考研1994年數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=arcsin(x^2-x)的定義域是？

A.[-1,1]

B.[-∞,∞]

C.[0,1]

D.[-1,0]∪[0,1]

2.極限lim(x→0)(sinx/x)*(1/cosx)的值為？

A.0

B.1

C.∞

D.不存在

3.函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[0,3]上的最大值是？

A.0

B.2

C.3

D.5

4.若函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)，且f'(x0)=0，則f(x)在x0處？

A.必有極值

B.必無極值

C.可能有極值

D.無法確定

5.不定積分∫(x^2+1)dx的值為？

A.x^3/3+x+C

B.x^2/2+x+C

C.x^3/3+C

D.x^2/2+C

6.微分方程y'+y=0的通解是？

A.y=Ce^x

B.y=Ce^-x

C.y=Cx

D.y=C

7.級數(shù)∑(n=1to∞)(1/n^2)的和為？

A.1

B.π^2/6

C.π^2/12

D.∞

8.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的定積分為？

A.e-1

B.e+1

C.e^2-1

D.e^2+1

9.若向量a=(1,2,3)與向量b=(2,k,1)垂直，則k的值為？

A.1

B.2

C.3

D.4

10.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的轉(zhuǎn)置矩陣A^T為？

A.[[1,3],[2,4]]

B.[[2,4],[1,3]]

C.[[1,2],[3,4]]

D.[[4,3],[2,1]]

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,∞)上連續(xù)的有？

A.f(x)=1/(x-1)

B.f(x)=|x|

C.f(x)=tanx

D.f(x)=√(1-x^2)

2.若函數(shù)f(x)在點x0處二階可導(dǎo)，且f'(x0)=0,f''(x0)>0，則以下說法正確的有？

A.f(x)在x0處取得極大值

B.f(x)在x0處取得極小值

C.f(x)在x0處凹向上

D.f(x)在x0處凹向下

3.下列級數(shù)中，收斂的有？

A.∑(n=1to∞)(1/n)

B.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^2

C.∑(n=1to∞)(1/√n)

D.∑(n=1to∞)(1/n^3)

4.下列函數(shù)中，在區(qū)間[0,1]上可積的有？

A.f(x)=1/x

B.f(x)=sinx

C.f(x)=|x|

D.f(x)=x^2

5.下列說法正確的有？

A.若向量a與向量b平行，則存在非零實數(shù)k，使得a=kb

B.若向量a與向量b垂直，則a·b=0

C.向量a·a=|a|^2

D.向量a×b=0的充要條件是a與b共線

三、填空題（每題4分，共20分）

1.極限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)的值為_______。

2.函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2的導(dǎo)函數(shù)f'(x)為_______。

3.不定積分∫(2x+1)dx的值為_______。

4.微分方程y'-y=0的通解是_______。

5.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的行列式det(A)的值為_______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算極限lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2。

2.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2的極值點及對應(yīng)的極值。

3.計算定積分∫(from0to1)(x^2+x)dx。

4.求解微分方程y'+2xy=x。

5.計算矩陣A=[[1,2],[3,4]]的逆矩陣A^(-1)（若存在）。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.C

2.B

3.B

4.C

5.B

6.B

7.B

8.A

9.B

10.A

二、多項選擇題答案

1.B,D

2.B,C

3.B,D

4.B,C,D

5.A,B,C

三、填空題答案

1.4

2.3x^2-6x

3.x^2+x+C

4.Ce^x

5.-2

四、計算題答案及過程

1.解：lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2=lim(x→0)[(e^x-1-x)/x^2]*[x/(e^x-1)]*[(e^x-1)/x]

=lim(x→0)[x/(e^x-1)]*lim(x→0)[(e^x-1-x)/x]

=1*lim(x→0)[(e^x-1)/x-1]=1*[lim(x→0)(e^x-1)/x-lim(x→0)1]

=1*[1-1]=0

2.解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)

令f'(x)=0，得x=0或x=2

f''(x)=6x-6

f''(0)=-6<0，故x=0為極大值點，極大值為f(0)=2

f''(2)=6>0，故x=2為極小值點，極小值為f(2)=-2

3.解：∫(from0to1)(x^2+x)dx=[x^3/3+x^2/2](from0to1)

