2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷（立體幾何突破，重點(diǎn)解析）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，2，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-1，2，1），那么向量AB的方向向量為（）。A.（2，0，2）B.（-2，0，2）C.（2，0，-2）D.（-2，0，-2）2.如果一個(gè)三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，高為3，那么這個(gè)三棱錐的體積是（）。A.2√3B.3√3C.4√3D.6√33.在空間中，已知直線l1過(guò)點(diǎn)A（1，0，0），方向向量為（1，1，1），直線l2過(guò)點(diǎn)B（0，1，0），方向向量為（1，-1，1），那么直線l1和直線l2的位置關(guān)系是（）。A.平行B.相交C.異面D.重合4.一個(gè)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)是A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，1），那么這個(gè)四面體的表面積是（）。A.√2B.√3C.√6D.2√25.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，1，1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（2，2，2），那么向量PQ的模長(zhǎng)是（）。A.1B.√2C.√3D.26.如果一個(gè)球的半徑為3，那么這個(gè)球的表面積是（）。A.9πB.12πC.18πD.36π7.在空間中，已知平面α過(guò)點(diǎn)A（1，2，3），且法向量為（1，-1，1），那么點(diǎn)B（2，3，4）到平面α的距離是（）。A.√3/2B.√5/2C.√7/2D.√10/28.一個(gè)圓錐的底面半徑為2，高為3，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（）。A.4πB.6πC.8πD.10π9.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，1，1），點(diǎn)N的坐標(biāo)是（-1，-1，-1），那么向量MN的方向向量為（）。A.（2，2，2）B.（-2，-2，-2）C.（0，0，0）D.（1，1，1）10.如果一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2，3，4，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)是（）。A.√29B.√30C.√31D.√32二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。）11.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，2，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-1，-2，-3），那么向量AB的模長(zhǎng)是______。12.一個(gè)三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為3的正三角形，高為4，那么這個(gè)三棱錐的體積是______。13.在空間中，已知直線l過(guò)點(diǎn)A（1，0，0），方向向量為（1，1，1），那么直線l上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最短距離是______。14.一個(gè)球的半徑為2，那么這個(gè)球的體積是______。15.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，1，1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（2，2，2），那么向量PQ與z軸的夾角的余弦值是______。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）16.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（3，2，1），點(diǎn)C（2，1，2）。求：（1）向量AB和向量AC的夾角余弦值；（2）以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形的面積。解答過(guò)程：（1）向量AB=（3-1，2-2，1-3）=（2，0，-2），向量AC=（2-1，1-2，2-3）=（1，-1，-1）。向量AB和向量AC的夾角余弦值可以通過(guò)以下公式計(jì)算：cosθ=（向量AB·向量AC）/（|向量AB|·|向量AC|）其中，向量AB·向量AC=2×1+0×（-1）+（-2）×（-1）=4，|向量AB|=√（22+02+（-2）2）=√8，|向量AC|=√（12+（-1）2+（-1）2）=√3。因此，cosθ=4/（√8×√3）=√6/3。（2）以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形的面積可以通過(guò)以下公式計(jì)算：S=1/2×|向量AB×向量AC|其中，向量AB×向量AC=（0×（-1）-（-2）×（-1），（-2）×1-2×（-1），2×（-1）-0×1）=（-2，0，-2）。|向量AB×向量AC|=√（（-2）2+02+（-2）2）=√8。因此，S=1/2×√8=√2。17.在空間中，已知平面α過(guò)點(diǎn)A（1，2，3），且法向量為（1，-1，1），平面β過(guò)點(diǎn)B（2，3，4），且法向量為（-1，1，-1）。求：（1）平面α和平面β的位置關(guān)系；（2）如果平面α和平面β相交，求它們的交線方程。解答過(guò)程：（1）平面α和平面β的位置關(guān)系可以通過(guò)它們的法向量的夾角來(lái)判斷。如果兩個(gè)平面的法向量平行，那么這兩個(gè)平面平行；如果兩個(gè)平面的法向量垂直，那么這兩個(gè)平面垂直；如果兩個(gè)平面的法向量既不平行也不垂直，那么這兩個(gè)平面相交。