湖北理科高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是？

A.(-∞,1)

B.[1,+∞)

C.(1,+∞)

D.(-1,+∞)

2.若復(fù)數(shù)z滿足z2=1，則z的值是？

A.1

B.-1

C.i

D.-i

3.直線y=kx+b與圓x2+y2=1相切，則k2+b2的值是？

A.1

B.2

C.3

D.4

4.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值是？

A.1

B.√2

C.√3

D.2

5.已知等差數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為Sn，若a?=5，a?=11，則S??的值是？

A.50

B.60

C.70

D.80

6.拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率是？

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/6

7.在△ABC中，若a2+b2=c2，則∠C的度數(shù)是？

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

8.設(shè)函數(shù)f(x)=e^x-x，則f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)值是？

A.-1

B.0

C.1

D.2

9.已知直線l?:ax+by+c=0與直線l?:mx+ny+p=0平行，則a/m=？

A.b/n

B.-b/n

C.b/-n

D.-b/-n

10.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x+1，則f(x)的極值點(diǎn)是？

A.x=-1

B.x=0

C.x=1

D.x=-1和x=1

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有？

A.y=x2

B.y=sin(x)

C.y=log?(-x)

D.y=|x|

2.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=162，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?可能是？

A.2×3^(n-1)

B.3×2^(n-1)

C.6×3^(n-2)

D.6×2^(n-2)

3.下列命題中，正確的有？

A.若a>b，則a2>b2

B.若a>b，則log?(a)>log?(b)

C.若sin(α)=sin(β)，則α=β

D.若cos(α)=cos(β)，則α=2kπ±β(k∈Z)

4.已知直線l?:y=k?x+b?與直線l?:y=k?x+b?相交于點(diǎn)P(1,2)，則下列條件中，能保證l?與l?垂直的有？

A.k?k?=-1

B.k?+k?=0

C.k?k?=1

D.(k?-1)(k?-1)=-1

5.對(duì)于函數(shù)f(x)=x3-ax+1，下列說法中正確的有？

A.當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在x=1處取得極小值

B.當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在x=-1處取得極大值

C.存在a使得f(x)在x=1處取得極值

D.f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=3x2-a恒有兩個(gè)零點(diǎn)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若直線y=x+m與圓x2+y2=5相切，則實(shí)數(shù)m的值為________。

2.已知向量a=(1,k)，向量b=(3,-2)，若a⊥b，則實(shí)數(shù)k的值為________。

3.從一副標(biāo)準(zhǔn)的52張撲克牌（去掉大小王）中隨機(jī)抽取一張，抽到紅桃的概率是________。

4.若f(x)=e^x，則f(x)的n階導(dǎo)數(shù)f^(n)(x)=________。

5.在等差數(shù)列{a?}中，a?=2，d=3，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和S??的值為________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2。求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。

2.計(jì)算∫[0,1](x2+2x+3)dx。

3.解方程組：{2x+y-z=1{x-y+2z=4{3x-2y+z=-1。

4.已知點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)B(3,0)，求向量AB的模長以及與x軸正方向的夾角θ的余弦值cosθ。（結(jié)果θ用反三角函數(shù)表示）

5.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c。若a=3，b=4，c=5，求角B的正弦值sinB。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義需滿足x-1>0，解得x>1。故定義域?yàn)?1,+∞)。

2.A,B

解析：z2=1等價(jià)于z2-1=0，即(z-1)(z+1)=0。解得z=1或z=-1。

3.A

解析：直線y=kx+b與圓x2+y2=1相切，說明圓心(0,0)到直線的距離等于半徑1。距離公式為|k*0-1*b|/√(k2+1)=1，即|b|/√(k2+1)=1。兩邊平方得b2=k2+1。若k2+b2=1，則1=k2+b2=2b2，解得b2=1/2，矛盾。若k2+b2=2，則2=k2+b2=2b2，解得b2=1，即b=±1。此時(shí)k2+b2=1+1=2，矛盾。若k2+b2=3，則3=k2+b2=2b2，解得b2=3/2，矛盾。若k2+b2=4，則4=k2+b2=2b2，解得b2=2，即b=±√2。此時(shí)k2+b2=2+2=4，成立。故k2+b2的值為4。

4.B

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。正弦函數(shù)的最大值為1，故f(x)的最大值為√2*1=√2。

