山東省濟(jì)南市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期7月期末學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足（i是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．2．某校開展“閱讀經(jīng)典”的調(diào)查研究，高一、高二、高三的人數(shù)比例為．現(xiàn)采用按比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法從各年級(jí)中抽取人員進(jìn)行調(diào)研．已知從高一抽取的人數(shù)為30，則從高三抽取的人數(shù)為（

）A．45 B．60 C．90 D．1353．已知，則（

）A． B． C． D．24．已知是兩條直線，是三個(gè)平面，則正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．解放閣是山東省的“國(guó)防教育基地”．如圖，為測(cè)量解放閣的高度，某人取了一條水平基線，使在同一條直線上．在兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得的仰角分別是，并測(cè)得米，則約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．30米 B．35米 C．45米 D．70米6．用斜二測(cè)畫法畫水平放置的，其直觀圖如圖所示，其中．若原的周長(zhǎng)為10，則（

）A． B． C． D．7．拋擲枚質(zhì)地均勻的硬幣，恰有枚正面朝上的概率為（其中），則（

）A． B． C． D．8．在中，的平分線交于點(diǎn)為的中點(diǎn)．若，，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．某校為了解高一學(xué)生的體能達(dá)標(biāo)情況，抽調(diào)了200名學(xué)生進(jìn)行立定跳遠(yuǎn)測(cè)試，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到如下的頻率分布直方圖（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），則（

）A． B．眾數(shù)是230C．中位數(shù)是210 D．跳遠(yuǎn)距離在區(qū)間的人數(shù)為16810．已知古典概型的樣本空間及事件和事件，滿足，，，，則（

）A． B． C． D．11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)（含邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足//平面，則（

）A．點(diǎn)到平面的距離為定值B．存在點(diǎn)，滿足C．二面角的取值范圍為D．過點(diǎn)作正方體外接球的截面，所得截面面積的最小值為三、填空題12．已知圓臺(tái)的上底面半徑和母線長(zhǎng)均為2，下底面半徑為3，則圓臺(tái)的體積為．13．若復(fù)數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則的最大值為．14．設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)的兩條數(shù)軸，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量．若，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系Oxy中的坐標(biāo)．已知，，對(duì)任意，恒成立，則的取值范圍為．四、解答題15．袋中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球，其中白球編號(hào)為1，2，紅球編號(hào)為3，4，5．從中有放回地依次隨機(jī)摸出兩個(gè)小球．(1)求至少一個(gè)是白球的概率；(2)設(shè)事件A為“第一次是白球”，事件B為“兩個(gè)小球的編號(hào)之和為6”，判斷A與B是否相互獨(dú)立，并說明理由．16．已知正四棱錐P-ABCD，M，N分別是BC，PD的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若四棱錐各棱長(zhǎng)均為2，求直線CN與AM所成角的余弦值．17．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知．(1)求角B的大??；(2)若為銳角三角形．（ⅰ）求角A的取值范圍；（ⅱ）設(shè)，求面積的取值范圍．18．某同學(xué)用同一把尺子多次測(cè)量同一張標(biāo)準(zhǔn)A4紙的寬度，得到以下10個(gè)數(shù)據(jù)，，（單位：毫米）：211209210208210210209208210215(1)計(jì)算該組數(shù)據(jù)的平均值和方差；(2)考慮到測(cè)量誤差問題，可能存在無效數(shù)據(jù)，可以采用如下準(zhǔn)則進(jìn)行無效數(shù)據(jù)篩選：①記（其中s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，，）；②若（其中n為樣本容量），則該數(shù)據(jù)x，判斷為無效數(shù)據(jù)，否則認(rèn)為該數(shù)據(jù)有效．對(duì)照表n3456789101.161.481.721.892.022.132.222.29（?。┣螅⑴袛嗍欠駷闊o效數(shù)據(jù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；（ⅱ）求，，，中無效數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）19．在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體某頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中面角是多面體的面的內(nèi)角（角用弧度制表示）．例如：對(duì)于正四面體任意一個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)面角均為，所以正四面體在該頂點(diǎn)的曲率為．(1)如圖1，該多面體由邊長(zhǎng)相等的10個(gè)正三角形和2個(gè)正五邊形圍成，任取一頂點(diǎn)，求該點(diǎn)的曲率；(2)如圖2，在正三棱臺(tái)中，，，點(diǎn)A與處的曲率之差為π．若D為側(cè)面（含邊界）內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且直線BD與平面所成角的正切值為2，求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡長(zhǎng)度；(3)某多面體由邊長(zhǎng)相等的個(gè)正三角形和個(gè)正五邊形圍成，若各頂點(diǎn)的曲率之和為4π，且每個(gè)頂點(diǎn)與其相連接的棱所形成的空間圖形均相同（圖3為滿足條件的兩個(gè)多面體示例），求該多面體面數(shù)的所有可能取值．

