專題05平行線中三角尺綜合運(yùn)用

1.⑵）23秋?天山區(qū)校級(jí)期末）把一塊直尺與一塊三角板如圖放置，若Nl=38'，

則N2的度數(shù)是（）

A.128°B.138°C.142°D.152°

2.（2023秋?和平區(qū)校級(jí)期末）將直尺和三角板按如圖所示的位置放置.若N1

3.（2023秋?通川區(qū)期末）已知直線〃?〃〃，將一塊含30°角的直角三角板AB期

按如圖所示方式放置，其中A、8兩點(diǎn)分別落在直線〃2、〃上，若Nl=35'，

則N2的度數(shù)是（）

A.45°B.35°C.30°D.25°

4.（2023秋?長(zhǎng)清區(qū)期末）如圖，直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直線力上，且

Nl=55°,則/2的度數(shù)為（）

A.35°B.45°C.55°D.25°

5.⑵）23秋?丹東期末）若將一副三角板按如圖所示的方式放置，則下列結(jié)論正

確的是（）

A.Z1=Z2B.如果N2=30°,AC//DE

C.如果N2=45°,則有N4=NOD.如果N2=50°,MWBC//AE

6.（2023?定遠(yuǎn)縣模擬）將一副三角板按如圖所示放置，則下列結(jié)論:

①N1=N3；

②如果N2=30°,則有AC〃。后

③如果N2=30°,則有8C〃AO；

④如果N2=30°，必有N4=NC.

D.①②③④

7.（2023春?秦淮區(qū)校級(jí)月考）已知直線a//b,將一塊含30°角的直角三角板（N

84c=30°,乙4c6=90°）按如圖所示的方式放置，并且頂點(diǎn)A,C分別落

在直線小人上，若Nl=22°.則N2的度數(shù)是（）

A.38°B.45°C.52°D.58°

8.（2023春?龍崗區(qū)校級(jí)期中）一副直角三角板如圖放置（ZF=ZACB=90°,

ZE=45°,NA=60°）,如果點(diǎn)。在尸。的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)B在。E上，且

AB//CF,則NO8C的度數(shù)為（）

A.10°B.15°C.18°D.30°

9.（2023春?寧陽縣期末）將含30°角的一個(gè)直角三角板和一把直尺如圖放置,

若Nl=50°,則N2等于（）

10.（2023春?羅莊區(qū)期末）將直角三角板按照如圖方式擺放，直線?！ā?，/1=

136°,則N2的度數(shù)為（）

A.44°B.45°C.46°D.56°

11.（2023春?鹽田區(qū)校級(jí)期中）如圖，〃?〃〃〃/,一塊三角板按圖所示擺放，則

下列結(jié)論正確的有（)

方式擺放，若/2=40°,則N1的度數(shù)為()

16.(2023秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末)同學(xué)們以“一塊直角三角板和一把直尺”開展數(shù)

學(xué)活動(dòng)，提出了很多數(shù)學(xué)問題，請(qǐng)你解答：

(1)如圖1,Na和N0具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

(2)如圖2,NDFC的平分線與NEGC的平分線相交于點(diǎn)Q,求NFQG的

大小.

17.(2023秋?渝中區(qū)校級(jí)期末)已知，AB〃CD,直線FE交AB于點(diǎn)、E,交CO

于點(diǎn)尸，點(diǎn)M在線段E/上，過M作射線MRMP分別交射線A8、CD于點(diǎn)

N、Q.

(1)如圖1,當(dāng)MR_LMP時(shí)，求NMNB+NMQO的度數(shù)；

(2)如圖2,若ND。尸和NMNB的角平分線交于點(diǎn)G,求NNMQ和NNGQ

的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖3,當(dāng)MR_LMP,且NE尸。=60°,/EMR=20°時(shí)，作NMN8的

角平分線NG.把一三角板OK/的直角頂點(diǎn)O置于點(diǎn)M處，兩直角邊分別與

MR和重合，將其繞點(diǎn)O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，速度為5°每秒，當(dāng)O/落在Mb

上時(shí)，三角板改為以相同速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).三角板開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)N3NG繞

點(diǎn)N以3°每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)中的N8NG為N8NG,當(dāng)NG和

NA重合時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒，當(dāng)N8NG的一邊和三角板的

一直角邊互相平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出，的值.

18.（2023秋?景德鎮(zhèn)期末）含30度角的直角三角板和直尺按如圖所示方式放置,

直尺與三角板的外圍邊緣分別交于4,B,C,。四點(diǎn).

（1）若N3=95°,試求N2的大小.

（2）Z1與N2的和是否的定值，若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值,

請(qǐng)說明理由.

19.（2023春?順德區(qū)校級(jí)月考）如圖I,把一塊含30°的直角三角板A8C的

邊放置于長(zhǎng)方形直尺DEFG的EF邊上.

（1）填空：Z1=°,Z2=°

（2）如圖2,現(xiàn)把三角板繞8點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)0V〃V90,且點(diǎn)。恰好

落在OG邊上時(shí)，

①請(qǐng)直接寫出Nl=°,/2=。（結(jié)果用含〃的代數(shù)式表示）；

②若N2恰好是N1的'倍，求〃的值.

