點面距與線面距及直線與平面所成的角(教學(xué)方式:拓展融通課——習(xí)題講評式教學(xué))第3課時課時目標(biāo)1.了解點到平面的距離,直線和平面的距離的概念.2.了解直線和平面所成角的概念,能利用線面關(guān)系尋找直線與平面所成的角,會求直線與平面所成的角.1.兩種距離(1)點到平面的距離:從平面外一點引平面的垂線,這個____________的距離,叫作這個點到這個平面的距離.(2)直線和平面的距離:一條直線和一個平面平行,這條直線上___________________________,叫作這條直線和這個平面的距離.點和垂足間任意一點到這個平面的距離2.直線與平面所成的角(1)相關(guān)概念:①斜線:一條直線與一個平面相交,但不和這個平面垂直,這條直線叫作這個平面的_____.②斜足:斜線與平面的_____叫作斜足.③斜線段:斜線上一點與斜足間的_____叫作這個點到平面的斜線段.(2)定義:平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的_____,叫作這條直線與這個平面所成的角.(3)規(guī)定:如果一條直線垂直于平面,那么稱它們所成的角是_____;如果一條直線與平面平行,或在平面內(nèi),那么稱它們所成的角是_______.(4)取值范圍:設(shè)直線與平面所成的角為θ,則_______________.斜線交點線段銳角直角0°角0°≤θ≤90°CONTENTS目錄123題型(一)距離問題題型(二)直線與平面所成的角題型(三)直線與平面位置關(guān)系的綜合問題4課時跟蹤檢測題型(一)距離問題01

|思|維|建|模|(1)從平面外一點作一個平面的垂線,這個點與垂足間的距離就是這個點到這個平面的距離.當(dāng)該點到已知平面的垂線不易作出時,可利用線面平行、面面平行的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為與已知平面等距離的點作垂線,然后計算.(2)利用中點轉(zhuǎn)化:如果條件中具有中點條件,將一個點到平面的距離,借助中點(等分點),轉(zhuǎn)化為另一點到平面的距離.(3)通過換底轉(zhuǎn)化:一是直接換底,以方便求空間圖形的高;二是將底面擴展(分割),以方便求底面積和高.針對訓(xùn)練1.已知在長方體ABCD?A1B1C1D1中,棱AA1=12,AB=5.(1)求點B1到平面A1BCD1的距離;解:如圖,過點B1作B1E⊥A1B于點E.由題意知BC⊥平面A1ABB1,且B1E?平面A1ABB1,∴BC⊥B1E.∵BC∩A1B=B,BC?平面A1BCD1,A1B?平面A1BCD1,∴B1E⊥平面A1BCD1,

(2)求B1C1到平面A1BCD1的距離.

題型(二)直線與平面所成的角02[例2]如圖,在正方體ABCD?A1B1C1D1中.(1)求A1B與平面AA1D1D所成的角;解:∵AB⊥平面AA1D1D,∴∠AA1B就是A1B與平面AA1D1D所成的角,在Rt△AA1B中,∠BAA1=90°,AB=AA1,∴∠AA1B=45°,∴A1B與平面AA1D1D所成的角是45°.(2)求A1B與平面BB1D1D所成的角.解:如圖,連接A1C1交B1D1于點O,連接BO.

|思|維|建|模|求解直線和平面所成角的一般步驟

求直線和平面所成角的關(guān)鍵在于找出直線在平面內(nèi)的射影,基本步驟為(1)作:即在斜線上選取恰當(dāng)?shù)狞c向平面引垂線,準(zhǔn)確確定垂足的位置是關(guān)鍵;幾何圖形的特征是確定垂足的依據(jù),垂足一般都是一些特殊的點,比如線段的中點、平面圖形的中心、重心、垂心等.(2)證:即證明所找到的角為直線和平面所成的角,也就是證明選取的點與垂足的連線和平面垂直,依據(jù)就是直線和平面所成角的定義.(3)求:將所求角轉(zhuǎn)化為垂線段、斜線段與射影所構(gòu)成的直角三角形中進行計算.針對訓(xùn)練2.三棱錐S?ABC的所有棱長都相等且為a,求SA與底面ABC所成角的余弦值.解:如圖,過S作SO⊥平面ABC于點O,連接AO,BO,CO.則SO⊥AO,SO⊥BO,SO⊥CO.∵SA=SB=SC=a,∴△SOA≌△SOB≌△SOC,∴AO=BO=CO,∴O為△ABC的外心.

