13.3.1空間圖形的表面積(教學(xué)方式:基本概念課——逐點理清式教學(xué))課時目標(biāo)1.了解柱、錐、臺的表面積及側(cè)面積公式.2.能用公式解決簡單的實際問題.CONTENTS目錄123逐點清(一)直棱柱、正棱錐和正棱臺的側(cè)面積逐點清(二)圓柱、圓錐和圓臺的側(cè)面積逐點清(三)組合體的表面積4課時跟蹤檢測逐點清(一)直棱柱、正棱錐和正棱臺的側(cè)面積01多維理解1.側(cè)面積的概念把柱、錐、臺的側(cè)面沿著它們的__________或______剪開后展開在一個平面上,展開圖的面積就是它們的側(cè)面積.2.直棱柱及其側(cè)面積(1)側(cè)棱和底面______的棱柱叫作直棱柱.(2)底面為正多邊形的________叫作正棱柱.直棱柱的側(cè)棱長就是直棱柱的高(兩底面所在平面之間的距離).(3)直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形,這個矩形的長等于直棱柱的底面周長c,寬等于直棱柱的高h.因此,直棱柱的側(cè)面積是S直棱柱側(cè)=____.一條側(cè)棱母線垂直直棱柱ch3.正棱錐及其側(cè)面積(1)如果一個棱錐的底面是正多邊形,并且頂點在底面的射影是_________,那么稱這樣的棱錐為正棱錐.正棱錐的側(cè)棱長都相等,側(cè)面均為全等的等腰三角形.(2)正棱錐的側(cè)面展開圖是若干個全等的等腰三角形,展開圖的面積就是正棱錐的側(cè)面積.如果正棱錐的底面周長為c,斜高(即側(cè)面等腰三角形底邊上的高)為h',則它的側(cè)面積是S正棱錐側(cè)=_______.底面中心

4.正棱臺及其側(cè)面積(1)正棱錐被_________________所截,截面和底面之間的部分叫作正棱臺.(2)正棱臺的側(cè)棱長都相等,側(cè)面均為全等的等腰梯形.(3)若設(shè)正棱臺的上、下底面的周長分別為c',c,斜高為h',則其側(cè)面積是S正棱臺側(cè)=__________.平行于底面的平面

|微|點|助|解|(1)對于直棱柱,其側(cè)面積可以用公式計算,也可以將其每一個側(cè)面的面積分別計算,然后相加.(2)對于正棱錐和正棱臺,其側(cè)面積可以由其一個側(cè)面的面積乘以側(cè)面的個數(shù)來計算,因為它們的側(cè)面都是全等的三角形或梯形.(3)棱錐、棱臺的“斜高”與“高”:斜高是指其側(cè)面等腰三角形或等腰梯形的高,正棱錐、正棱臺的高是幾何體的高.微點練明1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)斜三棱柱的側(cè)面積也可用cl求解,其中c為底面周長,l為側(cè)棱長. (

)(2)棱臺的側(cè)面展開圖是由若干個等腰梯形組成的. (

)(3)沿不同的棱將多面體展開,得到的展開圖不一定相同,但展開圖的面積相等. (

)(4)將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的側(cè)面積為4π.

(

)××√×

√

√

20逐點清(二)圓柱、圓錐和圓臺的側(cè)面積02多維理解

圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積幾何體側(cè)面展開圖形狀展開圖度量與幾何體度量的關(guān)系側(cè)面積公式圓柱矩形的一邊長為母線長,另一邊長為圓柱底面周長S圓柱側(cè)=_____,r:底面半徑,l:母線長圓錐扇形的半徑為母線長,扇形的弧長為圓錐底面周長S圓錐側(cè)=_____,r:底面半徑,l:母線長2πrlπrl圓臺扇環(huán)的較短的弧長為圓臺上底面周長,較長的弧長為圓臺下底面周長S圓臺側(cè)=__________,r1,r2分別為圓臺上、下底面半徑,l為母線長π(r1+r2)l續(xù)表|微|點|助|解|(1)表面積:一個幾何體的表面積是指幾何體所有面的面積的和,也可以理解成幾何體的側(cè)面積與其底面積的面積之和,也稱為全面積.(2)圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面積公式間的關(guān)系:微點練明1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)多面體的表面積等于各個面的面積之和. (