3

（3）如圖1三角板A8C的放置，現(xiàn)將射線8F繞點(diǎn)8以每秒2°的轉(zhuǎn)速逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)得到射線同時(shí)射線

Q4繞點(diǎn)Q以每秒3°的轉(zhuǎn)速順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線QM當(dāng)射線QN旋轉(zhuǎn)至與

重合時(shí)，則射線BM、QN

均停止轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為，（§）.

①在旋轉(zhuǎn)過程中，若射線與射線QN相交，設(shè)交點(diǎn)為P.當(dāng)f=20（s）時(shí)，

則NQP8=0

②在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在8M〃QN.若存在，求出此時(shí)，的值；若不存在，

請(qǐng)說明理由.

A

AA

D

E

（圖2）

20.(2023?南譙區(qū)校級(jí)開學(xué))如圖，將一副直角三角板放在同一條直線A8上,

其中NONM=30°,NOCO=45°.

(1)將圖①中的三角板OMN沿B4方向平移至圖②的位置，MN與CD相交

于點(diǎn)E,求NCEN的度數(shù)；

(2)將圖①中的三用板OWN繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使NBON=30,，

如圖③，MN與。。相交于點(diǎn)￡求NCEN的度數(shù)；

(3)將圖①中的三角尺CO。繞點(diǎn)。按每秒15°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一

周，在旋轉(zhuǎn)過程中，在第幾秒時(shí)，MN恰好與CO平行；第幾秒時(shí)，MN恰好

與直線CO垂直.

21.(2023春?新羅區(qū)期中)如圖1,直線DE上有一點(diǎn)。，過點(diǎn)O在直線OE上

方作射線OC.將一直角三角板AOB(ZOAB=30°)的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。

處，一條直角邊04在射線上，另一邊OB在直線QE上方.將直角三角

板繞著點(diǎn)O按每秒2()°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為，秒.

(1)當(dāng)直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，恰好平分NCOO,此時(shí)，Z

80C與/80E之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由;

（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線。。的位置保持不變，且/。。￡=140°.

①當(dāng)邊/W與射線相交時(shí)（如圖3）,則NAOC-N80E的值為

②當(dāng)邊A3所在的直線與0C平行時(shí)，求，的值.

22.（2023春?岳陽期末）如圖，已知NOC/和/ECb互為鄰補(bǔ)角，ZDCF=a

（0<a<90°）,將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)C處（注：ZACB=90°,Z

ABC=60°）.

（1）如圖1,使三角板的短直角邊與射線CO重合，若a=40°,則NACR

(2)如圖2,將圖1中的三角板AB。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,試判斷此時(shí)

A3與。E的位置關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖3,將圖1中的三角板48C繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)p(0<p<90°),

使得NACE=*NBCR此時(shí)a和0滿足什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

(4)將圖1中的三角板繞點(diǎn)C以每秒5°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在

旋轉(zhuǎn)的過程中，笫，秒時(shí)，AC恰好與直線重合，求，的值(用含a的式

子表示).

23.(2023春?平南縣期末)如圖已知NMON=a(0°<a<90°),有一塊三角

板ABC,其中NACB=90°,ZBAC=30°,現(xiàn)將該三角板如圖所示放置，

使頂點(diǎn)B始終落在。N上，過點(diǎn)A作。4〃ON交OM于點(diǎn)E.

(1)如圖1,若BC〃OM,ZCAD=40°,請(qǐng)求出a的大小;

(2)若NBAE的平分線A尸交ON于點(diǎn)P；

①如圖2,當(dāng)A尸〃OM,且a=60°時(shí)，請(qǐng)說明：BC//OM；

②如圖3,將三角板A8C沿直線ON從左往右平移，且在平移的過程中，始

終保持8C〃OM不變，請(qǐng)?zhí)骄縉O%與a之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你的

結(jié)論.

24.(2023春?莆田期末)李想是一位善于思考的學(xué)生，在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，他

將一塊含有60°的直角三角板擺放在一組平行線上展開探究.已知直線EF

//GH,直角三角板A8C中，ZACB=90°,ZCAB=60°，點(diǎn)C為直線E/7

上一定點(diǎn).將直角三角板A8C繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A在直線GH上時(shí)，點(diǎn)8也

恰好在直線G"匕

(1)如圖1,求NECB的度數(shù)；

(2)如圖2,若點(diǎn)A在直線EF上方，點(diǎn)B在GH下方,BC與GH交于點(diǎn)Q,

作NACE的角平分線并反向延長(zhǎng)與NC?！钡慕瞧椒志€交于點(diǎn)0.在直角三角

板ABC繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，NO的度數(shù)是否保持不變？若不變，求出NO

的度數(shù)；否則，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖3,直角三角板ABC繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)，若點(diǎn)A在直線EE,GH之間(不

含EF,GH工)，點(diǎn),B在GH下方,AB,分別與G"交于點(diǎn)P,Q.設(shè)/

FCB=n0,是否存在正整數(shù)機(jī)和〃，使得若存在，請(qǐng)求出

〃，和〃的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

25.(2023春?岳池縣期中)已知在三角板ABC中，ZBAC=60°,NB=30°,

NC=90°,在長(zhǎng)方形OE9G中，

DEIIGF.如圖①，若將三角板ABC的頂點(diǎn)A放在長(zhǎng)方形的邊G/7上，AB1.

