南昌二模第十題數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）

A.3B.1C.2D.0

2.設(shè)集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},若A∪B=A,則a的取值集合為（）

A.{1}B.{1,2}C.{0,1}D.{0,1,2}

3.不等式3x-5>2x+1的解集為（）

A.(-∞,6)B.(6,+∞)C.(-∞,-6)D.(-6,+∞)

4.已知向量a=(1,2),b=(3,-1),則向量a+b的模長(zhǎng)為（）

A.√10B.√5C.5D.√15

5.函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)的圖像關(guān)于哪個(gè)點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)（）

A.(π/3,0)B.(π/6,0)C.(π/2,0)D.(2π/3,0)

6.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率是（）

A.1/2B.1/3C.1/4D.1

7.已知圓O的半徑為3,弦AB的長(zhǎng)為4,則圓心O到弦AB的距離為（）

A.1B.2C.√2D.√5

8.函數(shù)f(x)=e^x在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)方程為（）

A.y=x+1B.y=x-1C.y=-x+1D.y=-x-1

9.設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,若a_1=1,a_n=2a_{n-1}+1(n≥2),則S_5的值為（）

A.31B.32C.33D.34

10.已知點(diǎn)A(1,2),B(3,0),則向量AB的方向向量為（）

A.(2,-2)B.(-2,2)C.(2,2)D.(-2,-2)

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（）

A.y=2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=log_2(x)

2.已知三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3,b=4,c=5,則三角形ABC是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

3.下列向量中，與向量a=(1,-1)平行的向量有（）

A.(2,-2)B.(-1,1)C.(1,1)D.(-2,2)

4.函數(shù)f(x)=cos(x-π/4)的圖像可以由函數(shù)f(x)=sin(x)的圖像經(jīng)過(guò)以下哪個(gè)或哪些變換得到（）

A.向右平移π/4個(gè)單位B.向左平移π/4個(gè)單位C.上下平移π/4個(gè)單位D.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

5.下列命題中，正確的有（）

A.命題“p或q”為真，則p、q中至少有一個(gè)為真B.命題“p且q”為真，則p、q都為真

C.命題“非p”為真，則p為假D.命題“若p則q”為真，則非p為真

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)和(-1,2)，且對(duì)稱(chēng)軸為x=1，則a+b+c的值為_(kāi)_______。

2.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_5=10,a_10=25，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=________。

3.設(shè)全集U=R，集合A={x|x>0},B={x|x<-1}，則集合A∩B的補(bǔ)集（相對(duì)于U）為_(kāi)_______。

4.已知向量u=(3,k),v=(1,2)，若u⊥v，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_______。

5.計(jì)算極限lim(x→0)(sin3x/x)=________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程|2x-1|=3。

2.求函數(shù)f(x)=√(x^2-4x+3)的定義域。

3.已知向量a=(1,2,-1),b=(2,-1,1)，求向量a·b(數(shù)量積)和向量a×b(向量積)。

4.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+1)dx。

5.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求它在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A解析：f(x)=|x-1|+|x+2|表示數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)1和點(diǎn)-2的距離之和，最小值為1到-2的距離，即3。

2.D解析：A={1,2}。若B為空集，則a=0滿(mǎn)足A∪B=A；若B非空，則a=1/2或a=1時(shí)，B={1/2}或B={1}，都有A∪B=A。故a取值集合為{0,1,2}。

3.B解析：移項(xiàng)得3x-2x>1+5，即x>6。

4.A解析：|a+b|=|(1+3,2-1)|=|(4,1)|=√(4^2+1^2)=√17。注意題目問(wèn)的是模長(zhǎng)，若題目問(wèn)的是向量a+b的坐標(biāo)，則為(4,1)。

5.B解析：sin(x+π/3)=sinxcos(π/3)+cosxsin(π/3)=(√3/2)sinx+(1/2)cosx。其圖像關(guān)于(π/6,0)中心對(duì)稱(chēng)。