題號(hào)12345678910答案CBACBADBABBCD題號(hào)11答案ABD1．C由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意.故選：C.2．B根據(jù)分層抽樣的基本原則，計(jì)算各層人數(shù)即可.【詳解】設(shè)高三抽取的人數(shù)為，則由分層抽樣可知，解得：.故選：B.3．A由向量垂直列方程求解即可.【詳解】已知，則，解得.故選：A.4．C根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A，若，則或異面，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若，則或相交，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，若，則，C正確，對(duì)于D，若，則或，故D錯(cuò)誤，故選：C5．B由題意可得在中，，在中，再結(jié)合正弦定理可得，從而可求解.【詳解】由題意可得在中，，在中，，則由正弦定理可得，即，解得千米，故B正確.故選：B.6．A根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，由直觀圖畫出原圖，得到，，求得，進(jìn)而得到的長(zhǎng).【詳解】如圖所示，根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，可由直觀圖畫出原圖，因?yàn)椋傻?，所以，即，則，所以.故選：A.7．D由古典概型的概率計(jì)算公式分別計(jì)算的值，從而得到結(jié)果.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以.故選：D.8．B利用面積比可得，結(jié)合等面積法可得,即可利用向量的模長(zhǎng)求解.【詳解】由,由于，則,,因此,又,化簡(jiǎn)得，故,因此,故選：B9．AB對(duì)于A，由各個(gè)矩形面積之和為1列方程驗(yàn)算即可；對(duì)于B，只需看最高矩形的中間值即可；對(duì)于C，由中位數(shù)的定義即可驗(yàn)算；對(duì)于D，由對(duì)應(yīng)的頻率乘以總?cè)藬?shù)即可驗(yàn)算.【詳解】對(duì)于A，由圖可知，，解得，故A正確；對(duì)于B，右圖可知，最高的矩形是區(qū)間所對(duì)應(yīng)的矩形，所以眾數(shù)是230，故B正確；對(duì)于C，第一組的頻率為，第二組的頻率為，第三組的頻率為，第四組的頻率為，而，從而中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，跳遠(yuǎn)距離在區(qū)間的人數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10．BCD分別計(jì)算出，再結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】由題意，所以，，.故選：BCD.11．ABD取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，連接，，，，證明點(diǎn)的軌跡為，再結(jié)合，可對(duì)A判斷；當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)可證平面，從而可對(duì)B判斷；利用幾何法作出就是二面角的平面角，分析點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)變化情況，可對(duì)C判斷；求出正方體外接球的半徑，且當(dāng)點(diǎn)位于或時(shí)，離球心的距離最遠(yuǎn)，從而可對(duì)D判斷求解.【詳解】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，連接，，，，則，，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，且，又因?yàn)?，，所以，又因?yàn)槠矫?，，平面，所以平面，因平面，所以平面，所以點(diǎn)的軌跡為.A：由上可求得，可得為定值，故A正確；B：作且交的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平面，又因?yàn)椋云矫?，又平面，所以，所以?dāng)點(diǎn)于點(diǎn)重合時(shí)，滿足，故B正確；C：連接，，作且交于點(diǎn)，作且交于點(diǎn)，由平面，平面，則，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以就是二面角的平面角，即，因點(diǎn)的軌跡為，結(jié)合圖形當(dāng)點(diǎn)從到的過程中是逐漸增大的，當(dāng)點(diǎn)位于處，此時(shí)，則，求得，當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)處時(shí)，，，則，當(dāng)點(diǎn)位于處時(shí)，，，則，綜上所述：取不到，故C錯(cuò)誤；D：正方體的外接球的半徑為，當(dāng)點(diǎn)在或處時(shí)，正方體的中心（即外接球球心）離點(diǎn)距離最遠(yuǎn)為，此時(shí)以點(diǎn)為截面圓心，截面圓半徑最小為，所以截面面積的最小值為，故D正確.故選：ABD.12．由圓臺(tái)的性質(zhì)先求出高，再代入體積公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】如圖是圓臺(tái)的軸截面，圓臺(tái)的上下底面圓的半徑分別為2和3，母線長(zhǎng)為2，設(shè)圓臺(tái)的高為，則，解得：，所以圓臺(tái)的體積.故答案為：13．