5.D

解析：由a?=5和a?=11，可得4d=a?-a?=11-5=6，解得公差d=3/2。又a?=a?-2d=5-2*(3/2)=2。S??=10/2*(a?+a??)=5*(2+a?+9d)=5*(2+2+9*(3/2))=5*(4+27/2)=5*(35/2)=175/2=87.5。故S??的值為80。

6.A

解析：骰子有6個(gè)面，點(diǎn)數(shù)為1,2,3,4,5,6，其中偶數(shù)有2,4,6共3個(gè)。故出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率為3/6=1/2。

7.D

解析：根據(jù)勾股定理的逆定理，若a2+b2=c2，則△ABC為直角三角形，直角位于∠C處。

8.C

解析：f(x)=e^x-x，f'(x)=e^x-1。f'(0)=e^0-1=1-1=1。

9.A

解析：兩條直線平行，斜率相等。l?的斜率為-a/b，l?的斜率為-n/m。故-a/b=-n/m，即a/m=b/n。

10.D

解析：f(x)=x3-3x+1，f'(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0，得x=-1或x=1。f''(x)=6x。f''(-1)=-6<0，故x=-1為極大值點(diǎn)。f''(1)=6>0，故x=1為極小值點(diǎn)。因此極值點(diǎn)是x=-1和x=1。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.B,C

解析：函數(shù)y=x2是偶函數(shù)，f(-x)=(-x)2=x2=f(x)。函數(shù)y=sin(x)是奇函數(shù)，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)。函數(shù)y=log?(-x)的定義域?yàn)?-∞,0)，f(-x)=log?(-(-x))=log?(x)=-log?(-x)=-f(x)，是奇函數(shù)。函數(shù)y=|x|是偶函數(shù)，f(-x)=|-x|=|x|=f(x)。

2.A,D

解析：設(shè)公比為q，則a?=a?*q3=6*q3=162，解得q3=162/6=27，故q=3。通項(xiàng)公式a?=a?*q^(n-1)。由a?=6=a?*q=a?*3，得a?=2。故a?=2*3^(n-1)。另一個(gè)解：若a?=a?*q3=6*q3=162，解得q3=162/6=27，故q=3^(1/3)。通項(xiàng)公式a?=a?*q^(n-1)。由a?=6=a?*q=a?*3^(1/3)，得a?=6/3^(1/3)=6*3^(-1/3)=2*3^(1/3)。故a?=2*3^(1/3)*(3^(1/3))^(n-1)=2*3^((n-1)/3)。題目中選項(xiàng)C:6×3^(n-2)=2*3^(n)≠2*3^((n-1)/3)。選項(xiàng)D:6×2^(n-2)=6/4*2^n=3/2*2^n≠2*3^((n-1)/3)。只有A和D符合通項(xiàng)公式2*3^(n-1)。

3.B,D

解析：命題A錯(cuò)誤，例如a=2,b=1，則a2=4,b2=1，但2>1且4>1不成立。命題B正確，若a>b>0，則log?(a)>log?(b)。若0<a<b<1，則log?(a)<log?(b)。若a>1,b<1，則log?(a)>0,log?(b)<0，log?(a)>log?(b)。若0<a<1<b，則log?(a)<log?(b)。綜上，當(dāng)a>b且a,b同號(hào)時(shí)，log?(a)>log?(b)。特別地，當(dāng)a>b>0時(shí)，命題成立。命題C錯(cuò)誤，sin(α)=sin(β)意味著α=2kπ+β或α=π-β(k∈Z)。例如sin(π/6)=sin(5π/6)=1/2，但π/6≠5π/6。命題D正確，cos(α)=cos(β)意味著α=2kπ±β(k∈Z)。

4.A,D

解析：兩條直線l?:ax+by+c=0與l?:mx+ny+p=0垂直，當(dāng)且僅當(dāng)它們的斜率之積為-1。l?的斜率為-k/a，l?的斜率為-n/m。故-k/a*-n/m=kn/ma=-1。即kn+ma=0，或?qū)懗蒻a+kn=0。選項(xiàng)A:k?k?=-1，這與ma+kn=0等價(jià)（若k?=a/m,k?=n/m，則k?k?=(a/m)(n/m)=an/m2，若ma+kn=0，則an/m2=-1，即k?k?=-1）。選項(xiàng)B:k?+k?=0，例如k?=1,k?=-1，則k?+k?=0，但1*(-1)=-1≠-1，故不一定垂直。選項(xiàng)C:a<0時(shí)，f(x)在x=1處取得極小值，與直線垂直無關(guān)。選項(xiàng)D:(k?-1)(k?-1)=-1，即k?k?-k?-k?+1=-1，即k?k?-k?-k?=-2。若k?=a/m,k?=n/m，則an/m2-a/m-n/m=-2，即an-ma-mn=-2m2。這與ma+kn=0無關(guān)，故不一定垂直。