6.A解析：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面或反面的概率都是1/2。

7.B解析：圓心到弦的距離d=√(r^2-(AB/2)^2)=√(3^2-2^2)=√5。注意題目問(wèn)的是圓心到弦的距離，不是弦心距。

8.C解析：f'(x)=e^x，f'(0)=e^0=1。切線(xiàn)方程為y-f(0)=f'(0)(x-0)，即y-1=1(x-0)，得y=x+1。

9.C解析：a_2=2a_1+1=3,a_3=2a_2+1=7,a_4=2a_3+1=15,a_5=2a_4+1=31。S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1+3+7+15+31=57。檢查選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，重新計(jì)算：S_5=a_1+(a_1+1)+(a_1+3)+(a_1+7)+(a_1+15)=5a_1+1+3+7+15=5a_1+26。a_1=1,S_5=5*1+26=31。再次檢查，發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)關(guān)系a_n=2a_{n-1}+1應(yīng)為a_n=2a_{n-1}+1(n≥2)，若n=1,a_1=1。則a_2=2*1+1=3,a_3=2*3+1=7,a_4=2*7+1=15,a_5=2*15+1=31。S_5=1+3+7+15+31=57。選項(xiàng)無(wú)57，再次檢查題目條件，若a_n=2a_{n-1}+1(n≥2)且a_1=1，則數(shù)列是1,3,7,15,31,...。求前n項(xiàng)和S_n?？紤]S_n-S_{n-1}=a_n=2a_{n-1}+1。則S_n-S_{n-1}=2(S_{n-1}-S_{n-2})+1。令b_n=S_n-S_{n-1}，則b_n=2b_{n-1}+1。這是一個(gè)非齊次一階線(xiàn)性遞推關(guān)系。求b_n。b_n-1=2(b_{n-1}-1)。所以{b_n-1}是首項(xiàng)為b_1-1=1-1=0，公比為2的等比數(shù)列。b_n-1=0*2^{n-1}=0。所以b_n=1。即S_n-S_{n-1}=1。累加從k=2到n：S_n-S_1=Σ_{k=2}^n(S_k-S_{k-1})=Σ_{k=2}^n1=n-1。因?yàn)镾_1=a_1=1，所以S_n-1=n-1，即S_n=n。所以S_5=5。檢查題目條件，若a_n=2a_{n-1}+1(n≥2)且a_1=1，則S_n=n。若題目條件是a_n=2a_{n-1}+1(n≥2)且a_1=0，則S_n=2n-1。若題目條件是a_n=2a_{n-1}+1(n≥2)且a_1=2，則S_n=2n。根據(jù)S_5=5，可知a_1=1。故S_5=5。選項(xiàng)中無(wú)5，題目或答案有誤。假設(shè)題目條件為a_n=2a_{n-1}+1(n≥2)且a_1=1，則S_n=n。S_5=5。此題答案應(yīng)為5。但選項(xiàng)無(wú)5，可能是題目印刷或設(shè)定錯(cuò)誤。如果必須選擇一個(gè)，且假設(shè)題目意圖是考察標(biāo)準(zhǔn)等比數(shù)列求和，可能題目想表達(dá)a_n=2a_{n-1}+1(n≥2),a_1=1，但計(jì)算S_n時(shí)犯了錯(cuò)誤，誤用了等比求和公式或關(guān)系。根據(jù)推導(dǎo)S_n=n。若題目條件是a_n=2a_{n-1}(n≥2),a_1=1，則S_n=2^n-1，S_5=31。若題目條件是a_n=a_{n-1}+1(n≥2),a_1=1，則S_n=n(n+1)/2，S_5=15。若題目條件是a_n=2a_{n-1}+1(n≥2),a_1=0，則S_n=2n-1，S_5=9。由于選項(xiàng)中只有5，且推導(dǎo)S_n=n是基于題目給出的遞推關(guān)系a_n=2a_{n-1}+1,a_1=1，故答案應(yīng)為5。此題存在歧義。

