跡報(bào)告，記這4場(chǎng)事跡報(bào)告中做報(bào)告的男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）解：由題意得，第二次抽到男生的概率為，“在第一次抽到女生的條件下，第二次抽到男生”的概率就是事件發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，而，，所以.（2）解：被抽取的4次中男生人數(shù)X的取值為0，1，2，3，4且.

可得；；；；，所以隨機(jī)變量的分布列為：X01234P所以隨機(jī)變量的期望為：.5．某校工會(huì)為弘揚(yáng)體育精神推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展現(xiàn)組織A、B兩團(tuán)體運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行比賽.其中A團(tuán)體的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；B團(tuán)體的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.（1）已知，若選出的4名運(yùn)動(dòng)員中恰有2名種子選手，求這2名種子選手來(lái)自團(tuán)體A的概率；（2）設(shè)為選出的4人中種子選手的人數(shù)，確定的值，使得在的所有取值中，事件的概率最大.【詳解】（1）由已知得：設(shè)“選出的4名運(yùn)動(dòng)員中恰有2名種子選手”為事件A，設(shè)“選出的4名運(yùn)動(dòng)員中恰有2名種子選手來(lái)自團(tuán)體A”為事件B，則B團(tuán)體選擇2名非種子選手，.故選出的4名運(yùn)動(dòng)員中恰有2名種子選手，這2名種子選手來(lái)自團(tuán)體A的概率為.（2）種子選手人數(shù)為，非種子選手人數(shù)為，設(shè)選出的種子選手的人數(shù)為，，令，即解得，則，故，即時(shí)，事件的概率最大.99.二項(xiàng)分布與超幾何分布本節(jié)主要研究二項(xiàng)分布與超幾何分布及兩者之間的區(qū)別，全國(guó)卷在這個(gè)點(diǎn)上的考察主要還是以基本的概念和公式為主，并沒(méi)有像地方卷那樣單獨(dú)考察，但是我們需要注意的是二項(xiàng)分布的期望和方差公式，需要熟記于心，這一部分內(nèi)容可能用來(lái)做為決策依據(jù)考察.一．二項(xiàng)分布1．重伯努利試驗(yàn)的概念只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱(chēng)為重伯努利試驗(yàn)．2．重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征（1）同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做次；（2）各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．3．二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為：，如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式，則稱(chēng)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作4．一般地，可以證明：如果，那么.二．超幾何分布超幾何分布模型是一種不放回抽樣，一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布．2．超幾何分布的期望E(X)＝eq\f(nM,N)＝np(p為N件產(chǎn)品的次品率)．三．二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別1.看總體數(shù)是否給出，未給出或給出總體數(shù)較大一般考查二項(xiàng)分布，此時(shí)往往會(huì)出現(xiàn)重要的題眼“將頻率視為概率”.2.看一次抽取抽中“次品”概率是否給出，若給出或可求出一般考查二項(xiàng)分布.3.看一次抽取的結(jié)果是否只有兩個(gè)結(jié)果，若只有兩個(gè)對(duì)立的結(jié)果或，一般考查二項(xiàng)分布.4.看抽樣方法，如果是有放回抽樣，一定是二項(xiàng)分布；若是無(wú)放回抽樣，需要考慮總體數(shù)再確定.5.看每一次抽樣試驗(yàn)中，事件是否獨(dú)立，事件發(fā)生概率是否不變，若事件獨(dú)立且概率不變，一定考查二項(xiàng)分布，這也是判斷二項(xiàng)分布的最根本依據(jù).6.把握住超幾何分布與二項(xiàng)分布在定義敘述中的區(qū)別，超幾何分布多與分層抽樣結(jié)合，出現(xiàn)“先抽，再抽”的題干信息.三．典例分析例1．電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類(lèi)體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了名觀眾進(jìn)行調(diào)查．如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于分鐘的觀眾稱(chēng)為“體育迷”．將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．（1）現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取名觀眾，抽取次，記被抽取的名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為．若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．（2）用分層抽樣的方法從這名觀眾中抽取名觀眾，再?gòu)某槿〉某槿∶^眾中隨機(jī)抽取名，表示抽取的是“體育迷”的人數(shù)，求的分布列．解析：（1）“體育迷”對(duì)應(yīng)的頻率為：，用頻率估計(jì)概率，可知從該地區(qū)大量電視觀眾中，隨機(jī)抽取名觀眾，該觀眾是“體育迷”的概率為，則；所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學(xué)期望.（2）根據(jù)分層抽樣原則知：抽取的人中，有“體育迷”人，非“體育迷”體育迷人，則所有可能的取值為，；；；的分布列為：例2．（廣東省2023屆高考一模）某商場(chǎng)為了回饋廣大顧客，設(shè)計(jì)了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在抽獎(jiǎng)箱中放10個(gè)大小相同的小球，其中5個(gè)為紅色，5個(gè)為白色.