金太陽陜西高三數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,3]C.RD.(-1,3)

2.若復(fù)數(shù)z滿足|z-1|+|z+1|=4，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)軌跡是（）

A.橢圓B.拋物線C.雙曲線D.直線

3.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=5，公差d=-2，則其前n項(xiàng)和S?的最小值為（）

A.-10B.-8C.10D.8

4.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期為（）

A.πB.2πC.3π/2D.π/2

5.在△ABC中，若角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a2+b2=c2，則cosC的值為（）

A.1B.-1C.0D.±1/2

6.已知向量a=(1,k)，b=(2,-1)，若a⊥b，則k的值為（）

A.-2B.2C.-1/2D.1/2

7.某校高三年級共有1000名學(xué)生，隨機(jī)抽取500名學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查，若樣本頻率分布直方圖如下，則視力在4.9以下的學(xué)生人數(shù)約為（）

A.100B.200C.300D.400

8.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為（）

A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18

9.已知函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值，則a的值為（）

A.3B.-3C.2D.-2

10.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,2,3)關(guān)于平面x+y+z=1的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.(0,0,0)B.(-1,-1,-1)C.(2,3,4)D.(0,1,2)

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（）

A.y=-2x+1B.y=x2C.y=log?/?xD.y=e^x

2.在等比數(shù)列{b?}中，若b?=2，b?=8，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式b?可能為（）

A.2^nB.2^n+1C.2^(n-1)D.4^n

3.已知函數(shù)f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)，則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)α=π/4時(shí)，f(x)的最小正周期為2πB.當(dāng)α=0時(shí)，f(x)是偶函數(shù)

C.當(dāng)α=π/2時(shí)，f(x)的圖像可由y=sin(x)向左平移π/4得到

D.f(x)的圖像關(guān)于直線x=π/2對稱

4.在△ABC中，若角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a2=b2+c2-bc，則下列結(jié)論正確的是（）

A.cosA=1/2B.sinB=sinCC.△ABC是直角三角形D.△ABC是等腰三角形

5.已知向量a=(1,2)，b=(k,-1)，c=(3,4)，若向量a與向量b共線，且向量b與向量c的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A.k=-2B.k>3C.k<-3D.k∈(-2,3)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=2^x-1，若f(a)=3，則a=______。

2.在等差數(shù)列{a?}中，a?=10，a??=19，則其前12項(xiàng)和S??=______。

3.計(jì)算：lim(x→∞)(3x2-2x+1)/(x2+5x-3)=______。

4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=3，b=4，C=60°，則cosB=______。

5.已知向量u=(1,k)，v=(2,-1)，若向量u與向量v的夾角為120°，則實(shí)數(shù)k=______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

2.已知復(fù)數(shù)z=1+i，求復(fù)數(shù)z^4的模長和輻角主值。

3.在等比數(shù)列{a?}中，a?=1，a?=8，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?及前10項(xiàng)和S??。

4.已知函數(shù)f(x)=sin(2x-π/3)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間。

5.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a=5，b=7，cosC=1/2，求sinA的值及△ABC的面積。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域要求真數(shù)x2-2x+3>0，解不等式x2-2x+3=(x-1)2+2≥2，恒成立，故定義域?yàn)镽。

2.A

解析：|z-1|+|z+1|=4表示復(fù)平面上到點(diǎn)(1,0)和(-1,0)距離之和為4的軌跡，是橢圓。

3.A

解析：等差數(shù)列前n項(xiàng)和S?=n(a?+a?)/2=n(5+5+(n-1)(-2))=-n2+7n，其頂點(diǎn)為n=7/2=3.5，取整為3或4，S?=-32+7×3=-9+21=12，S?=-42+7×4=-16+28=12，最小值為-10（n=0時(shí)）。

4.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

5.C

解析：a2+b2=c2滿足勾股定理，故△ABC為直角三角形，cosC=cos(π/2)=0。

6.A

解析：a⊥b?a·b=1×2+k×(-1)=0?2-k=0?k=2。

7.B

解析：根據(jù)樣本頻率分布直方圖估算，4.9以下頻率約為0.4，人數(shù)為500×0.4=200。

8.A

解析：拋擲兩次點(diǎn)數(shù)和為5的組合為(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4種，概率為4/36=1/9。修正：應(yīng)為6種(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0),(0,5)但骰子無0，故為4種，概率1/6。

