2026《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題106講》含答案25.全國(guó)卷五年四考的“端點(diǎn)”效應(yīng)與應(yīng)用25.全國(guó)卷五年四考的“端點(diǎn)”效應(yīng)與應(yīng)用一．何為端點(diǎn)效應(yīng)端點(diǎn)效應(yīng)的原理：1.必要條件縮小范圍：①若在上恒成立，則在區(qū)間端點(diǎn)處也成立，即此法應(yīng)用于區(qū)間端點(diǎn)值包含參數(shù)的情況.②若在上恒成立，且則此法應(yīng)用于區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值為零的情況.③若在上恒成立，且，則此法應(yīng)用于區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值為零且導(dǎo)數(shù)值也為零的情況.2.充分性求結(jié)果：求判斷的單調(diào)性，然后表示的最小值，使得即可.注意第2步一定要利用第一步中的參數(shù)的范圍.但是，有時(shí)候我們用端點(diǎn)效應(yīng)得出的并非最終的答案，那么究竟何時(shí)才能用端點(diǎn)效應(yīng)？下面對(duì)一類函數(shù)做出詳細(xì)分析.二．相關(guān)理論背景[1]定理1.若、在都有意義,,則對(duì)于任意,都有恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立).進(jìn)一步，對(duì)于任意,都有恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為.證明：設(shè),則,故滿足：即單調(diào)遞增,，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立).從而,對(duì)于任意,都有恒成立，對(duì)于任意,都有恒成立,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.定理2.若在都有意義,,則對(duì)于任意,都有恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)).進(jìn)一步，對(duì)于任意,都有恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為.證明：設(shè),則那么就有：于是，故單調(diào)遞增,(當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)),單調(diào)遞增,(當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)),對(duì)于任意的恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)).于是，對(duì)于任意,都有恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為.上述定理不等號(hào)反向時(shí)亦然，此處不再贅述，具體可見相關(guān)參考文獻(xiàn).三．定理應(yīng)用，滿足定理的兩個(gè)案例例1.（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理））已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．解析：（1）略（2）且，繼續(xù)求導(dǎo)可得：，若，即時(shí)，存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在遞減，于是，則在遞減，則，與題干矛盾！故，即，下證當(dāng)時(shí)，.由于，令于是可得，，故在遞增，例2.（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷）已知函數(shù)（1）若，且，求的最小值；（2）證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；（3）若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．解析：（1），（2）略.（3）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，故為的一個(gè)解，所以即，先考慮時(shí)，恒成立.此時(shí)即為在上恒成立，設(shè)，則在上恒成立，設(shè)，則，注意到，，繼續(xù)求導(dǎo)，根據(jù)前述定理可知，此時(shí)在上恒成立.當(dāng)，則當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)，故，不合題意，舍；綜上，在上恒成立時(shí).例3.（2023年全國(guó)甲卷）已知.（1）當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性;（2）若,求的取值范圍.解析：依題意,在上恒成立;令,則.令,則,故,滿足定理1，故可用端點(diǎn)效應(yīng).例4.（2022新高考2卷）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；（3）設(shè)，證明：．由題知，因?yàn)?，所以，解得，下面證明對(duì)且恒成立.只需證明對(duì)恒成立對(duì)恒成立（令，則）①對(duì)恒成立，設(shè)，則，所以，故①式成立，則的取值范圍為四．定理失效（端點(diǎn)效應(yīng)失效）例5.（2020全國(guó)1卷）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.解析：令，其中，則，令，則.事實(shí)上，不滿足定理2的內(nèi)容，所以，本題用處的端點(diǎn)效應(yīng)解題是無(wú)法利用定理2得到正確結(jié)果的.事實(shí)上，失敗的原因就是函數(shù)在其他地方還有一個(gè)零點(diǎn)，所以，在這種情況下，要確保端點(diǎn)效應(yīng)依然有效，我們就需進(jìn)一步使用下面的方法來(lái)尋求必要性.已知含參函數(shù)，在區(qū)間上恒成立，求參數(shù)范圍.可采用下面方法進(jìn)行必要性探路：(1).求出函數(shù)的零點(diǎn)，即由，解出（可能不只一個(gè)）；(2).求出參數(shù)的取值范圍，即由或，，或等求出參數(shù)的取值范圍.例6.（2020全國(guó)1卷）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.