行列式基礎(chǔ)知識點

行列式的定義行列式是一個由數(shù)值排列成的方陣經(jīng)過特定運算得到的一個標量值。對于二階行列式，設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\)，其行列式記為\(\vertA\vert=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)。對于三階行列式，設(shè)矩陣\(B=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\)，其行列式\(\vertB\vert\)可以按照第一行展開：\(\vertB\vert=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}\)，進一步計算可得具體值。對于\(n\)階行列式，通常采用遞歸定義，即通過低階行列式來定義高階行列式。行列式的性質(zhì)1.轉(zhuǎn)置性質(zhì)：行列式與其轉(zhuǎn)置行列式的值相等。即若\(A\)為一個方陣，\(A^T\)為其轉(zhuǎn)置矩陣，則\(\vertA\vert=\vertA^T\vert\)。這意味著行列式關(guān)于主對角線具有某種對稱性，對行成立的性質(zhì)對列也同樣成立。2.換行（列）性質(zhì)：交換行列式的兩行（列），行列式的值變號。例如，交換二階行列式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\)的兩行得到\(\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{11}&a_{12}\end{vmatrix}\)，則\(\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{11}&a_{12}\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\)。3.數(shù)乘性質(zhì)：若行列式某一行（列）中的所有元素都乘以同一個數(shù)\(k\)，則行列式的值等于原來的行列式乘以\(k\)。比如，對于二階行列式\(\begin{vmatrix}ka_{11}&ka_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\)。4.倍加性質(zhì)：把行列式某一行（列）的每個元素乘以同一個數(shù)后加到另一行（列）的對應元素上，行列式的值不變。行列式按行（列）展開1.余子式與代數(shù)余子式：在\(n\)階行列式中，把元素\(a_{ij}\)所在的第\(i\)行和第\(j\)列劃去后，留下來的\(n-1\)階行列式叫做元素\(a_{ij}\)的余子式，記作\(M_{ij}\)。代數(shù)余子式\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)。2.展開定理：\(n\)階行列式\(\vertA\vert\)等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和。即按第\(i\)行展開\(\vertA\vert=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}\)；按第\(j\)列展開\(\vertA\vert=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}\)。特殊行列式1.上（下）三角行列式：主對角線下方（上方）元素全為零的行列式稱為上（下）三角行列式。上三角行列式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdotsa_{nn}\)，下三角行列式的值同樣等于主對角線上元素的乘積。2.對角行列式：主對角線以外元素全為零的行列式，其值等于主對角線上元素的乘積，它既是上三角行列式也是下三角行列式。行列式的計算方法1.利用性質(zhì)化簡法：通過行列式的性質(zhì)將行列式化為上三角、下三角或?qū)切辛惺?，然后根?jù)特殊行列式的計算方法得出結(jié)果。例如，利用倍加性質(zhì)將某一行（列）的元素盡可能多地化為零。2.按行（列）展開法：當行列式某一行（列）有較多零元素時，選擇按該行（列）展開，將高階行