第一章第5講一元二次不等式集合與常用邏輯用語、不等式鏈教材夯基固本01單擊此處添加章節(jié)副標題1.(人A必一P53練習T1(2)改)不等式3x2－7x≤10的解集為__________．2.(人A必一P55習題T1(4))不等式－3x2＋5x－4＞0的解集為_____．?3.已知不等式ax2＋bx－1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，則a＝_______，b＝_____．【解析】(－3，0]5.(人A必一P55練習T2)如圖，在長為8m、寬為6m的矩形地面的四周種植花卉，中間種植草坪．如果要求花卉帶的寬度相同，且草坪的面積不超過總面積的一半，那么花卉帶的寬度的取值范圍是_________(單位：m)．【解析】[1，3)1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集設相應的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個實數(shù)根為x1，x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，則不等式的解集的各種情況如下表：{x|x＜x1或x＞x2}R{x|x1＜x＜x2}??2.與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題f(x)g(x)＞0(＜0)f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－a，a)研題型素養(yǎng)養(yǎng)成02單擊此處添加章節(jié)副標題目標1解不等式視角1不含參的不等式

解下列關(guān)于x的不等式．(1)－6x2－5x＋1＜0；【解答】1－1【解答】

【解答】

(1)可通過解相應一元二次方程的根，再畫出相應二次函數(shù)的圖象，求出不等式的解集．(2)分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式時，要注意等價轉(zhuǎn)化，必要時要對分母進行限制，轉(zhuǎn)化為不等式組．(3)解高次不等式，先分解成若干個因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)正，然后將每一個根標在數(shù)軸上，再從最大根的右上方依次穿過每一個奇數(shù)次根，但不穿過偶數(shù)次根．視角2含參的一元二次不等式

ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R).【解答】1－2對含參的不等式，應對參數(shù)進行分類討論(1)二次項中若含有參數(shù)應討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項系數(shù)為正的形式；(2)當不等式對應方程的實根的個數(shù)不確定時，討論判別式Δ與0的關(guān)系；(3)確定無實根時可直接寫出解集，確定方程有兩個實根時，要討論兩實根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．【解答】

原不等式可化為ax2－2x＋a≥0.(1)當a＝0時，不等式化為－2x≥0，解得x≤0.(2)當a＞0時，Δ＝4－4a2＝4(1－a2).解關(guān)于x的不等式：a(x2＋1)≥2x.變式1

目標2三個二次之間的關(guān)系

已知不等式ax2－5x＋b＜0的解集為(－2，3)，則不等式bx2－5x＋a＜0的解集是_________________．2【解析】一元二次不等式與其對應的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系：(1)若一元二次不等式的解集為區(qū)間的形式，則區(qū)間的端點值恰是對應一元二次方程的根，要注意解集的形式與二次項系數(shù)的聯(lián)系．(2)若一元二次不等式的解集為R或?，則問題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題，此時可以根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況確定對應一元二次方程的判別式的符號，進而求出參數(shù)的取值范圍．【解析】

(1)（多選）若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|－1＜x＜2}，則下列選項中能使不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＜2ax成立的x的集合為 (

)A.{x|0＜x＜3} B.{x|x＜0}C.{x|x＞3} D.{x|－2＜x＜1}變式2

BC【解析】(2)已知二次函數(shù)y＝x2－2ax＋b2的最小值為0，若關(guān)于x的不等式x2－2ax＋b2＜c的解集為(t，t＋4)，則實數(shù)c的值為____．4目標3一元二次不等式恒成立問題

(1)如果關(guān)于x的不等式ax2－ax＋1≥0恒成立，那么實數(shù)a的取值范圍為_________．3【解析】[0，4](2)若不等式x2＋ax＋4≥0對一切x∈[1，3]恒成立，則a的最小值為______．【解析】－4(3)（變更主元）若命題“?a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a＜0”為假命題，則實數(shù)x的取值范圍為_________________．【解析】(1)解決恒成立問題時可以利用分離參數(shù)法，一定要弄清楚誰是自變量，誰是參數(shù)．一般地，知道誰的范圍，誰就是自變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．(2)對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．(3)解決不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題，可先求出相應函數(shù)在這個區(qū)間上的最值，再轉(zhuǎn)化為與最值有關(guān)的不等式問題．【解答】

因為當x∈R時，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，所以Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，所以實數(shù)a的取值范圍是[－6，2].已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3.(1)當x∈R時，f(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；變式3