10.A解析：向量AB=B-A=(3-1,0-2)=(2,-2)。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,D解析：y=2x+1是一次函數(shù)，斜率為2>0，單調(diào)遞增；y=log_2(x)是指數(shù)函數(shù)的逆函數(shù)，底數(shù)2>1，在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增。y=x^2在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，故不是在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增。y=1/x在(-∞,0)和(0,+∞)上分別單調(diào)遞減和單調(diào)遞增，故不是在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增。

2.A解析：由勾股定理a^2+b^2=c^2，即3^2+4^2=5^2，所以9+16=25，成立。因此三角形ABC是直角三角形。

3.A,B,D解析：向量a=(1,-1)與向量(2,-2),(-1,1),(-2,2)的坐標(biāo)成比例（都是1或-1），故這三個(gè)向量都與向量a平行。向量(1,1)的坐標(biāo)不成比例，故不與向量a平行。

4.A,B解析：函數(shù)y=sin(x)的圖像向右平移π/4個(gè)單位得到y(tǒng)=sin(x-π/4)。函數(shù)y=sin(x)的圖像向左平移π/4個(gè)單位得到y(tǒng)=sin(x+π/4)=sin(x-(-π/4))。圖像關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)得到y(tǒng)=-sin(x)。所以A和B都是正確的變換。

5.A,B,C解析：根據(jù)邏輯命題的真值表，“p或q”為真，當(dāng)且僅當(dāng)p為真或q為真或p、q都為真。故A正確?！皃且q”為真，當(dāng)且僅當(dāng)p為真且q為真。故B正確。“非p”為真，即p為假。故C正確?！叭魀則q”為真，當(dāng)p為假或q為真。此時(shí)非p為真。但如果p為真且q為假，“若p則q”為假。此時(shí)非p為假。所以D不一定正確。

三、填空題答案及解析

1.1解析：f(1)=a(1)^2+b(1)+c=a+b+c=0。f(-1)=a(-1)^2+b(-1)+c=a-b+c=2。對(duì)稱(chēng)軸x=1，即-b/(2a)=1，得b=-2a。將b=-2a代入a+b+c=0得a-2a+c=0,-a+c=0,c=a。將b=-2a,c=a代入a-b+c=2得a-(-2a)+a=2,4a=2,a=1/2。則c=1/2。b=-2*(1/2)=-1。所以a+b+c=(1/2)+(-1)+(1/2)=0。另一種解法：對(duì)稱(chēng)軸x=1，說(shuō)明x=1是方程ax^2+bx+c=0的根。所以a(1)^2+b(1)+c=0，即a+b+c=0。

2.a_n=-5/3+7/3*n解析：設(shè)公差為d。a_5=a_1+4d=10。a_10=a_1+9d=25。兩式相減：(a_1+9d)-(a_1+4d)=25-10=>5d=15=>d=3。將d=3代入a_5=a_1+4d=10=>a_1+4*3=10=>a_1+12=10=>a_1=-2。所以a_n=a_1+(n-1)d=-2+(n-1)*3=-2+3n-3=3n-5。或者a_n=a_5+(n-5)d=10+(n-5)*3=10+3n-15=3n-5。

3.(-∞,-1]∪(0,+∞)解析：A∩B={x|x>0}∩{x|x<-1}=?。所以(A∩B)的補(bǔ)集=U\(?)=U=R。即(-∞,-1]∪(0,+∞)。

4.-2解析：u⊥v意味著u·v=0。u·v=(3,k)·(1,2)=3*1+k*2=3+2k。令3+2k=0=>2k=-3=>k=-3/2。

5.3解析：lim(x→0)(sin3x/x)=lim(x→0)(sin3x/3x)*3=1*3=3。使用了標(biāo)準(zhǔn)極限公式lim(x→0)(sinx/x)=1，其中x需要趨近于0。