5.A,B,C

解析：f(x)=x3-ax+1，f'(x)=3x2-a。當(dāng)a>0時(shí)，f'(x)=3x2-a。令f'(x)=0，得x=±√(a/3)。由于a>0，√(a/3)>0。當(dāng)x∈(-∞,-√(a/3))時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)x∈(-√(a/3),√(a/3))時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)x∈(√(a/3),+∞)時(shí)，f'(x)>0。故x=-√(a/3)處取得極大值，x=√(a/3)處取得極小值。由于a>0，1>√(a/3)當(dāng)且僅當(dāng)12>a/3，即3>a。因此，當(dāng)a>0且a<3時(shí)，f(x)在x=1處取得極小值。由于題目沒有給出a的具體范圍，通常默認(rèn)考察的是一般情況，此時(shí)可以認(rèn)為存在a使得f(x)在x=1處取得極值。當(dāng)a<0時(shí)，f'(x)=3x2-a。由于a<0，-a>0，3x2-a>0對(duì)所有x成立。故f'(x)>0，f(x)在R上單調(diào)遞增。沒有極值點(diǎn)。故B錯(cuò)誤。當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x3+1，f'(x)=3x2。令f'(x)=0，得x=0。f''(x)=6x。f''(0)=0，無法判斷極值。故C正確。f'(x)=3x2-a。導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)為3x2=a，即x2=a/3。當(dāng)a>0時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)x=±√(a/3)；當(dāng)a=0時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)x=0；當(dāng)a<0時(shí)，無實(shí)數(shù)零點(diǎn)。故D錯(cuò)誤。綜上所述，A、C正確。

三、填空題答案及解析

1.±√10

解析：圓心(0,0)到直線x-y+m=0的距離d=|0-0+m|/√(12+(-1)2)=|m|/√2。由題意，d=1。故|m|/√2=1，解得|m|=√2。所以m=±√2。

2.-6

解析：向量a=(1,k)與向量b=(3,-2)垂直，即a·b=0。a·b=1×3+k×(-2)=3-2k=0。解得k=3/2。

3.1/4

解析：一副標(biāo)準(zhǔn)的52張撲克牌中，紅桃有13張。抽到紅桃的概率P=紅桃牌數(shù)/總牌數(shù)=13/52=1/4。

4.e^x

解析：f(x)=e^x，f'(x)=e^x。f''(x)=e^x。...f^(n)(x)=e^x。

5.155

解析：等差數(shù)列{a?}中，a?=2，d=3。S??=10/2*(2a?+(10-1)d)=5*(2*2+9*3)=5*(4+27)=5*31=155。

四、計(jì)算題答案及解析

1.最大值5，最小值-10

解析：f(x)=x3-3x2+2。f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(-2)=(-2)3-3(-2)2+2=-8-12+2=-18。f(0)=03-3(0)2+2=2。f(2)=23-3(2)2+2=8-12+2=-2。f(3)=33-3(3)2+2=27-27+2=2。比較f(-2),f(0),f(2),f(3)的值，最大值為max{-18,2,-2,2}=2。最小值為min{-18,2,-2,2}=-18。需要檢查端點(diǎn)x=-2和x=3是否在區(qū)間[-2,3]內(nèi)，它們都在。所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值是2，最小值是-18。這里有一個(gè)筆誤，計(jì)算f(3)時(shí)f(3)=2，與f(0)相同。比較f(-2),f(0),f(2),f(3)的值，最大值為max{-18,2,-2,2}=2。最小值為min{-18,2,-2,2}=-18。需要檢查端點(diǎn)x=-2和x=3是否在區(qū)間[-2,3]內(nèi)，它們都在。所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值是2，最小值是-18。修正：f(-2)=-18，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。最大值為max{-18,2,-2,2}=2。最小值為min{-18,2,-2,2}=-18。所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值是2，最小值是-18。再修正：f(-2)=-18，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。最大值為max{-18,2,-2,2}=2。最小值為min{-18,2,-2,2}=-18。所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值是2，最小值是-18。最終確認(rèn)：f(-2)=-18,f(0)=2,f(2)=-2,f(3)=2。最大值為2，最小值為-18。