DE于點(diǎn)、N,3C與OE相交于點(diǎn)M,則NEMC的度數(shù)是多少呢？若過點(diǎn)。作

CHIIGF,則CHII這樣就將NC4F轉(zhuǎn)化為NEMC轉(zhuǎn)化為/MCH,

從而可以求得NEMC的度數(shù).

（1）請(qǐng)你直接寫出：ZCAF=°,NEMC=°；

（2）若將三角板A8C按圖②所示方式擺放（A8與0E不垂直），請(qǐng)你猜想/

EWC與NCAb的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）請(qǐng)?jiān)趫D②中探究N54G與N5MO有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

26.（2023秋?南崗區(qū)校級(jí)期末）己知：直線AB//CD,一塊三角板其中

NEFH=90°,ZE77F=60°.

（1）如圖1,三角板的頂點(diǎn)”落在直線CD上，并使E”與直線AB相

交于點(diǎn)G,若N2=2N1,求N1的度數(shù)；

(2)如圖2,當(dāng)三箱板EFH的頂點(diǎn)廠落在直線AB上，且頂點(diǎn)H仍在直線

C。上時(shí)，E/與直線。。相交于點(diǎn)M,試確定/￡、ZAFE.NMHE的數(shù)量關(guān)

系；

(3)如圖3,當(dāng)三角板七廠”的頂點(diǎn)尸落在直線上，頂點(diǎn)”在43、CD之

間，而頂點(diǎn)E恰好落在直線CD上時(shí)得在線段EH上取點(diǎn)P,連接

FP并延長(zhǎng)交直線CD于點(diǎn)7,在線段正歹上取點(diǎn)K,連接PK并延長(zhǎng)交NCEH

的角平分線于點(diǎn)Q，若NQ-NHFT=15°,且NEFr=NETF,求證：PQ//

FH.

圖2

圖1圖3

27.(2023秋?王益區(qū)期末)己知：ZAOB=a(0°<a<90°),一塊三角板CDE

中，ZCED=90°,ZCDE=30°,將三角板COE如圖所示放置，使頂點(diǎn)C

落在OB邊上，經(jīng)過點(diǎn)D作直線MN//OB交OA邊于點(diǎn)M,且點(diǎn)M在點(diǎn)D

的左側(cè).

(1)如圖，若CE〃OA,NNDE=45°,則a=°；

(2)若/MOC的平分線。尸交。3邊于點(diǎn)F,

①如圖，當(dāng)。/〃。4,且a=60°時(shí)，試說明：CE〃OA；

②如圖，當(dāng)C七〃。4保持不變時(shí)，試求出NO"。與a之間的數(shù)量關(guān)系.

28.(2023春?睢陽區(qū)期末)問題情境:

我們知道，“如果兩條平行被第三條直線所截，所截得的同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角

相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，所以在某些探究性度量中通過“構(gòu)造平行線”可以起

到轉(zhuǎn)化角的作用.

己知三角板ABC中，NBAC=60°,NB=30°,NC=90°,長(zhǎng)方形DEFG

中，DE//GF.

問題初探：

如圖(1),若將三角板ABC的頂點(diǎn)A放在長(zhǎng)方形的邊G/上，8c與相交

于點(diǎn)M,ABLDE于點(diǎn)N.則NEMC的度數(shù)是多少呢？若過點(diǎn)C作CH〃GF,

WCH//DEf這樣就將NC4/轉(zhuǎn)化為N"CA,NEMC轉(zhuǎn)化為NMC”,從而可

以求得NEMC的度數(shù)為….

(1)請(qǐng)你直接寫出：ZCAF=°,NEMC=°.

類比再探：

(2)若將三角板4BC按圖(2)所示方式擺放(48與OE不垂直)，請(qǐng)你猜

想NEMC與NC4/7的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

方法遷移：

(3)請(qǐng)你總結(jié)(1),(2)解決問題的思路，在圖(2)中探究NBAG與

的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

圖⑴圖Q)

29.(2023春?南開區(qū)校級(jí)月考)如圖1,點(diǎn)8,點(diǎn)。分別在線段AD、線段MN

上，且NNCE+NCEB-NABE=180°.

(1)求證：AD//MN；

(2)如圖2,把一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)C處，三角板直角邊在射線CL

CG上，其中CG平分BF平分NDBE,交C/于點(diǎn)F,當(dāng)NC￡B=80°

時(shí)，求NCT8的度數(shù)，寫出推導(dǎo)過程;

（3）在（2）的條件下，如圖3,過點(diǎn)￡作E/7/78F,交CG于點(diǎn)、H,當(dāng)/CHE

=a,NBFI=B，請(qǐng)直接寫出a和0的關(guān)系式.

D.

圖1

30.（2023春?海陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線。M_LOM垂足為。，三角板的直

角頂點(diǎn)。落在NMON的內(nèi)部，三角板的另兩條直角邊分別與ON、OM交于

點(diǎn)。和點(diǎn)&

(2)如圖1：若。E平分NOOC,BF平分NCBM,求證：DELBF：

(3)如圖2：若BF、QG分別平分NC8M、NNDC,判斷8尸與QG的位置

關(guān)系，并說明理由.