【解答】已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3.(2)當x∈[－2，2]時，f(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；【解答】已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3.(3)當a∈[4，6]時，f(x)≥0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．A【解析】D【解析】A【解析】[3，5]5.已知函數(shù)f(x)＝x2＋a|x－1|，若f(x)≥1對x∈[－2，2]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為____________．【解析】

若f(x)≥1對x∈[－2，2]恒成立，則a|x－1|≥1－x2對x∈[－2，2]恒成立．當x＝1時，f(x)≥1成立，a∈R.當x∈[－2，1)時，若a|x－1|≥1－x2恒成立，則a(1－x)≥(1＋x)(1－x)恒成立，所以a≥1＋x恒成立，所以a≥2.當x∈(1，2]時，a|x－1|≥1－x2恒成立，則a(x－1)≥(1＋x)(1－x)恒成立，所以a≥－(1＋x)恒成立，所以a≥－2.綜上可得a≥2.[2，＋∞）配套精練03單擊此處添加章節(jié)副標題【解析】D2.(2020·山東卷)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是 (

)A.(－2，1)

B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.[－2，1]

D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)【解析】

結(jié)合圖象易知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－2，1).A3.已知不等式：①x2－4x＋3＜0；②x2＋x－6＜0；③2x2－5x＋m＜0，若要同時滿足不等式①②的x也滿足不等式③，則有 (

)A.m＞2

B.m＝2 C.m≤2

D.0＜m＜2【解析】C4.當－2≤x≤2時，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為 (

)A.(－2，2)

B.(－∞，－2) C.[－2，2]

D.(2，＋∞)【解析】A【解析】【答案】B【解析】【答案】BC【解析】【答案】AB【解析】【答案】ABD【解析】(－∞，－1)∪(1，5)【解析】

由x2－x－2＞0，得x＞2或x＜－1.由x2＋(3－k)x－3k＜0，得(x＋3)(x－k)＜0，當k＝－3時，(x＋3)2＜0，無解，不合題意；當k＜－3時，k＜x＜－3，則原不等式組的解集中不包含－2，不合題意；當k＞－3時，－3＜x＜k，因為原不等式組的解集中只有一個整數(shù)－2，如圖，結(jié)合數(shù)軸可知，－2＜k≤3，k∈Z，所以k∈{－1，0，1，2，3}．{－1，0，1，2，3}11.某種汽車在水泥路面上的剎車距離s(單位：m)和汽車剎車前的車速v(單位：km/h)之間有如下關(guān)系：s＝0.21v＋0.006v2.在一次交通事故中，測得這種車的剎車距離不小于39m，則這輛汽車剎車前的車速至少為_____km/h.【解析】

根據(jù)題意，有s＝0.21v＋0.006v2≥39，整理得6v2＋210v－39×1000≥0，解得v≥65或v≤－100(舍去)，所以這輛汽車剎車前的車速至少為65km/h.65四、

解答題12.已知函數(shù)f(x)＝x2－(a－2)x＋4.(1)求關(guān)于x的不等式f(x)≥4＋2a的解集；【解答】

由f(x)≥4＋2a，得x2－(a－2)x－2a≥0.令x2－(a－2)x－2a＝0，可得x＝－2或x＝a，所以當a＜－2時，原不等式的解集為(－∞，a]∪[－2，＋∞)；當a＝－2時，原不等式的解集為R；當a＞－2時，原不等式的解集為(－∞，－2]∪[a，＋∞).(2)若對任意的x∈[1，6]，f(x)－2a＋14≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【解答】12.已知函數(shù)f(x)＝x2－(a－2)x＋4.13.已知函數(shù)f(x)＝(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1.(1)當m＜0時，解關(guān)于x的不等式f(x)≥3x＋m－2；【解答】(2)若不等式f(x)≥x2＋2x對一切x∈[0，2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【解答】13.已知函數(shù)f(x)＝(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1.14.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與直線y＝－4有且僅有一個公共點，且不等式ax2＋bx＋c≤0的解集為[－1，3].(1)求此二次函數(shù)的解析式；【解答】

由不等式ax2＋bx＋c≤0的解集為[－1，3]，得a＞0且－1，3是關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，因此ax2＋bx＋c＝a(x＋1)(x－3)，所以函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向上，其對稱軸為x＝1.而該圖象與直線y＝－4有且僅有一個公共點，則y＝a(x＋1)(x－3)圖象的頂點為(1，－4)，于是－4＝－4a，解得a＝1，所以此二次函數(shù)的解析式為y＝(x＋1)(x－3)，即y＝x2－2x－3.(2)若關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＜(m－1)x－m