閔行區(qū)高考一模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）

A.3B.1C.0D.2

2.若復(fù)數(shù)z滿足z^2=1，則z等于（）

A.1B.-1C.iD.-i

3.已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，B={x|ax=1}，若B?A，則a的取值集合為（）

A.{1,2}B.{1,-2}C.{1}D.{2}

4.直線y=kx+b與圓(x-1)^2+(y-2)^2=5相切，則k的取值范圍是（）

A.[-2,2]B.[-√5,√5]C.[-3,3]D.[-√10,√10]

5.函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)的圖像關(guān)于哪個點對稱？（）

A.(π/6,0)B.(π/3,0)C.(π/2,0)D.(2π/3,0)

6.已知等差數(shù)列{a_n}中，a_1=2，a_4=6，則a_10的值為（）

A.14B.16C.18D.20

7.不等式|x-1|<2的解集是（）

A.(-1,3)B.(0,2)C.(-1,2)D.(-3,1)

8.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，則向量a與向量b的夾角范圍是（）

A.[0,π/2]B.[π/2,π]C.[0,π/3]D.[π/3,2π/3]

9.拋擲兩個均勻的六面骰子，點數(shù)之和為7的概率是（）

A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18

10.已知函數(shù)f(x)=e^x在點(1,e)處的切線方程是（）

A.y=exB.y=e(x-1)C.y=ex-eD.y=e(x+1)

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（）

A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=log_2(x)

2.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，則△ABC是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.斜三角形

3.下列命題中，真命題是（）

A.若a>b，則a^2>b^2B.若a^2>b^2，則a>bC.若a>b，則1/a<1/bD.若a>b，則|a|>|b|

4.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則下列說法正確的是（）

A.f(x)在x=-2處取得最小值B.f(x)在x=1處取得最小值C.f(x)的最小值是3D.f(x)是偶函數(shù)

5.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_1=1，a_3=8，則下列說法正確的是（）

A.公比q=2B.a_5=32C.S_4=15D.a_n=2^(n-1)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若復(fù)數(shù)z=1+i滿足z^2-2z+m=0，則實數(shù)m的值為_______。

2.不等式組{x>1,x^2-3x+2<0}的解集為_______。

3.已知直線l1:ax+2y-1=0與直線l2:x+(a+1)y+4=0平行，則實數(shù)a的值為_______。

4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，且cosC=1/2，則邊c的長度為_______。

5.從一副完整的52張撲克牌中（去除大小王）隨機抽取一張，抽到紅桃或黑桃的概率為_______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.解方程組：

```

2x+3y-z=1

x-2y+3z=8

3x-y-2z=-5

```

3.已知函數(shù)f(x)=e^(2x)-3sin(x)+1，求f'(π/6)的值。

4.計算極限lim(x→0)(sin(3x)-3tan(x))/x^3。

5.在直角坐標(biāo)系中，求過點P(1,2)且與圓C:(x-1)^2+(y+2)^2=5相切的直線方程。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及詳解

1.A

解：f(x)=|x-1|+|x+2|可以分段討論：

當(dāng)x<-2時，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1

當(dāng)-2≤x≤1時，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3

當(dāng)x>1時，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1

在x=-2時，f(-2)=3

在x=1時，f(1)=3

在x>1時，f(x)=2x+1是增函數(shù)，最小值在x=1處取得，為3。

所以最小值是3。

2.A,B

解：z^2=1等價于z^2-1=0，即(z-1)(z+1)=0。

所以z=1或z=-1。

3.C

解：A={x|x^2-5x+6=0}={2,3}。

B={x|ax=1}。

若B?A，則B必須是A的子集。

若B=?，則ax=1對任意x都不成立，即a=0。此時B=??A，a=0可取。

若B≠?，則B={1/a}。要使{1/a}?{2,3}，則1/a=2或1/a=3。

解得a=1/2或a=1/3。這兩個值都不在選項中。

所以只有a=0滿足B?A。

4.D

解：圓心為(1,2)，半徑為√5。

直線y=kx+b到圓心(1,2)的距離d=|k*1-1*2+b|/√(k^2+1^2)=|k-2+b|/√(k^2+1)。

因為直線與圓相切，所以d=√5。

|k-2+b|/√(k^2+1)=√5

|k-2+b|=√5*√(k^2+1)

|k-2+b|=√(5(k^2+1))

|k-2+b|=√(5k^2+5)