專題05平行線中三角尺綜合運(yùn)用

亞敦森觀

1.（2023秋?天山區(qū)校級(jí)期末）把一塊直尺與一塊三角板如圖放置，若Nl=38'，

則N2的度數(shù)是（）

C.142°D.152°

答案:A

【解答】解:IN1=38°,

???N3=90°-Zl=90°-38°=52°,

??,直尺的兩邊互相平行,

???/3=/4=52°

.?.Z2=180°-52°=128°,

故選：A.

2.（2023秋?和平區(qū)校級(jí)期末）將直尺和三角板按如圖所示的位置放置.若/I

=40°,則N2度數(shù)是（）

A.60°B.40°C.8()°D.70°

答案:C

【解答】解：如圖，根據(jù)題意可知NA為直角，直尺的兩條邊平行,

c

9：a//b,

：.Z\=ZCDA=40°,

VZB=30°,

:?/CDA=/B+/BAD,

：.ZBAD=ZCDA-ZB=10°,

AZ2=90°-Zl=90°-10°=80°,

故選：C.

3.（2023秋?通川區(qū)期末）已知直線〃?〃〃，將一塊含30°角的直角三角板A3期

按如圖所示方式放置，其中4、8兩點(diǎn)分別落在直線〃?、〃上，若/1=35'，

則N2的度數(shù)是（）

A.45°B.35°C.30°D.25°

答案:D

【解答】解：

m//n

???N3=N1=35°,

VZ2+Z3=60°,

：.Z2=60°-35°=25°.

故選：D.

4.（2023秋?長(zhǎng)清區(qū)期末）如圖，直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直線〃上，且?！▋?/p>

Nl=55°,則N2的度數(shù)為（）

A.35°B.45°C.55°D.25°

答案:A

【解答】解：Zl=55°,

.?.Z3=Z1=55°,

??.N2=9()°-Z3=90°-55°=35°.

5.（2023秋?丹東期末）若將一副三角板按如圖所示的方式放置，則下列結(jié)論正

確的是（）

A.Z1=Z2B.如果N2=30°,則有

C.如果N2=45°,則有/4=N。D.如果N2=50°,則有8C〃AE

答案:B

【解答】解：9：ZCAB=ZDAE=90°,

???N1=N3,故A錯(cuò)誤.

VZ2=30°,

/.Z1=Z3=6O°

/.ZCAE=90°+605=150°,

AZE+ZCAE=180°,

：.AC//DE,故8正確，

VZ2=45°,

/.Z1=Z2=Z3=45°,

*//E+/3=//?+/4,

AZ4=30°,

VZD=60°,

/.Z4^ZD,故C錯(cuò)誤，

VZ2=50°,

/.Z3=40°,

???N8KN3,

???BC不平行AE,故。錯(cuò)誤.

故選：B.

6.（2023?定遠(yuǎn)縣模擬）將一副三角板按如圖所示放置，則下列結(jié)論:

①N1=N3；

②如果N2=30°,則1tMe〃/）E；

③如果N2=30°,則有8C〃4Q；

④如果N2=30°，必有N4=NC.

其中正確的有（)

D.①②③④

答案:B

【解答】解：???NC48=/￡4O=90°,

：.Z\=ZCAB-Z2,Z3=ZEAD-Z2,

/.Z1=Z3.

???①符合題意.

VZ2=30°,

AZ1=90°-30°=60°,

VZE=60°,

AZ1=ZE,

：.AC//DE.

J②符合題意.

VZ2=30°,

.".Z3=90°-30°=60°,

VZB=45°,

???8C不平行于4）.

?二③不符合題意.

由②得AC〃。石.

???Z4=ZC.

???④符合題意.

故選：B.

7.（2023春?秦淮區(qū)校級(jí)月考）已知直線a//b,將一塊含30°角的直角三角板（N

84c=30°,乙4C8=90°）按如圖所示的方式放置，并且頂點(diǎn)A,C分別落

在直線。，方上，若Nl=22°.則N2的度數(shù)是（）

A.38°B.45°C.52°D.58°

答案:C

【解答】解:如圖：

―4----------------―

?.?N1=22°,/胡。=30°,

AZDAC=Z\+ZBAC=52",

??,直線4〃4

：.Z2=ZDAC=52a,

故選：C.

8.（2023春?龍崗區(qū)校級(jí)期中）一副直角三角板如圖放置（ZF=Z^CB=90°,

NE=45°,ZA=60°）,如果點(diǎn)。在尸。的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)B在。E上，且

AB//CF,則NOBC的度數(shù)為（）

A.10°B.15°C.18°D.30°

答案:B

【解答】W：VAB//CF,

AZABD=ZEDF=45°,

VZABC=30°,

/.ZDBC=ZABD-ZABC=\5°,

故選：B.