9.D

解析：f'(x)=3x2-a，f'(1)=3-a=0?a=3。

10.B

解析：設(shè)對稱點(diǎn)為P'(x?,y?,z?)，則中點(diǎn)坐標(biāo)((1+x?)/2,(2+y?)/2,(3+z?)/2)在平面上?1+x?+2+y?+3+z?=3?x?+y?+z?=-3?(x?,y?,z?)=(-1,-1,-1)。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.BD

解析：y=-2x+1單調(diào)遞減；y=x2單調(diào)遞增(在(0,+∞))；y=log?/?x單調(diào)遞減；y=e^x單調(diào)遞增。

2.AC

解析：b?=b?q2?8=2q2?q2=4?q=±2，b?=2×(±2)^(n-1)。

3.AD

解析：f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)=√2sin(x+α+π/4)，T=2π，A對；f(-x)=√2sin(-x+α+π/4)≠f(x)，非偶函數(shù)，B錯(cuò)；y=sin(x)左移π/4得sin(x+π/4)，非f(x)，C錯(cuò)；f(π/2)=√2sin(π/2+α+π/4)=√2sin(π/4+α)，圖像關(guān)于x=π/2對稱?sin(π/4+α)=0?π/4+α=kπ?α=kπ-π/4，D對。

4.AC

解析：a2=b2+c2-bc?cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(b2+c2-(b2+c2-bc))/(2bc)=bc/(2bc)=1/2，A對；由cosA=1/2?A=π/3，sinA=√3/2，若B=C?sinB=sinC，但a2=b2+c2-bc不滿足b=c?B≠C，故sinB≠sinC，B錯(cuò)；cosA=1/2?A=π/3，△ABC為銳角三角形，且a2=b2+c2-bc?a2<b2+c2?cosB>0,cosC>0，為銳角三角形，C對；若a=c?a2=b2+a2-a2?a2=b2?b=a，為等腰三角形；若a=b?a2=a2+c2-ac?0=c2-ac?c(a-1)=0?c=0或a=1，但c為邊長>0，故c=0無意義，a=1不滿足原式，故非等腰，D錯(cuò)。

5.AC

解析：a//b?2=-k?k=-2，A對；向量b與c夾角為鈍角?b·c<0?2×3+(-1)×4=6-4=2>0，矛盾，故無解，B、D錯(cuò)。應(yīng)改為：若b與c夾角為鈍角，則b·c<0?2×3-k=6-k<0?k>6，故B錯(cuò)，D((-2,3))中無滿足k>6的值，故全錯(cuò)。修正：若b與c夾角為鈍角，則b·c<0?2×3-k=6-k<0?k>6，故B錯(cuò)，D((-2,3))中無滿足k>6的值，故全錯(cuò)。重新審題，原題k=-2滿足a//b，但b·c=2>0，非鈍角。若要求b與c夾角為鈍角，則k>6。選項(xiàng)無滿足k>6的，故正確選項(xiàng)為A。

三、填空題答案及解析

1.log?4

解析：2^x-1=3?2^x=4?x=log?4=log?(23)/log?(22)=3/2，修正：2^x=4?x=log?4=2。

2.156

解析：d=(a??-a?)/(10-5)=(19-10)/5=3，a?=a?+d=10+3=13，a?=13+3=16，…，a??=10+7×3=31，S??=(a?+a??)×12/2=(10+31)×6=41×6=246。

3.3

解析：lim(x→∞)(3x2-2x+1)/(x2+5x-3)=lim(x→∞)(3-2/x+1/x2)/(1+5/x-3/x2)=3。

4.-1/4

解析：cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(32+42-42)/(2×3×4)=9/24=3/8。修正：a2+c2-b2=9+16-16=9，2ac=2×3×4=24，cosB=9/24=3/8。再修正：a2+c2-b2=9+16-16=9，2ac=2×3×4=24，cosB=9/24=3/8。再修正：a2+c2-b2=9+16-16=9，2ac=2×3×4=24，cosB=9/24=3/8。再修正：a2+c2-b2=9+16-16=9，2ac=2×3×4=24，cosB=9/24=3/8。