四、計(jì)算題答案及解析

1.解：|2x-1|=3分兩種情況：

情況1：2x-1=3=>2x=4=>x=2。

情況2：2x-1=-3=>2x=-2=>x=-1。

所以方程的解為x=2或x=-1。

2.解：函數(shù)f(x)=√(x^2-4x+3)的定義域是使根號(hào)內(nèi)部表達(dá)式非負(fù)的x的集合。即x^2-4x+3≥0。

因式分解：(x-1)(x-3)≥0。

解不等式：x∈(-∞,1]∪[3,+∞)。

所以定義域?yàn)?-∞,1]∪[3,+∞)。

3.解：向量a=(1,2,-1),b=(2,-1,1)。

向量a的數(shù)量積（點(diǎn)積）a·b=1*2+2*(-1)+(-1)*1=2-2-1=-1。

向量a的向量積（叉積）a×b=|ijk|

=|12-1|

=|2-11|

=i(2*(-1)-(-1)*1)-j(1*1-(-1)*2)+k(1*(-1)-2*2)

=i(-2+1)-j(1+2)+k(-1-4)

=-i-3j-5k

=(-1,-3,-5)。

4.解：∫(x^2+2x+1)dx=∫x^2dx+∫2xdx+∫1dx

=x^3/3+2*(x^2/2)+x+C

=x^3/3+x^2+x+C

其中C是積分常數(shù)。

5.解：f(x)=x^3-3x^2+2。求f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值。

首先求導(dǎo)數(shù)：f'(x)=3x^2-6x。

令f'(x)=0=>3x(x-2)=0=>x=0或x=2。

計(jì)算函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和駐點(diǎn)的值：

f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2。

f(0)=0^3-3(0)^2+2=0-0+2=2。

f(2)=2^3-3(2)^2+2=8-12+2=-2。

f(3)=3^3-3(3)^2+2=27-27+2=2。

比較這些函數(shù)值：f(-1)=-2,f(0)=2,f(2)=-2,f(3)=2。

所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值為2，最小值為-2。

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、函數(shù)概念與性質(zhì)

1.函數(shù)定義：映射關(guān)系，定義域、值域。

2.函數(shù)表示法：解析法、列表法、圖像法。

3.函數(shù)基本性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性（增減性）、奇偶性（奇函數(shù)f(-x)=-f(x)，偶函數(shù)f(-x)=f(x)）、周期性（f(x+T)=f(x)）、有界性。

4.函數(shù)圖像變換：平移（左右平移y=f(x±h)，上下平移y=f(x)±k）、伸縮（橫向伸縮y=f(kx)，縱向伸縮y=kf(x)）、對(duì)稱(chēng)（關(guān)于x軸y=-f(x)，關(guān)于y軸y=f(-x)，關(guān)于原點(diǎn)y=-f(-x)）。

二、集合與邏輯

1.集合基本概念：元素、集合表示（列舉法、描述法）、空集、全集。

2.集合基本關(guān)系：包含（子集A?B，真子集A?B）、相等（A=B）。

3.集合基本運(yùn)算：并集（A∪B）、交集（A∩B）、補(bǔ)集（A^C或U\A）、差集（A-B）。

4.集合運(yùn)算性質(zhì)：交換律、結(jié)合律、分配律、德摩根律。

5.邏輯命題：簡(jiǎn)單命題、復(fù)合命題（“非”、“且”、“或”）、真值表、充分條件與必要條件。

三、基本初等函數(shù)

1.冪函數(shù)：y=x^α(α為實(shí)數(shù))的圖像和性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性）。

2.指數(shù)函數(shù)：y=a^x(a>0,a≠1)的圖像和性質(zhì)（單調(diào)性、過(guò)點(diǎn)(0,1)）。

3.對(duì)數(shù)函數(shù)：y=log_a(x)(a>0,a≠1)的圖像和性質(zhì)（單調(diào)性、過(guò)點(diǎn)(1,0)）。

4.三角函數(shù)：y=sin(x),y=cos(x),y=tan(x),y=cot(x)的定義、圖像、性質(zhì)（定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性）。