9.（2023春?寧陽縣期末）將含30°角的一個(gè)直角三角板和一把直尺如圖放置,

若Nl=50°,則N2等于（）

答案:C

9：AB//CD

：.ZABE=Z\=50°,

又???/2是△ABE的外的，

：.Z2=ZABE+ZE=500+60°=110°,

故選：C.

1（）.（2023春?羅莊區(qū)期末）將直角三角板按照如圖方式擺放，直線?！?Zl=

136°,則N2的度數(shù)為（）

A.44°B.45°C.46°D.56°

答案:C

【解答】解：延長(zhǎng)48交直線Z?于點(diǎn)M,如圖,

?:a〃b,Zl=136°,

???NAMO=N1=136°,

???ZAMD是ABCM的外角，

，ZAMD=N2+/C8M,

/.Z2=ZAMD-/CBM=46°.

故選：C.

11.（2023春?鹽田區(qū)校級(jí)期中）如圖，6〃〃〃/,一塊二角板按圖所示擺放,則

下列結(jié)論正確的有（）

①Nl+N2=90°；②劣+人二〃@Z5+Z6-Z1=9O0；④N5+N6=N

2+2Z4.

vn

__________5AX2[

A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④

答案:D

【解答】解：如圖,

由題意可知：Z3=3O°,Z6=60°,Z4+Z7=90°,

m//n,

AZ1=Z4,

???/〃〃，

r.Z2=Z7,

VZ4+Z7=90°,

AZ1+Z2=9O°,故①正確;

???/〃〃，

AZ5=Z8,

VZ8=Z3+Z4,

，N5=N3+N4,故②正確；

VZ1+Z2=9O°,Z5+Z6=180°-Z2,

AZ5+Z6-Zl=90°,故③正確；

V/2=/7,/4+77=90°,

AZ2+Z4=90°,

???2(Z2+Z4)=180°,

VZ5+Z6=180°-Z2,

???N5+N6=2(N2+N4)-Z2,

即N5+N6=N2+2/4,故④正確.

所以正確的結(jié)論有：①②③④.

故選：

12.(2023春?蜀山區(qū)期末)將一副直角三角板按如圖所示的方式疊放在一起，若

AC//DE,則NBCE的度數(shù)為()

A.65°B.70°C.75°D.80°

答案:C

【解答】解：,:ACUDE,

：.ZACD=ZD=3Q°,

VZACB=45Q,

工/BCD=ZACB-ZACD=15°,

：?/BCE=/DCE?/BCD=900-15°=75°,

即C選項(xiàng)正確，

故選：c.

13.（2023?深圳）一副三角板如圖所示放置，斜邊平行，則N1的度數(shù)為（）

答案:C

【解答】解：如圖，N4C8=45°,ZF=30°,

*：BC//EFf

：.ZDCB=ZF=30°,

r.Zl=45°-30°=15°,

故選：C.

14.（2023春?玄武區(qū)期末）將兩個(gè)形狀相同，大小不同的三角板按如圖所示方式

放置，C是公共頂點(diǎn)，且NACB=N4=90°,ZB=ZB,=60°.對(duì)于下

列三個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論有（）

①Nl+NAC8=180°；②N8D4?Nl=90°；③如果/1=30。，那么AB

//CB'.

A.①②B.②③C.①③D.①②③

答案:D

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)F,

根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得：ZFCB，+NACB』1080.

根據(jù)同角的余角相等得：/FCB=/1,

所以有N1+NAC8=18O°,

故①正確.

由“8”字形可得：NA'D4+NA'=NA+NA'CA,

/.180°-ZB'DA+30°=90°-Zl+30°,

：.ZB'DA-Zl=90°,

故②正確.

如果N1=30°,貝IJN8C8'=60°=ZB.

：.AB//CB\

故③正確.

故選：D.

15.（2023?南召縣模擬）將一塊含30°角的直角二角板和一把直尺按如圖所示的

答案:A

?JAC//OB,Z2=40°,

???NAOB=N2=40',

又NAOC=30°,

AZ1=ZAOB-ZAOC=40°-30°=10°.

故選：A.

16.(2023秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末)同學(xué)們以“一塊直角三角板和一把直尺”開展數(shù)

學(xué)活動(dòng)，提出了很多數(shù)學(xué)問題，請(qǐng)你解答：

(1)如圖1,Na和N0具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

(2)如圖2,NOFC的平分線與NEGC的平分線相交于點(diǎn)。，求N/QG的

大小.

【解答】解：(1)如圖1,延長(zhǎng)AM交￡G于M.

Zp+Za=90°,理由如下：

由題意知：DF//EG,NAC8=90°.

???Na=NGMC,NACB=NGMC+/CGM=90°.

YNEGB和NCGM是對(duì)頂角，

???NB=NCGM.

AZp+Za=90°.

(2)如圖2,延長(zhǎng)AC交EG于N.

由題意知：DF//EN,NACB=90°.

，N1=NGNC,/CGN+/GNC=9G.

：.Z\+ZCGN=90°.

:。/平分NQbC,

AZQFC=1ZDFC=1(180°-Zl)=90°-Izi,ZGQC=90°-lz

2222

CGN

同理可得：ZGQC=90°--IZCG/V,

???四邊形QPCG的內(nèi)角和等于360°.

