24.2.2.3切線長定理及三角形的內切圓第二十四章

圓人教版數(shù)學九年級上冊【公開課精品課件】授課教師：********班級：********時間：********24.2.2.3切線長定理及三角形的內切圓一、引入在之前的學習中，我們認識了切線的判定與性質，知道切線是與圓只有一個公共點的直線。當從圓外一點向圓引切線時，會產生一些新的數(shù)量關系和幾何特征。同時，三角形與圓也存在著另一種特殊的位置關系——內切。這節(jié)課我們就來學習切線長定理及三角形的內切圓相關知識。二、切線長的定義經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。例如：從圓外一點P向⊙O引兩條切線，分別與⊙O相切于點A、B，那么線段PA、PB的長就是點P到⊙O的切線長。三、切線長定理（一）定理內容從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。（二）定理證明已知：如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點分別為A、B。求證：PA=PB，∠APO=∠BPO。證明：連接OA、OB。因為PA、PB是⊙O的切線，根據(jù)切線的性質定理，OA⊥PA，OB⊥PB，所以∠OAP=∠OBP=90°。在Rt△OAP和Rt△OBP中，OA=OB（都是⊙O的半徑），OP=OP（公共邊），所以Rt△OAP≌Rt△OBP（HL定理）。因此，PA=PB，∠APO=∠BPO。（三）定理推論從圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線垂直平分切點所成的弦。即在上圖中，OP垂直平分AB。這是因為Rt△OAP≌Rt△OBP，可得OA=OB，∠AOP=∠BOP，所以OP垂直平分AB（等腰三角形三線合一）。四、三角形的內切圓（一）相關概念三角形的內切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。三角形的內心：三角形內切圓的圓心，叫做三角形的內心。（二）內心的性質三角形的內心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形三邊的距離相等，這個距離等于內切圓的半徑。（三）三角形內切圓的作法已知：△ABC。求作：△ABC的內切圓。作法：作∠A、∠B的角平分線AD、BE，AD與BE相交于點I。過點I作IF⊥BC于點F。以I為圓心，IF為半徑作圓，⊙I就是△ABC的內切圓。（四）三角形的內心與外心的區(qū)別名稱定義位置性質內心三角形內切圓的圓心三角形內部到三邊距離相等，是三條角平分線的交點外心三角形外接圓的圓心銳角三角形內部、直角三角形斜邊中點、鈍角三角形外部到三個頂點距離相等，是三條邊垂直平分線的交點五、例題講解例題1：如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，∠APB=60°，PA=8cm，求⊙O的半徑。解：連接OA、OP。因為PA、PB是⊙O的切線，所以PA=PB，∠APO=∠BPO=1/2∠APB=30°，OA⊥PA。在Rt△OAP中，∠APO=30°，PA=8cm，設OA=r。根據(jù)直角三角形中30°

角所對的直角邊等于斜邊的一半，可得OP=2r。由勾股定理可得OA2+PA2=OP2，即r2+82=(2r)2。展開得r2+64=4r2，移項得3r2=64，解得r=8√3/3cm。所以⊙O的半徑為8√3/3cm。例題2：在△ABC中，∠A=60°，∠B=50°，點I是△ABC的內心，求∠AIB的度數(shù)。解：因為點I是△ABC的內心，所以AI平分∠A，BI平分∠B。因此，∠BAI=1/2∠A=30°，∠ABI=1/2∠B=25°。在△AIB中，∠AIB=180°-∠BAI-∠ABI=180°-30°-25°=125°。六、課堂練習填空題（1）從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長（

），這一點和圓心的連線（

）兩條切線的夾角。（2）三角形的內心是三角形（

）的交點，它到三角形（

）的距離相等。解答題（1）如圖，△ABC的內切圓⊙I與AB、BC、AC分別相切于點D、E、F，且AB=10cm，BC=12cm，AC=14cm，求AD、BE、CF的長。（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，求△ABC內切圓的半徑。七、課堂總結本節(jié)課我們學習了切線長定理和三角形的內切圓。切線長定理表明從圓外一點引圓的兩條切線，其切線長相等，且該點與圓心的連線平分兩條切線的夾角。三角形的內切圓是與三角形各邊都相切的圓，其圓心（內心）是三條角平分線的交點，到三邊距離相等。這些知識進一步豐富了我們對圓與三角形位置關系的認識，在幾何計算和證明中有著廣泛應用。八、作業(yè)布置教材第XX頁習題24.2的第16-20題。畫一個三角形，作出它的內切圓，并測量內心到各邊的距離，驗證內心的性質。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解情境引入

同學們玩過抖空竹和悠悠球嗎？在空竹和悠悠球旋轉的那一瞬間，你能從中抽象出什么樣數(shù)學圖形？

問題1

上節(jié)課我們學習了過圓上一點作已知圓的切線(如下圖所示)，如果點

P是圓外一點，又怎么作該圓的切線呢？過圓外的一點作圓的切線，可以作幾條？切線長定理及應用互動探究POBAO.PABP1.切線長的定義：

經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長．AO①

切線是直線，不能度量；②

切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是

圓外一點和切點，可以度量．2.切線長與切線的區(qū)別在哪里？知識要點問題2PA

為☉O的一條切線，沿著直線

PO

對折，設圓上與點

A

重合的點為

B．

OB

是☉O的一條半徑嗎？PB

是☉O的切線嗎？（利用圖形軸對稱性解釋）

PA、PB

有何關系？∠APO

和∠BPO

有何關系？OPAB切線長定理：

過圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等.這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.PA、PB分別切

☉O于

A、BPA=PB∠OPA=∠OPB幾何語言：切線長定理為證明線段相等、角相等提供了新

的方法.注意要點歸納BPOAO.P已知：如圖，PA、PB是☉O的兩條切線，A、B為切點.求證：PA=PB，∠APO=∠BPO.證明：∵PA、PB

是☉O

的兩條切線，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL).∴PA=PB，∠APO=∠BPO.推理驗證AB∴OA⊥PA，OB⊥PB.