5.反三角函數(shù)：y=arcsin(x),y=arccos(x),y=arctan(x)的定義、值域、圖像。

四、方程與不等式

1.方程：線(xiàn)性方程、一元二次方程、分式方程、無(wú)理方程、指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程的解法。

2.不等式：線(xiàn)性不等式、一元二次不等式、分式不等式、無(wú)理不等式、絕對(duì)值不等式的解法。

3.不等式性質(zhì)：傳遞性、同向不等式相加、異向不等式相減、同向不等式正數(shù)相乘、負(fù)數(shù)相乘變號(hào)等。

五、向量代數(shù)

1.向量概念：有向線(xiàn)段、向量的模（長(zhǎng)度）、方向、單位向量、零向量。

2.向量表示：幾何表示（有向線(xiàn)段）、坐標(biāo)表示（平面直角坐標(biāo)系或空間直角坐標(biāo)系）。

3.向量運(yùn)算：加法（幾何法、坐標(biāo)法）、減法（幾何法、坐標(biāo)法）、數(shù)乘（幾何法、坐標(biāo)法）、數(shù)量積（點(diǎn)積、內(nèi)積，坐標(biāo)表示a·b=ax*bx+ay*by，幾何表示a·b=|a||b|cosθ）、向量積（叉積、外積，坐標(biāo)表示a×b=(-ay,ax)，幾何表示垂直于a、b構(gòu)成的平面，模|a×b|=|a||b|sinθ，方向符合右手定則）。

4.向量應(yīng)用：求模、求方向、判斷平行、判斷垂直、力與位移做功、力矩等。

六、數(shù)列與極限

1.數(shù)列：定義（數(shù)列是定義域?yàn)镹或其子集的函數(shù)）、通項(xiàng)公式a_n、前n項(xiàng)和S_n。

2.等差數(shù)列：定義（a_{n+1}-a_n=d，d為公差）、通項(xiàng)公式a_n=a_1+(n-1)d、前n項(xiàng)和公式S_n=n(a_1+a_n)/2=na_1+n(n-1)d/2。

3.等比數(shù)列：定義（a_{n+1}/a_n=q，q為公比）、通項(xiàng)公式a_n=a_1*q^(n-1)、前n項(xiàng)和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)(q≠1)，S_n=n*a_1(q=1)。

4.數(shù)列極限：定義（lim(n→∞)a_n=A，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，a_n無(wú)限趨近于常數(shù)A）、運(yùn)算法則（有限個(gè)數(shù)列極限的和、差、積、商的極限等于各數(shù)列極限的和、差、積、商，注意商的極限要求分母極限不為0）、常用極限（lim(n→∞)C=C，lim(n→∞)a^n=1(|a|<1)，lim(n→∞)(a^n/b^n)=(a/b)^n(a,b>0)，lim(n→∞)(1+1/n)^n=e）。

5.函數(shù)極限：定義（lim(x→x_0)f(x)=A，當(dāng)x無(wú)限趨近于x_0時(shí)，f(x)無(wú)限趨近于常數(shù)A）、左右極限、極限四則運(yùn)算法則、兩個(gè)重要極限（lim(x→0)(sinx)/x=1，lim(x→0)(1-cosx)/x^2=1/2）。

七、微積分初步

1.導(dǎo)數(shù)：定義（f'(x)=lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h，表示函數(shù)在點(diǎn)x處的變化率或瞬時(shí)速度）、幾何意義（切線(xiàn)斜率）、物理意義（瞬時(shí)速度）、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（和差積商、復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t）。

2.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（f'(x)>0增，f'(x)<0減）、求函數(shù)的極值和最值（駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)、端點(diǎn)）、求函數(shù)的切線(xiàn)方程。

3.積分：不定積分（∫f(x)dx，表示f(x)的所有原函數(shù)的集合，原函數(shù)加上常數(shù)C）、定積分（∫[a,b]f(x)dx，表示函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的曲邊梯形面積，與原函數(shù)有關(guān)：∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的一個(gè)原