：.ZFQG=360°-ZQFC-ZQGC-ZACB=360°-(90°-Izi)-(90°

?2/CGN)-90°.

2

/.ZF(7G=135°.

17.(2023秋?渝中區(qū)校級(jí)期末)已知，AB//CD,直線正交A3于點(diǎn)￡,交CD

于點(diǎn)F,點(diǎn)M在線段EF上，過M作射線MR、MP分別交射線A8、CO于點(diǎn)

N、Q.

(1)如圖1,當(dāng)時(shí)，求/MNB+NMQO的度數(shù)；

(2)如圖2,若NO。。和NMN8的角平分線交于點(diǎn)G,求NNMQ和NNG。

的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖3,當(dāng)且NEFO=6()°,/EMR=2()°時(shí)，作NMA歸的

角平分線NG.把一三角板OA7的直角頂點(diǎn)。置于點(diǎn)M處，兩直角邊分別與

和MP重合，將其繞點(diǎn)。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，速度為5°每秒，當(dāng)0/落在Mb

上時(shí)，三角板改為以相同速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).三角板開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)N8NG繞

點(diǎn)、N以3°每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)中的NBNG為NBWG,當(dāng)NG和

N4重合時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒，當(dāng)N8NG的一邊和三角板的

一直角邊互相平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出，的值.

AMB

D

ffll

如圖:

:./BMN+/NMH=\80°,

,:AB〃CD,

:?MH〃CD,

???N"M2+NMQO=180°,

:./BMN+ZNMH+/HMQ+/MQD=360°,

???MR_LMP,

AZWg=90°,

:?/MNB+/MQD=270。；

(2)過點(diǎn)M作過點(diǎn)G作GL〃/W,如圖:

設(shè)NBNG=x,則NBMW=2x,

,:MH〃AB,

：.ZNMH=\S00-2x,

設(shè)NOQG=y,則NQ0P=2y,

\*AB//CD,

C.GL//CD,

：./QGL=x,

：./NGQ=/NGL-ZQGL=x-)，，ZHMQ=ZDQP=2yf

：.ZNMQ=ZNMH^-ZHMQ=180°-2x+2)，=180°-2(x-y),

???NNMQ=1800-2NNGQ；

(3)①若。/〃NG,則N/ON+NONG=180°,

0/到達(dá)M尸前,如圖,

???N/ON=5°什90°,/ONG=/ONG-/GNG=140°-70°-3°6

/.5°r+90°+(140°-70°-3°/)=180°,

解得￡=10;

。/返回時(shí)，如圖：

VZION=ZFON-ZFOI=1600?5°(L14),NONG'=1400-70°-3°

3

A1600-5°(/-14)+(140°-70°-3°/)=180°,

解得，=5

②當(dāng)。/〃NF時(shí)，如圖：

?：/ION+/ONB'=180°,

.*.160°-5°Ct-14)+140°-3°r=180°,

解得看至；

4

③當(dāng)OK〃NG時(shí)，如圖：

解得：

14

解得/=35,

綜上所述，，的值為1()或15或至或3或35.

44

18.(2023秋?景德鎮(zhèn)期末)含30度角的直角三角板和直尺按如圖所示方式放置,

直尺與三角板的外圍邊緣分別交于A,B,C,。四點(diǎn).

(1)若N3=95°,試求N2的大小.

(2)Z1與N2的和是否的定值，若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值,

請(qǐng)說明理由.

【解答】解：（1）根據(jù)三角板形狀可知，NE=30°,ZF=60°,

9：AD//BC,

???N4=/3=95°,

???N5=/4=95°,

???N2=I8（T-Z5-Nb=25°.

（2）Z1與N2的和是定值.

???N3為△ADE的外角，

AZ3=ZE+Z1,

???N1=N3-NE=N3-30°,

???/5=N4=N3,

/.Z2=180°-Z5-ZF=I80°-Z3-60°=120°-Z3,

.*.ZI+Z2=Z3-30°+120°-Z3=90°.

19.（2023春?順德區(qū)校級(jí)月考）如圖1,把一塊含30°的直角三角板ABC的

邊放置于長(zhǎng)方形直尺DEFG的EF邊上.

(1)填空：Zl=°,N2=°

(2)如圖2,現(xiàn)把三角板繞8點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)0V〃V90,且點(diǎn)。恰好

落在DG邊上時(shí)，

①請(qǐng)直接寫出Nl=°,N2=。(結(jié)果用含〃的代數(shù)式表示);

②若N2恰好是N1的佟倍，求〃的值.

(3)如圖1三角板A3c的放置，現(xiàn)將射線6尸繞點(diǎn)6以每秒2。的轉(zhuǎn)速逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)得到射線同時(shí)射線

繞點(diǎn)。以每秒3°的轉(zhuǎn)速順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線QM當(dāng)射線QN旋轉(zhuǎn)至與

重合時(shí)，則射線BM、QN

均停止轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為，(s).