解析：設(shè)的零點(diǎn)為.由可得（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)），即，，，解得或.令，當(dāng)時(shí)，．只需證明①式成立．①式，令，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減．從而，即，①式成立．所以當(dāng)時(shí)，恒成立．綜上．參考文獻(xiàn)：[1].魏欣.2023年高考甲卷理科21題的解法探究與推廣.[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師大版）2023.09.★五．更多練習(xí)1.（江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)2025屆高三二模）已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)的切線也是曲線的切線，求的值；（2）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（3）若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍．2.（浙江省寧波市2025屆高三二模）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）求證：當(dāng)時(shí)，.3.已知函數(shù)，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（提示：直接端點(diǎn)效應(yīng)與必要性探路）4.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，試比較與0的大小；（2）若恒成立，求的取值范圍.（“內(nèi)點(diǎn)”效應(yīng)解題）5.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（這個(gè)你就得自己判斷了）練習(xí)參考答案：1.解析：（1）在點(diǎn)處的切線方程為．設(shè)與切于，因此可得：（2）①當(dāng)時(shí)，∵在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增③當(dāng)時(shí)，令，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減（3），即對(duì)恒成立．令令，.下證充分性，當(dāng)時(shí)，令恒成立，符合，綜上：的取值范圍為．2.解析：（1）由題設(shè)，則且，當(dāng)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，即在上單調(diào)遞增；（2）由題設(shè)，令，則，對(duì)時(shí)，恒成立，且，只需，即，另一方面，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增，則，滿足題設(shè)，綜上，；（3）由（2）取，在上，令，，則，即，所以，則，得證.3.解析：由題意，注意到，，，，令.當(dāng)時(shí)，，，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，結(jié)合知，從而在上單調(diào)遞增，又，所以恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，結(jié)合，可得在上有唯一的零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，從而不能恒成立，不合題意；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.4.解析：（2）由于，則令且要滿足上述方程組，故令下證當(dāng)時(shí)，，∵，∴，令，要證，只需證，①當(dāng)時(shí)，，由（1）知，，②當(dāng)時(shí)，，，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵，，，∴，，使得，∴當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.而，∴當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴，綜上所述，的取值范圍是.5.解析：（1）當(dāng)時(shí)，，，，切點(diǎn)為，斜率為，曲線在點(diǎn)處的切線方程：.（2）恒成立,,,令，，在恒成立，在單調(diào)遞增，且，，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍.隱零點(diǎn)代換與估計(jì)隱零點(diǎn)問題是函數(shù)零點(diǎn)中常見的問題之一，其源于含指對(duì)函數(shù)的方程無(wú)精確解，這樣我們只能得到存在性之后去估計(jì)大致的范圍（數(shù)值計(jì)算不再考察之列）.高考中曾多次考察隱零點(diǎn)代換與估計(jì)，所以本節(jié)我們做一個(gè)專門的分析與討論.一．基本原理第1步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列出零點(diǎn)方程或者，并結(jié)合的單調(diào)性得到零點(diǎn)的范圍；第2步：以零點(diǎn)為分界點(diǎn)，說明導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到的最值表達(dá)式；第3步：將零點(diǎn)方程或者適當(dāng)變形，整體代入最值式子進(jìn)行化簡(jiǎn)或者含零點(diǎn)的式子中，要么消除最值式中的指對(duì)項(xiàng)，要么消除其中的參數(shù)項(xiàng)，從而得到最值式的估計(jì).下面我們通過實(shí)例來(lái)分析.二．典例分析★1.隱零點(diǎn)代換例1.（四川省成都市2025屆高三三診）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，為的導(dǎo)函數(shù)．（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）記較小的一個(gè)零點(diǎn)為．證明：．解析：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2）（i）若，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn)；若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)．