高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市常青聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由，得，所以，故選：2.下列命題中不正確的是（）A.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面B.正四棱錐的側(cè)面都是正三角形C.用一個(gè)平面去截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺(tái)D.平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形【答案】BC【解析】對(duì)于A，圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，正四棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺(tái)，而不是用一個(gè)平面去截圓錐，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于D，平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形，故選項(xiàng)D正確，故選：BC.3.已知向量，滿足，則（）A. B. C.20 D.5【答案】A【解析】，，故.故選：A.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，因?yàn)?，所?故選：A.5.在中，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如圖所示，由題意，.故選：C.6.在中，已知，是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，則角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知，，，解得或，由韋達(dá)定理得，，，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，故選：B．7.已知直線是函數(shù)圖像的任意兩條對(duì)稱(chēng)軸，且的最小值為，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橹本€是函數(shù)圖像的任意兩條對(duì)稱(chēng)軸，且的最小值為，所以，即（），所以，所以，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為.故選：D8.歡樂(lè)港灣摩天輪——“灣區(qū)之光”是深圳的一處標(biāo)志性景點(diǎn)．已知某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為128米，轉(zhuǎn)盤(pán)直徑為120米，等距設(shè)置有60個(gè)座艙，開(kāi)啟后按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周大約需要30min，若甲、乙兩人的座艙之間有4個(gè)座艙，則甲、乙兩人座艙高度差的最大值為（）.A.米 B.米C.米 D.米【答案】B【解析】甲乙兩人的座艙所連的弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為，則，以摩天輪中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)某一時(shí)刻甲座艙位于處，乙座艙位于處，則兩人高度差，其中，故米.故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)為復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），下列命題正確的有（）A.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為2 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AC【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，則，其虛部為2，故A正確；對(duì)于B，取，此時(shí)，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，故，故C正確；對(duì)于D，若，則，解得，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知向量，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的相反向量是B.若，則C.在上的投影向量為D.若，則【答案】AC【解析】對(duì)于A，由相反向量的定義，即可得到的相反向量是，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，又，且，所以，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，，所以在上的投影向量為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，又，且，所以，解得，故D錯(cuò)誤．故選：AC.11.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則下列說(shuō)法正確的是().A.若，則B.若，則為銳角三角形C.若，則為等腰三角形D.若，，這樣的三角形有兩解，則的取值范圍為【答案】AD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，故A正確；對(duì)于B，由余弦定理，可知為銳角，但是無(wú)法判斷角和角是否為銳角，所以無(wú)法判斷是否為銳角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以或，即或，即為等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槿切斡袃山?，所以，即，即的取值范圍為，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】，則原式．故答案為：13.在中，，點(diǎn)滿足，若，則的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】由題意可得：.所以.故答案為：.14.分別是內(nèi)角的對(duì)邊，，，則面積的最大值為_(kāi)___________.【答案】【解析】∵，∴，即：,正弦定理可得，∵，可得：，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)三角形為正三角形．∴．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù)，且，其中為虛數(shù)單位．（1）求復(fù)數(shù)z；（2）已知復(fù)平面上的四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．解：（1）因?yàn)?，則，所以，所以，又，所以，所以．（2）可知，，，所以，，．設(shè)，又為平行四邊形，則，即，解得，故．點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為．16.已知向量是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中．（1）若，且，求向量的坐標(biāo)；（2）若是單位向量，且，求與的夾角.（1）解：設(shè)，因?yàn)?，且，可得，解得或，所以?（2）解：因?yàn)?，且為單位向量，可得，，又因?yàn)?，可得，所以，則，因?yàn)?，所?17.如圖，在凸四邊形中，已知．（1）若，，求的值；（2）若，四邊形的面積為4，求的值．解：（1）在△中，∵，∴．在△中，由正弦定理得，，∴．∵，∴，∴．（2）在△、△中，由余弦定理得，，，從而①，由得，②，得，，∴．18.在銳角中，分別是角的對(duì)邊，.（1）求角的大??；（2）求取值范圍；（3）當(dāng)取得最大值時(shí)，在所在平面內(nèi)取一點(diǎn)（與在兩側(cè)），使得線段，求面積的最大值.解：（1）因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以；?）在銳角中，由（1）得，，所以，由，所以所以的取值范圍為；（3）當(dāng)取得最大值時(shí)，，解得；在中，令，則，所以；又，所以，所以.所以，而，故當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為.19.定義非零向量的“相伴函數(shù)”為（），向量稱(chēng)為函數(shù)（）的“相伴向量”（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）設(shè)（），寫(xiě)出函數(shù)的相伴向量；（2）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，記向量的相伴函數(shù)，若且，求的取值范圍；（3）已知，，為（2）中函數(shù)，，請(qǐng)問(wèn)在的圖象上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．解：