)(2)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,其中扇形的弧長為圓錐底面圓的周長.(

)(3)幾何體的平面展開方法可能不同,但其表面積唯一確定. (

)√√√2.圓柱的母線長為5cm,底面半徑為2cm,則圓柱的側(cè)面積為

(

)A.20πcm2 B.10πcm2C.28πcm2 D.14πcm2解析:圓柱的母線長為5

cm,底面半徑為

2

cm,則圓柱的側(cè)面積為S側(cè)=2π×2×5=20π(cm2).√

√4.如圖,圓臺的上、下底面半徑分別是10cm和20cm,它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180°.(1)求圓臺母線AB的長度; 解:設(shè)圓臺的上底面周長為c

cm,由于扇環(huán)的圓心角是180°,則c=π·SA=2π×10,解得SA=20(cm).同理可得SB=40(cm),AB=SB-SA=20(cm).(2)求圓臺的表面積.解:S表=S側(cè)+S上+S下=π×(10+20)×20+π×102+π×202=1

100π(cm2).逐點清(三)組合體的表面積03

√

√

|思|維|建|模|求解組合體表面積的解題思路求解組合體的表面積問題首先要弄清楚它是由哪些簡單幾何體組成的,將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體后,先求這些幾何體的表面積,再通過求和或作差,得到所求組合體的表面積.若遇到與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的問題,應(yīng)先根據(jù)條件確定各個旋轉(zhuǎn)體的底面半徑和母線長,再代入公式求解.針對訓(xùn)練

√

√

課時跟蹤檢測04134567891011121314152

√1567891011121314152342.已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍,母線長為3,圓臺的側(cè)面積為84π,則該圓臺較小的底面半徑為

(

)A.7 B.6 C.5 D.3解析:設(shè)圓臺較小底面的半徑為r,則另一底面的半徑為3r.由S側(cè)=3π(r+3r)=84π,解得r=7.√156789101112131415342

A.2 B.1.71 C.1.37 D.1√156789101112131415342解析:如圖,設(shè)H為底面正方形ABCD的中心,G為BC的中點,連接PH,HG,PG,則PH⊥HG,

156789101112131415342

√1567891011121314153425.如圖是底面半徑為3的圓錐,將其放倒在一平面上,使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點S滾動,當(dāng)這個圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時,圓錐本身恰好滾動了3周,則該圓錐的表面積為

(

)

√156789101112131415342解析:設(shè)圓錐的母線長為l,以S為圓心,母線l為半徑的圓的面積為S圓=πl(wèi)2,又圓錐的側(cè)面積S圓錐側(cè)=πrl=3πl(wèi),因為圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)到原位置時,圓錐本身滾動了3周,所以πl(wèi)2=3×3πl(wèi),解得l=9.所以圓錐的表面積S=S圓錐側(cè)+S底=3×π×9+π×32=36π.故選A.156789101112131415342

√1567891011121314153427.如圖,已知正方體的棱長為a,沿圖1中對角面將它分割成兩個部分,拼成如圖2的四棱柱,則該四棱柱的表面積為

(

)

√156789101112131415342

156789101112131415342

√156789101112131415342

156789101112131415342

√156789101112131415342

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156789101112131415342

√√156789101112131415342

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15678910111213141534212.魯班鎖(也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方)起源于古代中國建筑的榫卯結(jié)構(gòu).這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合,十分巧妙.魯班鎖玩具種類比較多,形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同,一般都是易拆難裝.如圖1,這是一種常見的魯班鎖玩具,圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖,每條棱的長均為2,則該魯班鎖的表面積為

.

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15678910111213141534213.如圖,將一個圓柱2n(n∈N+)等分切割,再將其重新組合成一個與圓柱等底等高的幾何體,n越大,重新組合成的幾何體就越接近一個“長方體”.若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10,則圓柱的側(cè)面積為

.解析:顯然新幾何體的表面積比原圓柱的表面積多了原圓柱的軸截面面積,設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,則2rh=10,所以圓柱的側(cè)面積為2πrh=10π.10π15678910111213141534214.(10分)某個實心零部件的直觀圖如圖所示,其下部是上、下底面均是正方形,側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺ABCD?A1B1C1D1,上部是一個底面與四棱臺的上底面重合,側(cè)面是全等的矩形的四棱柱ABCD?A2B2C2D2.現(xiàn)需要對該零部件表面進行防腐處理,已知AB=10cm,A1B1=20cm,AA2=30cm,AA1=13cm,每平方厘米的加工處理費為0.2元,求所需加工處理費.156789101112131415342

15678910111213141534215.(15分)《九章算術(shù)》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著,是《算經(jīng)十書》中最重要的一部.《九章算術(shù)》中將有三條棱互相平行且有一個面為梯形的五面體稱之為“羨除”,現(xiàn)