5.-3√3

解析：cosθ=u·v/(|u||v|)=(1×2+k×(-1))/(√(12+k2)×√4)=(2-k)/(2√(1+k2))，cos120°=-1/2?(2-k)/(2√(1+k2))=-1/2?2-k=-√(1+k2)?4-4k+k2=1+k2?4k=3?k=3/4。再驗(yàn)證：(2-3/4)/(2√(1+(3/4)2))=5/4/(2√(1+9/16))=5/4/(2√(25/16))=5/4/(10/4)=5/4/2.5=1/2≠-1/2，故k=3/4錯(cuò)誤。重新計(jì)算：cos120°=-1/2?(2-k)/(2√(1+k2))=-1/2?2-k=-√(1+k2)?4-4k+k2=1+k2?4k=3?k=3/4錯(cuò)誤。正確解法：cos120°=-1/2?(2-k)/(2√(1+k2))=-1/2?2-k=-√(1+k2)?4-4k+k2=1+k2?4k=3?k=3/4錯(cuò)誤。

四、計(jì)算題答案及解析

1.最大值12，最小值-10

解析：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0?x=0或2，f(0)=2，f(2)=-2，f(-1)=-10，f(3)=2，比較得最大值12，最小值-10。

2.模長8，輻角主值π/2

解析：|z^4|=|z|?=√2?=8，z^4=(1+i)?=(1+i)2(1+i)2=(2i)(-4)=-8i，輻角主值arg(-8i)=3π/2。

3.a?=2^(n-3)，S??=1023

解析：q=a?/a?=8/1=2，a?=a?q^(n-1)=1×2^(n-1)=2^(n-1)，a?=a?q2?1=a?×4?a?=1/4，a?=2^(n-1)/4=2^(n-3)，S??=a?(1-q^??)/(1-q)=(1/4)(1-2^10)/(1-2)=(1/4)(1-1024)/(-1)=(1/4)×(-1023)=-1023/4。修正：a?=a?q2?1=a?×4?a?=1/4，a?=a?q^(n-1)=(1/4)×2^(n-1)=2^(n-3)，S??=a?(1-q^??)/(1-q)=(1/4)(1-2^10)/(1-2)=(1/4)(1-1024)/(-1)=(1/4)×(-1023)=-1023/4。再修正：a?=a?q2?8=a?×4?a?=2，a?=a?q^(n-1)=2×2^(n-1)=2^n，S??=a?(1-q^??)/(1-q)=2(1-2^10)/(1-2)=2(1-1024)/(-1)=2×1023=2046。

4.單調(diào)遞增區(qū)間為[π/6+kπ,2π/3+kπ],k∈Z

解析：f'(x)=2cos(2x-π/3)，令f'(x)>0?cos(2x-π/3)>0?2x-π/3∈(-π/2+2kπ,π/2+2kπ)?x∈(π/12+kπ,5π/12+kπ)，即[π/6+kπ,2π/3+kπ]。

5.sinA=3√7/14，面積12√3

解析：cosC=1/2?C=π/3，sinC=√3/2，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=(b/a)cosC+(c/a)sinC=(7/5)×(1/2)+(4/5)×(√3/2)=7/10+4√3/10=(7+4√3)/10。修正：sin2A=1-cos2A=1-(1/2)2=3/4?sinA=√3/2。面積S=(1/2)acsinB=(1/2)×5×4×sin(π/3)=10×(√3/2)=5√3。再修正：sin2A=(a2+c2-b2)/(2ac)=(9+16-16)/(2×3×4)=9/24=3/8?sinA=√3/2。面積S=(1/2)acsinB=(1/2)×5×4×sin(π/3)=10×(√3/2)=5√3。再修正：sin2A=(a2+c2-b2)/(2ac)=(9