=(1/3+1/2)-(0+0)=5/6

4.解：此為一階線性微分方程，標準形式為y'+p(x)y=q(x)

其中p(x)=2x,q(x)=x

通解為y=e^[-∫p(x)dx]*[∫q(x)e^∫p(x)dxdx+C]

=e^[-∫2xdx]*[∫xe^∫2xdxdx+C]

=e^[-x^2]*[∫xe^x^2dx+C]

令u=x^2,du=2xdx

=e^[-x^2]*[(1/2)∫e^udu+C]

=e^[-x^2]*[(1/2)e^u+C]

=e^[-x^2]*[(1/2)e^x^2+C]

=(1/2)+Ce^[-x^2]

5.解：計算行列式det(A)=(1)(4)-(2)(3)=4-6=-2≠0

故矩陣A可逆。

計算伴隨矩陣adj(A)=[[4,-2],[-3,1]]

A^(-1)=(1/det(A))*adj(A)=(1/-2)*[[4,-2],[-3,1]]

=[[-2,1],[3/2,-1/2]]

知識點總結(jié)

本試卷主要涵蓋高等數(shù)學(xué)中的極限、連續(xù)性、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、級數(shù)、微分方程、向量代數(shù)與空間解析幾何、線性代數(shù)初步等基礎(chǔ)知識點。

一、選擇題所考察知識點

1.函數(shù)的定義域：涉及基本初等函數(shù)的性質(zhì)。

2.極限的計算：涉及基本極限公式、無窮小量的性質(zhì)。

3.函數(shù)的極值：涉及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)判斷極值。

4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義：涉及導(dǎo)數(shù)的概念及其應(yīng)用。

5.不定積分的計算：涉及基本積分公式。

6.一階線性微分方程的解法：涉及微分方程的基本概念與解法。

7.數(shù)項級數(shù)的斂散性：涉及p-級數(shù)、交錯級數(shù)的斂散性判別。

8.定積分的計算：涉及定積分的基本概念與計算。

9.向量的數(shù)量積：涉及向量代數(shù)的基本運算。

10.矩陣的轉(zhuǎn)置：涉及矩陣的基本運算。

11.函數(shù)的連續(xù)性：涉及連續(xù)性的概念與判定。

12.函數(shù)的凹凸性：涉及二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

13.向量的平行與垂直：涉及向量代數(shù)的基本性質(zhì)。

14.矩陣的行列式：涉及行列式的計算。

二、多項選擇題所考察知識點

1.函數(shù)的連續(xù)性：涉及連續(xù)性的概念與判定，特別是分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性。

2.函數(shù)的極值：涉及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)判斷極值，以及極值與單調(diào)性的關(guān)系。

3.數(shù)項級數(shù)的斂散性：涉及p-級數(shù)、交錯級數(shù)的斂散性判別，以及正項級數(shù)的比較判別法。

4.定積分的存在性：涉及定積分的基本概念，以及被積函數(shù)的性質(zhì)。

5.向量與矩陣的基本性質(zhì)：涉及向量代數(shù)與線性代數(shù)的基本概念與性質(zhì)。

三、填空題所考察知識點

1.極限的計算：涉及基本極限公式、無窮小量的性質(zhì)。

2.導(dǎo)數(shù)的計算：涉及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

3.不定積分的計算：涉及基本積分公式。

4.一階線性微分方程的解法：涉及微分方程的基本概念與解法。

5.矩陣的行列式：涉及行列式的計算。

四、計算題所考察知識點

1.極限的計算：涉及洛必達法則、泰勒公式等高級極限計算方法。

2.函數(shù)的極值：涉及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)判斷極值，以及極值與單調(diào)性的關(guān)系。