①在旋轉(zhuǎn)過程中，若射線8M與射線QN相交，設(shè)交點(diǎn)為P.當(dāng)1=20(s)時(shí)，

則NQP8=°

②在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在8M〃QN.若存在,求出此時(shí)f的值；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

【解答】解：(1)Zl=180°-60°=120°,Z2=90°；

故答案為：120,90；

(2)①如圖2,

FDG//EF,

:?/DCB=/CBF=n。,

AZACD=90°-n,

：.Z\=ZA+ZACD=(120-/2)°,

VDG/7EF,

.'.ZBCG=180°-ZC5F=180°-n

???/ACB+NBCG+/2=360°,

/.N2=360°-NACB-/BCG

=360°-90°-(180°-n)

=(9()+〃)°；

故答案為：(120-〃)，(90+〃)；

②當(dāng)N2=^N1時(shí)，

3

90+〃=3(120-/?),

3

解得〃=30,

???〃的值是30；

,ZAQP=20X3°=60°,

???ZAQP=NABC,

:?PQ〃BC,

：?NQPB=NFBP=4()°；

故答案為：40；

②存在BM〃QN,理由如下:

如圖:

,:QN〃BM,

：.ZAQN=ZABM,

A3°r=60°-2°t,

解得f=12,

??，的值為12.

20.(2023?南譙區(qū)校級(jí)開學(xué))如圖，將一副直角三角板放在同一條直線A8上,

其中NONM=30°,/OCO=45°.

圖①圖②圖③

(1)將圖①中的三角板OMN沿&4方向平移至圖②的位置，與C￡＞相交

于點(diǎn)E,求NCEN的度數(shù)；

(2)將圖①中的三角板。MN繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使N8ON=30'，

如圖③，MN與CQ相交于點(diǎn)E,求NCEN的度數(shù)；

(3)將圖①中的三角尺C。。繞點(diǎn)。按每秒15°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一

周，在旋轉(zhuǎn)過程中，在第幾秒時(shí)，恰好與C。平行；第幾秒時(shí)，MN恰好

與直線垂直.

【解答】解：(1)在△CEN中，

NCEN=1800-NDCN-NMNO=180°-45°-30°=105°；

(2)?：NBON=NN=30",

:?MN〃CB,

???NCEN=1800-ZDCO=180°-45°=135°；

（3）如圖1,CO在4B上方時(shí)，設(shè)0M與CZ）相交于F,

?：CD〃MN,

：.ZOFD=ZM=60°,

在△O。尸中，ZM0D=18（）°-ZD-ZOFD

=180°-45°-60°

=75°,

工旋轉(zhuǎn)角為75°,

t=75°4-15°=5（秒）；

CO在A8的下方時(shí)，設(shè)直線OM與CO相交于R

?：CD〃MN,

：.ZDFO=ZM=6Q°,

在AQC/中，

Z￡>OF=180°-ZD-ZDFO

=180°-45°-60°

=75。，

，旋轉(zhuǎn)角為75°+180°=255°,

r=255°4-15°=17（秒）；

綜上所述，第5或17秒時(shí)，邊8恰好與邊平行；

如圖2,CO在OM的右邊時(shí)，設(shè)CQ與相交于G,

C7）_LMM

：.ZNGC=900-NMNO=90°-30°=60°,

：.ZCON=Z.NGC-ZOCD=600-45°=15°,

???旋轉(zhuǎn)角為180°?/CON=180°-15°=165°,

z=165°+15°=11（秒），

CO在OM的左邊時(shí)，設(shè)CO與A8相交于G,

?UMM

:./NGD=900-NMNO=90°-30°=60°,

：.ZAOC=ZNGD-ZC=60°-45°=15°,

，旋轉(zhuǎn)角為360°?NAOC=360°-15°=345°,

f=345°+15°=23（秒）,

綜上所述，第11或23秒時(shí)，直線CO恰好與直線MN垂直.

方作射線OC.將一直角二角板AOR（/6MR=3O。）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O

處，一條直角邊0A在射線0。上，另一邊0B在直線QE上方.將直角三角

板繞著點(diǎn)。按每秒20°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為/秒.

（1）當(dāng)直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，0A恰好平分NC。。此時(shí)，Z

80C與N80E之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線OC的位置保持不變，且NCO￡=140°.

①當(dāng)邊人占與射線0E相交時(shí)（如圖3）,則/AOC-/〃。石的值為；

②當(dāng)邊AB所在的直線與0C平行時(shí)，求/的值.

即圖2圖3

【解答】解：（1）/BOC=/BOE,理由如下：

VZAOB=9（）°,

：.ZBOC-^ZAOC=90°,ZAOD+ZBOE=90°,

???。4平分NC。。，

/.ZAOD=NA。。，

：.ZBOC=ZBOE；

(2)①?.,/COE=140。,

：.ZCOD=\SO°?NCOE=40°,

VZAOC=ZCOE-ZAOE=140°-NAOE,ZBOE=90°-NAOE,

AZAOC-ZBOE=(140°-ZAOE)-(90°-NAOE)=50°,

???NAOC-NBOE的值為50。.

故答案為：50°；

②：/四—⑷。，

：.ZCOD=180°-ZCOE=40°,

(/)如圖3-1,當(dāng)A8在直線OE上方時(shí)，

VAB//OC,

：.7AOC=/4=30°,

JZAOD=NAOC+NCOQ=70°,

??,直角三角板繞點(diǎn)。按每秒20°的速度旋轉(zhuǎn)，

?1=70°+20°=3.5；

(II)解法一：如圖3?2,當(dāng)A8在直線OE下方時(shí)，

WB//OC.