/根據(jù)可得z的軌跡為以為圓心，以3為半徑的圓，表示點(diǎn)到的距離，結(jié)合幾何意義可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，因?yàn)榧?，所以z的軌跡為以為圓心，以3為半徑的圓，所以，其表示上述圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以其最大值為到的距離加半徑，為.故答案為：.14．根據(jù)題意將，轉(zhuǎn)化成用基底表示的形式，進(jìn)一步可求出，根據(jù)恒成立求解的取值范圍即可.【詳解】，.，.，，.對(duì)任意，恒成立...，.解得：.；.即的取值范圍為.15．(1)(2)A與B是相互獨(dú)立的，理由見解析（1）由對(duì)立事件概率公式、獨(dú)立乘法公式即可求解；（2）由古典概型概率計(jì)算公式和獨(dú)立事件的定義求解即可.【詳解】（1）由于有放回地依次隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，所以每次摸球的結(jié)果互相獨(dú)立，故至少一個(gè)是白球的概率為；（2）因?yàn)槭录嗀為“第一次是白球”，事件B為“兩個(gè)小球的編號(hào)之和為6”，即為所以事件為“第一次編號(hào)為1且第二次編號(hào)為5”或者“第一次編號(hào)為2且第二次編號(hào)為4”，所以，注意到，所以，而，從而，所以A與B是相互獨(dú)立的.16．(1)證明見解析(2)（1）根據(jù)中位線以及平行四邊形的判定可證明為平行四邊形，即可由線面平行的判定求解，（2）根據(jù)平行可得或其補(bǔ)角即為直線CN與AM所成角，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接,由于是中點(diǎn)，故,且，又且，故,則四邊形為平行四邊形，故平面,平面,故平面（2）由（1）知：故或其補(bǔ)角即為直線CN與AM所成角，由于為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，故，,故,故直線CN與AM所成角的余弦值為17．(1)(2)（ⅰ）（ⅱ）（1）由正弦定理邊化角，結(jié)合正弦和角公式即可求解；（2）（?。┯射J角三角形的定義列不等式組即可求解；（ⅱ）由三角形面積公式、正弦定理得到，結(jié)合角A的取值范圍，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，而，從而，所以，又因?yàn)椋?；?）（?。╋@然是銳角，需滿足，解得，故角A的取值范圍為；（ⅱ）因?yàn)?，，所以，由正弦定理有，所以，所以，因?yàn)榻茿的取值范圍為，所以的取值范圍為，的取值范圍為，的取值范圍為，的取值范圍為，故.18．(1)平均數(shù)為210，方差為3.6(2)（?。闊o效數(shù)據(jù)，（ⅱ）1個(gè)，理由見解析（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式即可求解，（2）（?。áⅲ└鶕?jù)的計(jì)算公式，與的值比較即可求解【詳解】（1）平均數(shù),方差（2）（?。┯煽傻?，故是無效數(shù)據(jù)，（ⅱ）由表中數(shù)據(jù)可知：故此時(shí)可得，此時(shí)此時(shí)，故，，，均為有效數(shù)據(jù)，由（ⅰ）知是無效數(shù)據(jù)，因此無效數(shù)據(jù)只有1個(gè)19．(1)(2)(3)12，32和92【詳解】（1）該多面體任取一頂點(diǎn)連接3個(gè)正三角形和1個(gè)正五邊形，則該點(diǎn)的曲率為.（2）梯形性質(zhì)分析?：由于梯形是等腰梯形，處的內(nèi)角互補(bǔ).設(shè)梯形在的內(nèi)角為，在的內(nèi)角為，則.但是根據(jù)曲率差的條件，.解方程組：.?從點(diǎn)向下底作垂線，交于，上下底中點(diǎn)分別為.由于上底，下底，∴，∴，設(shè)上下底面的中心分別為，在下底面內(nèi)的射影為，則分別在上，且，計(jì)算得，，，，∴為的交點(diǎn)，由于∴，∴點(diǎn)D的軌跡為如圖所示的以為圓心，以為端點(diǎn)，半徑為圓弧，軌跡的長(zhǎng)度為.（3）?多面體由個(gè)正三角形和個(gè)正五邊形組成，邊長(zhǎng)相等，各頂點(diǎn)曲率之和為4π.每個(gè)頂點(diǎn)與其相連接的棱所形成的空間圖形均相同（頂點(diǎn)傳遞性）.?歐拉公式?：對(duì)于凸多面體，歐拉公式，其中是頂點(diǎn)數(shù)，是邊數(shù)，是面數(shù).這里.?曲率總和?：根據(jù)題目，曲率總和為.?頂點(diǎn)均勻性?：題目要求每個(gè)頂點(diǎn)相同，意味著多面體是頂點(diǎn)傳遞的，且每個(gè)頂點(diǎn)周圍的配置相同.?面角計(jì)算?：正三角形的內(nèi)角為，正五邊形的內(nèi)角為.?頂點(diǎn)曲率?：設(shè)每個(gè)頂點(diǎn)周圍有個(gè)正三角形和個(gè)正五邊形.由于頂點(diǎn)相同，所有頂點(diǎn)配置相同，面角總和為，曲率為.?頂點(diǎn)數(shù)?：由于所有頂點(diǎn)相同，曲率總和為，因此，.?邊數(shù)計(jì)算?：每個(gè)正三角形有3條邊，每個(gè)正五邊形有5條邊，但每條邊被兩個(gè)面共享，總邊數(shù).?頂點(diǎn)配置?：由于多面體是頂點(diǎn)傳遞的，每個(gè)頂點(diǎn)有相同的邊數(shù)（即相同的面數(shù)）.設(shè)每個(gè)頂點(diǎn)周圍有個(gè)面，.由于每條邊連接兩個(gè)頂點(diǎn)，，但是，，因此，.?結(jié)合歐拉公式?：，得.?解方程組?：我們有以下方程：，，，，由于每個(gè)頂點(diǎn)相同，我們需要考慮可能的值.?枚舉值?：常見的多面體頂點(diǎn)面數(shù)滿足，∴只能為3，4，5等.??：.可能的組合：：解得，，不滿