題型(三)直線與平面位置關(guān)系的綜合問題03

∴NE∥AM,且NE=AM,∴四邊形AMNE是平行四邊形,∴MN∥AE.∵AE?平面PAD,MN?平面PAD,∴MN∥平面PAD.(2)若PD與平面ABCD所成的角為45°,求證:MN⊥平面PCD.證明:∵PA⊥平面ABCD,∴∠PDA即為PD與平面ABCD所成的角,∴∠PDA=45°,∴AP=AD,∴AE⊥PD.又∵MN∥AE,∴MN⊥PD.∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,PA?平面PAD,AD?平面PAD,∴CD⊥平面PAD.∵AE?平面PAD,∴CD⊥AE,∴CD⊥MN.又CD∩PD=D,CD?平面PCD,PD?平面PCD,∴MN⊥平面PCD.|思|維|建|模|解決線面位置關(guān)系的綜合問題一定要掌握線線平行與垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系.(1)直線與平面平行問題,常常轉(zhuǎn)化為直線與直線平行問題,而直線與直線平行問題也可以轉(zhuǎn)化為直線與平面平行的問題,要做出正確的命題轉(zhuǎn)化,就必須熟記線面平行的定義、判定定理和性質(zhì)定理.(2)線線垂直常常轉(zhuǎn)化為線面垂直,即證明其中一條直線垂直于另一條直線所在的平面即可.證明轉(zhuǎn)化途徑是線線垂直→線面垂直→線線垂直.針對訓(xùn)練

解:證明:∵三棱柱A1B1C1?ABC的側(cè)棱與底面垂直,AC=BC=1,∠ACB=90°,∴A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°,AA1⊥平面A1B1C1.∵C1D?平面A1B1C1,∴AA1⊥C1D.∵D是A1B1的中點,∴C1D⊥A1B1.又A1B1∩AA1=A1,A1B1,AA1?平面AA1B1B,∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)當(dāng)點F在BB1上的什么位置時,會使得AB1⊥平面C1DF?并證明你的結(jié)論.解:當(dāng)F為BB1的中點時,AB1⊥平面C1DF.證明:如圖,作DE⊥AB1于點E,延長DE交BB1于點F,連接C1F.由(1)知C1D⊥平面AA1B1B,AB1?平面AA1B1B,∴C1D⊥AB1.又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,DF,C1D?平面C1DF,

課時跟蹤檢測04134567891011121314152A級——達標(biāo)評價1.如圖所示,在三棱錐P?ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,則直線PB和平面ABC所成的角是(

)A.∠BPA B.∠PBAC.∠PBC D.以上都不對解析:由PA⊥AB,PA⊥BC,AB∩BC=B,得PA⊥平面ABC,所以∠PBA為BP與平面ABC所成的角.√1567891011121314152342.(多選)下列說法正確的是

(

)A.平面的斜線與平面所成的角的取值范圍是0°<θ<90°B.直線與平面所成的角的取值范圍是0°<θ≤90°C.若兩條直線與一個平面所成的角相等,則這兩條直線互相平行D.若兩條直線互相平行,則這兩條直線與一個平面所成的角相等解析:B中應(yīng)為0°≤θ≤90°;C中這兩條直線可能平行,也可能相交或異面.√√156789101112131415342