若連接兩切點

A、B，AB交

OP于點

M.你又能得出

什么新的結論?請給出證明.解：OP垂直平分

AB.證明：∵

PA，PB是

⊙O的切線，點

A，B是切點，∴

PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線.∴

OP垂直平分

AB.M想一想：OPAB例1

已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切于點E、F、G、H.求證：AB+CD=AD

+BC.證明：∵AB、BC、CD、DA與

⊙O分別相切于點E、F、G、H，·ABCDOEFGH∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，即

AB+CD=AD+BC.典例精析變式訓練如圖，四邊形

ABCD

是☉O的外切四邊形，且

AB

=

10，CD

=

15，則四邊形

ABCD

的周長為______．50·ABCDO例4

為了測量一個圓形鐵環(huán)的半徑，某同學采用了如下辦法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個銳角為

30°

的三角板和一個刻度尺，按如圖所示的方法得到相關數(shù)據(jù)，進而可求得鐵環(huán)的半徑.若三角板與圓相切且測得

PA

=

5

cm，求鐵環(huán)的半徑．OBC解析：取圓的圓心為O，連接

OA，OP，由切線性質知△OPA為直角三角形，從而在

Rt△OPA

中由勾股定理易求得半徑．在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，又∵∠BAC＝60°，∴∠PAO＝∠BAO＝60°.即鐵環(huán)的半徑為∴OA=2PA=10.解：設鐵環(huán)的圓心為O，連接

OP、OA.∴OP⊥AP，∠PAO＝∠BAO.OBC5

∵AP、AB為

⊙O的切線，∴OP=∴∠POA＝30°.

切線長定理包括線段相等和角相等兩個結論，解題時應有選擇地應用，它是證明線段相等、角相等以及垂直關系的重要依據(jù).方法歸納BPOA

PA、PB是

☉O的兩條切線，A，B是切點，OA=3.（1）若

AP=4，則

OP=

；（2）若∠BPA=60°，則

OP=

.56練一練

小明在一家木料廠上班，工作之余想對廠里的三角形廢料進行加工：裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？三角形的內切圓及作法互動探究問題1如果最大圓存在，它與三角形三邊應有怎樣的位置關系？

OOOO最大的圓與三角形三邊都相切問題2如何求作一個圓，使它與三角形的三邊都相切？

(1)如果半徑為

r的☉I與△ABC的三邊都相切，那么

圓心

I應滿足什么條件？(2)在△ABC的內部，如何找到滿足條件的圓心

I呢？

圓心

I到三角形三邊的距離相等，都等于

r.為什么呢？三角形三條角平分線交于一點，這一點到三角形三邊的距離相等.三角形角平分線的這個性質，你還記得嗎？圓心

I應是三角形的三條角平分線的交點.已知：△ABC.求作：和△ABC的各邊都相切的圓

O.做一做MND作法：1.作∠ABC和∠ACB的平分線

BM和

CN，交點為

O.2.過點

O作OD⊥BC，垂足為

D.3.以O為圓心，OD為半徑作圓O.☉O就是所求的圓.ABCO1.與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓.2.三角形內切圓的圓心叫做這個三角形的內心.3.這個三角形叫做這個圓的外切三角形.BACI☉I是△ABC的內切圓，點

I是△ABC的內心，△ABC是☉I的外切三角形.知識要點三角形的內心的性質問題1如圖，☉O是△ABC的內切圓，那么

AO、BO、CO有什么特點？互動探究AO、BO、CO分別平分∠CAB、∠ABC、∠BCA.BACOBACO問題2如圖，☉O是△ABC的內切圓，過點

O分別作

AB、AC、BC的垂線，垂足分別為

E、F、G，那么線段

OE、OF、OG之間有什么數(shù)量關系？EFG解：OE=OF=OG.知識要點三角形內心的性質三角形的內心是三角形三條角平分線的交點.三角形的內心到三角形三邊的距離相等.

AI、BI、CI分別平分∠CAB、∠ABC、∠BCA，IE=IF=IG.BACIEFG例3

如圖，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，點

I是△ABC的內心，求∠BIC的度數(shù).解：連接

IB，IC.ABCI∵點

I是△ABC的內心，∴BI，CI分別平分∠ABC，∠ACB.在△IBC中，例4△ABC的內切圓

☉O與

BC、CA、AB分別相切于點

D、E、F，且

AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求

AF、BD、CE的長.想一想：圖中你能找出哪些相等的線段？理由是什么？BACEDFO解：設

AF=xcm，則

AE=xcm.∴

CE=CD=AC-AE=9-

x(cm)，

BF

=

BD=AB

-

AF

=

13

-

x(cm).由

BD+CD=BC，可得(13

-

x)+(9

-

x)=14，∴AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.方法小結：解決本題的關鍵是熟練運用切線長