設(shè)，函數(shù)在單調(diào)遞增．因?yàn)榈慕饧癁椋C上所述，的取值范圍是．（ii）因?yàn)椋?，結(jié)合（i）知，要證，即證，即，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，不等式恒成立；?dāng)時(shí)，由得．即證．即證．即證．設(shè)，由，所以在單調(diào)遞增．所以，故原不等式成立．所以．例2.（2020新高考1卷）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積；（2）若，求的取值范圍.解析：（1）切線方程為,故切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,所求三角形面積為.（2）由于,，且.設(shè),則即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，,∴,∴成立.當(dāng)時(shí)，，,∴存在唯一，使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，因此,故恒成立；當(dāng)時(shí)，∴不是恒成立.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)評(píng)：（1）例1告訴我們，隱零點(diǎn)代換的第一個(gè)方向是利用隱零點(diǎn)代換掉參數(shù)，從而得到不含參數(shù)的表達(dá)式來(lái)解決；（2）例2告訴我們，處理隱零點(diǎn)的策略是代換掉指對(duì)項(xiàng)，從而消掉式子中比較復(fù)雜的函數(shù)部分，將最終的目標(biāo)結(jié)構(gòu)代換成簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式或者分式形式等.★2.隱零點(diǎn)同構(gòu)實(shí)際上，很多隱零點(diǎn)問題產(chǎn)生的原因就是含有指對(duì)項(xiàng)，而這類問題由往往具有同構(gòu)特征，所以下面我們看到的這兩個(gè)問題，它的隱零點(diǎn)代換則需要同構(gòu)才能做出，否則，我們可能很難找到隱零點(diǎn)合適的代換化簡(jiǎn)方向.我們看下面兩例：一類同構(gòu)式在隱零點(diǎn)問題中的應(yīng)用：原理分析例3.已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.（1）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：（1）有兩個(gè)零點(diǎn)關(guān)于的方程有兩個(gè)相異實(shí)根，由，知有兩個(gè)零點(diǎn)有兩個(gè)相異實(shí)根.令，則，由得：，由得：，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）當(dāng)時(shí)，，原命題等價(jià)于對(duì)一切恒成立對(duì)一切恒成立.令

，，令，，則，在上單增，又，，使即①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在遞減，在遞增，由①知，函數(shù)在單調(diào)遞增，即，，實(shí)數(shù)的取值范圍為.注：本題再次涉及隱零點(diǎn)同構(gòu)，否則的話，很難找到隱零點(diǎn)具體的代換方向！★3.隱零點(diǎn)的估計(jì).例4.（2017新課標(biāo)2卷）已知函數(shù)，且．（1）求；（2）證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且QUOTEe-2<f(x0)<2習(xí)題2.解析：（1）．（2）由（1）知，．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，，所以在有唯一零點(diǎn)，在有唯一零點(diǎn)1，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此，所以是的唯一極大值點(diǎn)．由得，故．由得，．因?yàn)槭窃诘淖畲笾迭c(diǎn)，由，得．所以．三．習(xí)題演練1.（湖北省武漢市2025屆高三二月調(diào)考）已知函數(shù)．（1）若在處的切線斜率為，求；（2）若恒成立，求的取值范圍．2．（福建省廈門市2025屆高三二模）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的極小值；（2）若存在唯一極值點(diǎn)，證明：.3.（2016年全國(guó)2卷）（1）討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，；（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值．設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域．4.已知函數(shù).（1）當(dāng)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的取值范圍.參考答案1.解析：（1）因?yàn)?，所以，依題意，解得；（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，所以恒成立，令，，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以使得，即，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.2.解析：（1）的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，，.令得，或.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取極小值.（2）方，.當(dāng)時(shí)，與同號(hào).因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，又存在唯一極值點(diǎn)，如圖可得，所以，所以，故.將代入得，構(gòu)造，，則，所以，即，所以3.解析：（1）∵當(dāng)時(shí)，∴在上單調(diào)遞增∴時(shí)，∴（2），由（1）知，單調(diào)遞增，對(duì)任意的，，，因此，存在唯一，使得，即.當(dāng)時(shí)，，,單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，,單調(diào)遞增．因此在處取得最小值，最小