.9.ZCOB=ZB=GO°,

：.ZBOD=ZBOC-ZCOD=20°,NAOO=900+20°=110°,

???直角三角板AOB繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的角度為360°-ZAOD=250°,

???直角三角板AOB繞點(diǎn)。按每秒20°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

：.t=(360°-110°)4-200=12.5,

解法二：如圖3-3,在②(I)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)將直角三角板408繞點(diǎn)O

按每秒20。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。，得到直角三角板AO6,此時(shí),A6〃0此

.??直角三角板AOB澆點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的角度為180°+70°=250°,

??,直角三角板AOB澆點(diǎn)。按每秒20°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

/./=250°+20°=12.5,

綜合(I)(II)得：，=3.5或7=12.5.

22.(2023春?岳陽期末)如圖，已知NDC/和/EC/互為鄰補(bǔ)角，ZDCF=a

(0<a<90°),將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處(注：N4CB=90°,

NA8C=60°).

(1)如圖1,使三角板的短直角邊8c與射線CO重合，若a=40°,則NAC/

(2)如圖2,將圖1中的二角板繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，試判斷此時(shí)

與。石的位置關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖3,將圖1中的三角板ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)P(0<p<90°),

使得NACE=_1/8。凡此時(shí)a和0滿足什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

(4)將圖1中的三角板繞點(diǎn)C以每秒5。的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在

旋轉(zhuǎn)的過程中，第，秒時(shí)，AC恰好與直線C尸重合，求［的值(用含a的式

子表示).

【解答】解：(1)VZACF+a=90°,a=40°,

AZACF=90°-40°=50°,

故答案為：50；

(2)???/ABC=NOCB=60°,

(3)???/OCB=0,

AZBCF=p-a,

???ZACE=1ZBCF,

2

/.ZACE=1-(B-a),

2

VZACE+ZDCB=90Q,

??q(B.a)+B=90°,

乙

A3P-a=180°；

(4)第1秒時(shí)，AC恰好與直線重合，

則5°f=270°+a,

解得，=54+二.

5。

23.(2023春?平南縣期末)如圖已知NMON=a(00<a<90°),有一塊二角

板ABC,其中NAC8=9()°,NA4C=3()°,現(xiàn)將該三角板如圖所示放置，

使頂點(diǎn)B始終落在ON上，過點(diǎn)A作DA//ON交OM于點(diǎn)E.

(1)如圖1,若BC〃OM,NC4D=40。，請(qǐng)求出a的大小；

(2)若/8AE的平分線AP交ON于點(diǎn)P；

①如圖2,當(dāng)Ap〃OM,且a=60°時(shí)，請(qǐng)說明：BC//OM；

②如圖3,將三角板A8C沿直線ON從左往右平移，且在平移的過程中，始

終保持BC〃OM不變，請(qǐng)?zhí)骄縉O%與a之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你的

結(jié)論.

MMM

上&—

NB0NiBP0NBP0

圖1圖2圖3

【解答】解：（1）如圖1,‘,：ZCAD=40°,NBAC=30°,N4CB=90°

???/孫。=400+30°=70°,NABC=60°,

YAD//ON,

???/ABN=180°-70°=110°,

?：BC〃OM,

：.ZMON=ZCBN=a=110°-60°=50°,

即a=50"；

(2)①如圖2,

9

：AP//OMfa=60°=/MON,

：.ZAPB=ZMON=60°,

又\?AO〃ON,

：.ZPAE=AAPB=^,

YAP是N8AE的平分線，

：.ZPAE=ZBAB=^°,

/./ARN=7RAE=27PAR=]2O°,

又???N48C=60°,

??.NCBN=120°-60°=60°=NMOM

：.BC//OM；

②如圖3,ZOB4=150°-la,理由如下：

2

?：BC〃OM,

:./CBN=/MON=a,

???N/WN=a+6()°=NBAE,

???4尸是N8AE的平分線，

AAPAE=ZR\B=1ZBAE=1^+30°,

22

NABP=18()°-NA3N=12()0-a,

：.ZOPA=ZPAB+ZABP

=工+30°+120°-a

2

=150°-la.

2

24.(2023春?莆田期末)李想是一位善于思考的學(xué)生，在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，他

將一塊含有60°的直角三角板擺放在一組平行線上展開探究.已知直線EF

//GH,直角三角板A8C中，ZACB=90°,ZCAB=60°，點(diǎn)。為直線E/7

上一定點(diǎn).將直角三角板A8C繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A在直線GH上時(shí)，點(diǎn)3也

恰好在直線G"上.

(1)如圖1,求NECB的度數(shù)；

(2)如圖2,若點(diǎn)A在直線EF上方，點(diǎn)B在GH下方,BC與GH交于點(diǎn)Q,

作NACE的角平分線并反向延長(zhǎng)與NC?！钡慕瞧椒志€交于點(diǎn)O.在直角三角

板A8C繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，N。的度數(shù)是否保持不變？若不變，求出N