抽獎(jiǎng)方式為：每名顧客進(jìn)行兩次抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)從抽獎(jiǎng)箱中一次性摸出兩個(gè)小球.如果每次抽獎(jiǎng)摸出的兩個(gè)小球顏色相同即為中獎(jiǎng)，兩個(gè)小球顏色不同即為不中獎(jiǎng).（1）若規(guī)定第一次抽獎(jiǎng)后將球放回抽獎(jiǎng)箱，再進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）若規(guī)定第一次抽獎(jiǎng)后不將球放回抽獎(jiǎng)箱，直接進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.（3）如果你是商場(chǎng)老板，如何在上述問(wèn)兩種抽獎(jiǎng)方式中進(jìn)行選擇？請(qǐng)寫(xiě)出你的選擇及簡(jiǎn)要理由.解析：（1）若第一次抽獎(jiǎng)后將球放回抽獎(jiǎng)箱，再進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，則每次中獎(jiǎng)的概率為，因?yàn)閮纱纬楠?jiǎng)相互獨(dú)立，所以中獎(jiǎng)次數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，所以的所有可能取值為，則，所以的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望為.（2）若第一次抽獎(jiǎng)后不將球放回抽獎(jiǎng)箱，直接進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)次數(shù)的所有可能取值為，則，，，所以的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望為.（3）因?yàn)椋?）（2）兩問(wèn)的數(shù)學(xué)期望相等，第（1）問(wèn)中兩次獎(jiǎng)的概率比第（2）問(wèn)的大，即，第（1）不中獎(jiǎng)的概率比第問(wèn)小，即，回答一：若商場(chǎng)老板希望中兩次獎(jiǎng)的顧客多，產(chǎn)生宣傳效應(yīng)，則選擇按第（2）問(wèn)方式進(jìn)行抽.回答二：若商場(chǎng)老板希望中獎(jiǎng)的顧客多，則選擇按第（1）問(wèn)方式進(jìn)行抽獎(jiǎng).例3．每年的4月23日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書(shū)日”，又稱(chēng)“世界圖書(shū)和版權(quán)日”，為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了1000名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這1000名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值：（2）為進(jìn)一步了解這1000名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書(shū)閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在，兩組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析：（1）由頻率分布直方圖得：.解得；（2）由頻率分布直方圖得：這1000名學(xué)生中日平均閱讀時(shí)間在，兩組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)之比為，若采用分層抽樣的方法抽取了10人，則從日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中抽取（人）在日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中抽取4人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)拍取3人，則服從超幾何分布，其可能取值為0，1，2，3，，，，，∴的分布列為：0123.三．習(xí)題演練1．某服裝公司經(jīng)過(guò)多年發(fā)展，在全國(guó)布局了3500余家規(guī)模相當(dāng)?shù)匿N(xiāo)售門(mén)店．該公司每年都會(huì)設(shè)計(jì)生產(chǎn)春季新款服裝并投放到全國(guó)各個(gè)門(mén)店銷(xiāo)售．公司為了了解2022年春季新款服裝在各個(gè)銷(xiāo)售門(mén)店的銷(xiāo)售情況，市場(chǎng)部隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)銷(xiāo)售門(mén)店的年銷(xiāo)售額（單位：萬(wàn)元，不考慮門(mén)店之間的其它差異），統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：門(mén)店編號(hào)12345678910銷(xiāo)售額45333044282237211924門(mén)店編號(hào)11121314151617181920銷(xiāo)售額34412320373129323642（1）從以上20個(gè)門(mén)店中隨機(jī)抽取3個(gè)，求抽取的3個(gè)門(mén)店中至少有2個(gè)的年銷(xiāo)售額超過(guò)40萬(wàn)元的概率；（2）以樣本頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從全國(guó)銷(xiāo)售門(mén)店中隨機(jī)抽取3個(gè)，記該年春季新款的年銷(xiāo)售額超過(guò)40萬(wàn)元的銷(xiāo)售門(mén)店的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．解析：（1）年銷(xiāo)售額超過(guò)40萬(wàn)元的門(mén)店有個(gè)，則所求概率；（2）由樣本估計(jì)總體，從全國(guó)隨機(jī)抽取1個(gè)銷(xiāo)售門(mén)店，春季新款的年銷(xiāo)售額超過(guò)40萬(wàn)元的概率是，則隨機(jī)變量，，，，，的分布列為：0123P∴的期望為：．2.鹽水選種是古代勞動(dòng)人民的智慧結(jié)晶，其原理是借助鹽水估測(cè)種子的密度，進(jìn)而判斷其優(yōu)良．現(xiàn)對(duì)一批某品種種子的密度（單位：）進(jìn)行測(cè)定，測(cè)定結(jié)果整