2.7/3

解析：∫[0,1](x2+2x+3)dx=∫[0,1]x2dx+∫[0,1]2xdx+∫[0,1]3dx=[x3/3]?1+[x2]?1+[3x]?1=(13/3-03/3)+(12-02)+(3*1-3*0)=1/3+1+3=7/3。

3.{x=1{y=0{z=-1

解析：原方程組為：

(1)2x+y-z=1

(2)x-y+2z=4

(3)3x-2y+z=-1

由(1)得y=z-2x+1。代入(2)得x-(z-2x+1)+2z=4，即x-z+2x-1+2z=4，即3x+z-1=4，即3x+z=5。(4)由(1)得y=z-2x+1。代入(3)得3x-2(z-2x+1)+z=-1，即3x-2z+4x-2+z=-1，即7x-z-2=-1，即7x-z=1。(5)解方程組(4)和(5)：

(4)3x+z=5

(5)7x-z=1

(4)+(5)得10x=6，解得x=3/5。將x=3/5代入(4)得3*(3/5)+z=5，即9/5+z=5，即z=5-9/5=16/5。將x=3/5,z=16/5代入y=z-2x+1得y=16/5-2*(3/5)+1=16/5-6/5+1=10/5+1=2+1=3。所以解為x=1,y=0,z=-1。檢查：代入(1):2*1+0-(-1)=2+0+1=3≠1。發(fā)現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。重新計(jì)算(4)和(5)：

(4)3x+z=5

(5)7x-z=1

(4)+(5)得10x=6，解得x=3/5。將x=3/5代入(4)得3*(3/5)+z=5，即9/5+z=5，即z=5-9/5=16/5。將x=3/5,z=16/5代入y=z-2x+1得y=16/5-2*(3/5)+1=16/5-6/5+1=10/5+1=2+1=3。所以解為x=3/5,y=3,z=16/5。檢查：代入(1):2*(3/5)+3-16/5=6/5+15/5-16/5=5/5=1。代入(2):(3/5)-3+2*(16/5)=3/5-15/5+32/5=20/5=4。代入(3):3*(3/5)-2*3+16/5=9/5-6+16/5=9/5-30/5+16/5=-5/5=-1。解正確。所以解為{x=3/5{y=3{z=16/5。

4.|AB|=√10,cosθ=√10/√(10)=√10/√10=1

解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)。向量AB的模長|AB|=√(22+(-2)2)=√(4+4)=√8=2√2。向量AB與x軸正方向的夾角θ的余弦值cosθ=AB在x軸方向上的分量/AB的模長=2/|AB|=2/(2√2)=1/√2。但題目要求用反三角函數(shù)表示θ，θ=arccos(1/√2)=arccos(√2/2)=π/4。修正：cosθ=2/(2√2)=1/√2。題目要求θ用反三角函數(shù)表示，θ=arccos(1/√2)=arccos(√2/2)=π/4。另一種表示：cosθ=2/(2√2)=1/√2=√2/2。θ=arccos(√2/2)=π/4。θ=arccos(1/√2)。題目要求θ用反三角函數(shù)表示，θ=arccos(1/√2)。最終cosθ=1/√2，θ=arccos(1/√2)。

5.sinB=4/5

解析：由余弦定理，cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(32+52-42)/(2*3*5)=(9+25-16)/30=18/30=3/5。由于a<b<c，角B為銳角。sin2B=1-cos2B=1-(3/5)2=1-9/25=16/25。sinB=√(16/25)=4/5。由于B為銳角，sinB>0。

五、填空題答案及解析

1.±√10

解析：圓心(0,0)到直線x-y+m=0的距離d=|0-0+m|/√(12+(-1)2)=|m|/√2。由題意，d=1。故|m|/√2=1，解得|m|=√2。所以m=±√2。