3.定積分的計算：涉及定積分的基本概念與計算，以及定積分的應(yīng)用。

4.一階線性微分方程的解法：涉及微分方程的基本概念與解法，特別是積分因子的應(yīng)用。

5.矩陣的逆矩陣：涉及行列式、伴隨矩陣等線性代數(shù)的基本概念與運算。

各題型所考察學(xué)生的知識點詳解及示例

一、選擇題

1.函數(shù)的定義域：考察學(xué)生對基本初等函數(shù)性質(zhì)的理解，例如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的定義域。

示例：f(x)=√(1-x^2)的定義域為[-1,1]。

2.極限的計算：考察學(xué)生對基本極限公式、無窮小量的性質(zhì)的理解，例如lim(x→0)sinx/x=1。

示例：計算lim(x→0)(sin2x)/x。

3.函數(shù)的極值：考察學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)判斷極值的能力。

示例：求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2的極值點及對應(yīng)的極值。

4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義：考察學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念的理解，例如導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點處的切線斜率。

示例：函數(shù)f(x)=x^2在x=1處的導(dǎo)數(shù)表示曲線在點(1,1)處的切線斜率。

5.不定積分的計算：考察學(xué)生對基本積分公式掌握程度。

示例：計算∫(x^2+1)dx。

6.一階線性微分方程的解法：考察學(xué)生利用積分因子解一階線性微分方程的能力。

示例：求解微分方程y'+y=x。

7.數(shù)項級數(shù)的斂散性：考察學(xué)生對數(shù)項級數(shù)斂散性判別法的掌握程度。

示例：判斷級數(shù)∑(n=1to∞)(1/n^2)的斂散性。

8.定積分的計算：考察學(xué)生對定積分基本概念與計算方法的掌握程度。

示例：計算定積分∫(from0to1)x^2dx。

9.向量的數(shù)量積：考察學(xué)生對向量代數(shù)基本運算的掌握程度。

示例：計算向量a=(1,2)與向量b=(3,4)的數(shù)量積。

10.矩陣的轉(zhuǎn)置：考察學(xué)生對矩陣基本運算的掌握程度。

示例：求矩陣A=[[1,2],[3,4]]的轉(zhuǎn)置矩陣A^T。

11.函數(shù)的連續(xù)性：考察學(xué)生對連續(xù)性概念與判定方法的理解。

示例：判斷函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的連續(xù)性。

12.函數(shù)的凹凸性：考察學(xué)生利用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)凹凸性的能力。

示例：判斷函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[0,3]上的凹凸性。

13.向量的平行與垂直：考察學(xué)生對向量代數(shù)基本性質(zhì)的理解。

示例：判斷向量a=(1,2)與向量b=(2,4)是否平行。

14.矩陣的行列式：考察學(xué)生對行列式計算方法的掌握程度。

示例：計算矩陣A=[[1,2],[3,4]]的行列式det(A)。

二、多項選擇題

1.函數(shù)的連續(xù)性：考察學(xué)生對連續(xù)性概念與判定方法的理解，特別是分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性。

示例：判斷函數(shù)f(x)={x^2,x≤1;2-x,x>1}在x=1處的連續(xù)性。

2.函數(shù)的極值：考察學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)判斷極值的能力，以及極值與單調(diào)性的關(guān)系。

示例：判斷函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[0,3]上的極值點。

3.數(shù)項級數(shù)的斂散性：考察學(xué)生對數(shù)項級數(shù)斂散性判別法的掌握程度。

示例：判斷級數(shù)∑(n=1to∞)(-1)^n/(n+1)的斂散性。

4.定積分的存在性：考察學(xué)生對定積分基本概念的理解，以及被積函數(shù)的性質(zhì)。

示例：判斷函數(shù)f(x)=1/(x-1)在區(qū)間[0,2]上的定積分是否存在。

5.向量與矩陣的基本性質(zhì)：考察學(xué)生對向量代數(shù)與線性代數(shù)基本概念與性質(zhì)的理解。

示例：判斷向量a=(1,2,3)與向量b=(2,4,6)是否垂直。

三、填空題

1.極限的計算：考察學(xué)生對基本極限公式、無窮小量的性質(zhì)的理解。

示例：計算lim(x→0)(sinx)/x。

2.導(dǎo)數(shù)的計算：考察學(xué)生對基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式掌握程度。

示例：計