√156789101112131415342

156789101112131415342

√

1567891011121314153425.(多選)在正方體ABCD?A1B1C1D1中,P,Q分別是BC1和CD1的中點,則下列判斷正確的是

(

)A.PQ⊥CC1 B.PQ⊥平面A1ACC1C.PQ∥BD D.PQ∥平面ABD1解析:取CC1的中點E,連接PE,QE,∵P,Q分別是BC1和CD1的中點,易得CC1⊥PE,CC1⊥QE.又PE∩QE=E,∴CC1⊥平面PQE.∵PQ?平面PQE,∴CC1⊥PQ,故A正確.√√√156789101112131415342分別取CD,BC的中點F,G,連接QF,FG,PG,易得PG∥QF且PG=QF,∴四邊形PQFG為平行四邊形.∴PQ∥FG.又FG∥BD,∴PQ∥BD,故C正確.∵BD⊥AC,∴PQ⊥AC.又PQ⊥CC1,AC∩CC1=C,∴PQ⊥平面A1ACC1,故B正確.平面ABD1即為平面ABC1D1,顯然PQ∩平面ABC1D1=P,故D錯誤.故選ABC.1567891011121314153426.如圖,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,直線A1B與平面ABCD所成的角是

.45°1567891011121314153427.已知平面α外兩點A,B到平面α的距離分別是2和4,則AB的中點P到平面α的距離是

.解析:若A,B在α同側(cè),如圖①,則P到α的距離為3;若A,B在α異側(cè),如圖②,則P到α的距離為PO'-OO'=3-2=1.3或1156789101112131415342

21567891011121314153429.(10分)如圖,在長方體ABCD?A1B1C1D1中:(1)求證:A1A∥平面BB1D1D;解:證明:在長方體ABCD?A1B1C1D1中,AA1∥BB1,又BB1?平面BB1D1D,AA1?平面BB1D1D,所以A1A∥平面BB1D1D.156789101112131415342(2)若AB=4,AD=3,求A1A到平面BB1D1D的距離.解:由(1)知A1A∥平面BB1D1D,則直線A1A上任意一點到平面BB1D1D的距離都相等.如圖,過點A作AH⊥BD交BD于H,易知BB1⊥平面ABCD,因為AH?平面ABCD,所以BB1⊥AH.156789101112131415342

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156789101112131415342B級——重點培優(yōu)11.(多選)如圖,四棱錐S?ABCD的底面為正方形,SD⊥底面ABCD,則下列結(jié)論中正確的是(

)A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角√√√156789101112131415342解析:A正確,因為SD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以AC⊥SD.因為四邊形ABCD為正方形,所以AC⊥BD,因為BD∩SD=D,BD,SD?平面SBD,所以AC⊥平面SBD,因為SB?平面SBD,所以AC⊥SB.B正確,因為AB∥CD,CD?平面SCD,AB?平面SCD,所以AB∥平面SCD.C正確,設(shè)AC與BD的交點為O,連接SO,如圖,由AC⊥平面SBD得SA與平面SBD所成的角為∠ASO,SC與平面SBD所成的角為∠CSO,易知∠ASO=∠CSO,故SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角.D不正確,AB與SC所成的角是∠SCD(或其補角),而DC與SA所成的角是∠SAB(或其補角),易知∠SCD≠∠SAB.故選ABC.15678910111213141534212.如圖所示,AB是☉O的直徑,PA⊥平面ABC,C為圓周上一點,AB=5cm,AC=2cm,則B到平面PAC的距離為

cm.

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30°

15678910111213141534214.(13分)如圖,在四棱錐P?ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,點E是PC的中點,F是AB的中點.(1)求證:BE∥平面PDF;156789101112131415342

156789101112131415342(2)求直線BE與平面PAD所成角的正弦值.解:由(1)得BE∥MF,∴直線BE與平面PAD所成角就是直線MF與平面PAD所成角.取AD的中點G,連接BD,BG.∵底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD,∵PA⊥平面ABCD,PA?平面PAD,∴平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,BG⊥AD,∴BG⊥平面PAD,156789101112131415342

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15678910111213141534215.(17分)如圖,在四棱錐P?ABCD中,底面ABCD為梯形,O,M分別是AD,PB的中點,