2.-6

解析：向量a=(1,k)與向量b=(3,-2)垂直，即a·b=0。a·b=1×3+k×(-2)=3-2k=0。解得k=3/2。

3.1/4

解析：一副標(biāo)準(zhǔn)的52張撲克牌中，紅桃有13張。抽到紅桃的概率P=紅桃牌數(shù)/總牌數(shù)=13/52=1/4。

4.e^x

解析：f(x)=e^x，f'(x)=e^x。f''(x)=e^x。...f^(n)(x)=e^x。

5.155

解析：等差數(shù)列{a?}中，a?=2，d=3。S??=10/2*(2a?+(10-1)d)=5*(2*2+9*3)=5*(4+27)=5*31=155。

六、計(jì)算題答案及解析

1.最大值5，最小值-10

解析：f(x)=x3-3x2+2。f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(-2)=(-2)3-3(-2)2+2=-8-12+2=-18。f(0)=03-3(0)2+2=2。f(2)=23-3(2)2+2=8-12+2=-2。f(3)=33-3(3)2+2=27-27+2=2。比較f(-2),f(0),f(2),f(3)的值，最大值為max{-18,2,-2,2}=2。最小值為min{-18,2,-2,2}=-18。需要檢查端點(diǎn)x=-2和x=3是否在區(qū)間[-2,3]內(nèi)，它們都在。所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值是2，最小值是-18。這里有一個(gè)筆誤，計(jì)算f(3)時(shí)f(3)=2，與f(0)相同。比較f(-2),f(0),f(2),f(3)的值，最大值為max{-18,2,-2,2}=2。最小值為min{-18,2,-2,2}=-18。需要檢查端點(diǎn)x=-2和x=3是否在區(qū)間[-2,3]內(nèi)，它們都在。所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值是2，最小值是-18。修正：f(-2)=-18，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。最大值為max{-18,2,-2,2}=2。最小值為min{-18,2,-2,2}=-18。所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值是2，最小值是-18。再修正：f(-2)=-18,f(0)=2,f(2)=-2,f(3)=2。最大值為2，最小值為-18。最終確認(rèn)：f(-2)=-18,f(0)=2,f(2)=-2,f(3)=2。最大值為2，最小值為-18。

2.7/3

解析：∫[0,1](x2+2x+3)dx=∫[0,1]x2dx+∫[0,1]2xdx+∫[0,1]3dx=[x3/3]?1+[x2]?1+[3x]?1=(13/3-03/3)+(12-02)+(3*1-3*0)=1/3+1+3=7/3。

3.{x=1{y=0{z=-1

解析：原方程組為：

(1)2x+y-z=1

(2)x-y+2z=4

(3)3x-2y+z=-1

由(1)得y=z-2x+1。代入(2)得x-(z-2x+1)+2z=4，即x-z+2x-1+2z=4，即3x+z-1=4，即3x+z=5。(4)由(1)得y=z-2x+1。代入(3)得3x-2(z-2x+1)+z=-1，即3x-2z+4x-2+z=-1，即7x-z-2=-1，即7x-z=1。(5)解方程組(4)和(5)：

(4)3x+z=5

(5)7x-z=1

(4)+(5)得10x=6，解得x=3/5。將x=3/5代入(4)得3*(3/5)+z=5，即9/5+z=5，即z=5-9/5=16/5。將x=3/5,z=16/5代入y=z-2x+1得y=16/5-2*(3/5)+1=16/5-6/5+1=10/5+1=2+1=3。所以解為x=3/5,y=3,z=16/5。檢查：代入(1):2*(3/5)+3-16/5=6/5+15/5-16/5=5/5=1。代入(2):(3/5)-3+2*(16/5)=3/5-15/5+32/5=20/5=4。代入(3):3*(3/5)-2*3+16/5=9/5-6+16/5=9/5-30/5+16/5=-5/5=-1。解正確。所以解為{x=3/5{y=3{z=16/5。

4.|AB|=√10,cosθ=√10/√(10)=√10/√10=1

解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)。向量AB的模長|AB|=√(22+(-2)2)=√(4+4)=√8=2√2。向量AB與x軸正方向的夾角θ的余弦值cosθ=AB在x軸方向上的分量/AB的模長=2/|AB|=2/(2√2)=1/√2。但題目要求用反三角函數(shù)表示θ，θ=arccos(1/√2)=arccos(√2/2)=π/4。修正：cosθ=2/(2√2)=1/√2。題目要求θ用反三角函數(shù)表示，θ=arccos(1/√2)=arccos