向量n1=（1，-1，1），向量n2=（-1，1，-1）。向量n1和向量n2的點(diǎn)積為：n1·n2=1×（-1）+（-1）×1+1×（-1）=-3。向量n1和向量n2的模長(zhǎng)分別為：|n1|=√（12+（-1）2+12）=√3，|n2|=√（（-1）2+12+（-1）2）=√3。因此，cosθ=n1·n2/（|n1|·|n2|）=-3/（√3×√3）=-1。由于cosθ=-1，說(shuō)明向量n1和向量n2平行，因此平面α和平面β平行。18.一個(gè)圓錐的底面半徑為3，高為4，求：（1）這個(gè)圓錐的側(cè)面積；（2）這個(gè)圓錐的全面積。解答過(guò)程：（1）這個(gè)圓錐的側(cè)面積可以通過(guò)以下公式計(jì)算：S側(cè)=πrl其中，r是底面半徑，l是母線長(zhǎng)。母線長(zhǎng)可以通過(guò)勾股定理計(jì)算：l=√（r2+h2）=√（32+42）=√25=5。因此，S側(cè)=π×3×5=15π。（2）這個(gè)圓錐的全面積可以通過(guò)以下公式計(jì)算：S全=S側(cè)+S底其中，S底是底面積，可以通過(guò)以下公式計(jì)算：S底=πr2=π×32=9π。因此，S全=15π+9π=24π。19.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（3，2，1），點(diǎn)C（2，1，2），點(diǎn)D（1，0，1）。求：（1）向量AB和向量AC的夾角正弦值；（2）以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四面體的體積。解答過(guò)程：（1）向量AB=（3-1，2-2，1-3）=（2，0，-2），向量AC=（2-1，1-2，2-3）=（1，-1，-1）。向量AB和向量AC的叉積可以通過(guò)以下公式計(jì)算：向量AB×向量AC=（0×（-1）-（-2）×（-1），（-2）×1-2×（-1），2×（-1）-0×1）=（-2，0，-2）。向量AB和向量AC的模長(zhǎng)分別為：|向量AB|=√（22+02+（-2）2）=√8，|向量AC|=√（12+（-1）2+（-1）2）=√3。向量AB×向量AC的模長(zhǎng)為：|向量AB×向量AC|=√（（-2）2+02+（-2）2）=√8。因此，sinθ=|向量AB×向量AC|/（|向量AB|·|向量AC|）=√8/（√8×√3）=1/√3。（2）以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四面體的體積可以通過(guò)以下公式計(jì)算：V=1/6×|向量AB×向量AC·向量AD|其中，向量AD=（1-1，0-2，1-3）=（0，-2，-2）。向量AB×向量AC·向量AD=（-2，0，-2）·（0，-2，-2）=0×（-2）+0×（-2）+（-2）×（-2）=4。因此，V=1/6×4=2/3。20.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，1，1），點(diǎn)Q（2，2，2），點(diǎn)R（3，3，3）。求：（1）向量PQ和向量QR的夾角余弦值；（2）以P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形的面積。解答過(guò)程：（1）向量PQ=（2-1，2-1，2-1）=（1，1，1），向量QR=（3-2，3-2，3-2）=（1，1，1）。向量PQ和向量QR的點(diǎn)積為：PQ·QR=1×1+1×1+1×1=3。向量PQ和向量QR的模長(zhǎng)分別為：|PQ|=√（12+12+12）=√3，|QR|=√（12+12+12）=√3。因此，cosθ=PQ·QR/（|PQ|·|QR|）=3/（√3×√3）=1。（2）以P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形的面積可以通過(guò)以下公式計(jì)算：S=1/2×|向量PQ×向量QR|其中，向量PQ×向量QR=（1×1-1×1，1×1-1×1，1×1-1×1）=（0，0，0）。|向量PQ×向量QR|=√（02+02+02）=0。因此，S=1/2×0=0。本次試卷答案如下：一、選擇題答案及解析1.A解析：向量AB=（-1-1，2-2，1-3）=（-2，0，-2），方向向量為（2，0，2）。2.B解析：三棱錐體積公式V=1/3×底面積×高，底面正三角形面積S=√3/4×22=√3，V=1/3×√3×3=3√3。3.C解析：向量l1方向（1，1，1），向量l2方向（1，-1，1），兩向量叉積（0，2，0）非零，故異面。4.B解析：四面體表面積S=√2（△ABC+△ABD+△ACD+△BCD），計(jì)算得√3。5.√2解析：向量PQ=（1，1，1），|PQ|=√（12+12+12）=√3。6.36π解析：表面積公式S=4πr2，r=3，S=36π。7.√5/2解析：點(diǎn)B到平面距離d=|（1，-1，1）·（2-1，3-2，4-3）|/√3=√5/2。8.6π解析：側(cè)面積公式S=πrl，l=√（22+32）=√13，S=π×2×√13。9.A解析：向量MN=（-1-1，-1-1，-1-1）=（-2，-2，-2），方向向量為（2，2，2）。10.√30解析：對(duì)角線長(zhǎng)√（22+32+42）=√29。二、填空題答案及解析11.√14解析：|AB|=√（（-1）-12+（-2）-22+（-3）-32）=√14。12.3√3解析：體積V=1/3×√3/4×22×4=3√3。13.√2/√3解析：直線l到原點(diǎn)的最短距離即原點(diǎn)到直線的距離，|（1，0，0）×（1，1，1）|/√3=√2/√3。14.4/3π解析：體積公式V=4/3πr3，r=2，V=4/3π×8=32/3π。15.1/√2解析：向量PQ與z軸夾角cosθ=（（2-1，2-1，2-1）·（0，0，1））/（|PQ|×1）=1/√2。三、解答題答案及解析16.（1）cosθ=√6/3解析：向量AB·AC=4，|AB|=√8，|AC|=√3，cosθ=4/(√8×√3)=√6/3。（2）√2解析：|AB×AC|=√8，面積S=1/2×√8=√2。17.（1）平行解析：向量n1·n2=-3，cosθ=-1，n1與n2平行，故平面平行。（2）無(wú)交線方程解析：平行平面無(wú)交線