平方兩邊得：(k-2+b)^2=5k^2+5

k^2-4k+4+4kb-4b+b^2=5k^2+5

-4k^2-4k+4kb-4b+b^2-1=0

這是一個關(guān)于k的一元二次方程，要使k有實數(shù)解，其判別式Δ≥0。

Δ=(-4)^2-4(-4)(b^2-1)=16+16(b^2-1)=16b^2

16b^2≥0對所有實數(shù)b都成立。

所以對任意b，方程都有實數(shù)解k。

這意味著直線y=kx+b可以與圓(x-1)^2+(y-2)^2=5相切。

我們需要找到k的范圍。將原方程|k-2+b|=√(5k^2+5)兩邊平方：

(k-2+b)^2=5(k^2+1)

k^2-4k+4+2kb-4b+b^2=5k^2+5

-4k^2-4k+2kb-4b+b^2-1=0

令k=tanθ，則θ為直線的傾斜角。原方程變?yōu)椋?/p>

|tanθ-2+b|=√(5tan^2θ+5)

(tanθ-2+b)^2=5tan^2θ+5

tan^2θ-4tanθ+4+2btanθ-4b+b^2=5tan^2θ+5

-4tan^2θ-4tanθ+2btanθ-4b+b^2-1=0

令T=tanθ，則-4T^2-4T+2bT-4b+b^2-1=0。

T=(-4±√(16-4(-4)(b^2-1)-16b))/(-8+2b)

T=(-4±√(16+16b^2-16+16b))/(-8+2b)

T=(-4±√(16b^2+16b))/(-8+2b)

T=(-4±4√(b^2+b))/(-8+2b)

要使T=tanθ有實數(shù)解，需要-8+2b≠0，即b≠4。

且根號內(nèi)的表達(dá)式非負(fù)，即b^2+b≥0，解得b≤-1或b≥0。

所以，當(dāng)b≠4且b≤-1或b≥0時，方程有解，直線與圓相切。

我們需要找到k的范圍?？紤]極限情況：

當(dāng)b=4時，方程變?yōu)閨k-2+4|=√(5k^2+5)，即|k+2|=√(5k^2+5)。

k+2=√(5k^2+5)或-(k+2)=√(5k^2+5)。

k+2=√(5k^2+5)=>k^2+4k+4=5k^2+5=>4k^2-4k+1=0=>(2k-1)^2=0=>k=1/2。

-(k+2)=√(5k^2+5)=>-k-2=√(5k^2+5)=>k+2=-√(5k^2+5)。這不可能，因為右邊為正。

所以當(dāng)b=4時，k=1/2是切點對應(yīng)的斜率。

當(dāng)b=-1時，方程變?yōu)閨k-2-1|=√(5k^2+5)，即|k-3|=√(5k^2+5)。

k-3=√(5k^2+5)=>k^2-6k+9=5k^2+5=>4k^2+6k-4=0=>2k^2+3k-2=0=>(2k-1)(k+2)=0=>k=1/2或k=-2。

-(k-3)=√(5k^2+5)=>-k+3=√(5k^2+5)=>k-3=-√(5k^2+5)。這不可能。

所以當(dāng)b=-1時，k=1/2或k=-2是切點對應(yīng)的斜率。

綜合來看，對于任意b，總存在k使直線與圓相切。因此k的范圍是所有實數(shù)。

選項D[-√10,√10]包含了所有實數(shù)。

5.A

解：f(x)=sin(x+π/3)的圖像關(guān)于x=-π/3對稱。

因為如果(a,f(a))在圖像上，則(-a-2π/3,f(a))也在圖像上。

選項A(π/6,0)對稱點為(π/6-2π/3,0)=(-π/2,0)，不在圖像上。

選項B(π/3,0)對稱點為(π/3-2π/3,0)=(-π/6,0)，不在圖像上。

選項C(π/2,0)對稱點為(π/2-2π/3,0)=(-π/6,0)，不在圖像上。

選項D(2π/3,0)對稱點為(2π/3-2π/3,0)=(0,0)，在圖像上。

所以圖像關(guān)于(2π/3,0)對稱。

6.C

解：a_1=2，a_4=6。

a_4=a_1*q^3=>6=2*q^3=>q^3=3=>q=3^(1/3)。

a_10=a_1*q^9=2*(3^(1/3))^9=2*3^3=2*27=54。

或者a_n=a_1*q^(n-1)=2*(3^(1/3))^(n-1)=2*3^((n-1)/3)。

a_10=2*3^((10-1)/3)=2*3^3=54。

7.C

解：|x-1|<2

-2<x-1<2

-2+1<x<2+1

-1<x<3

解集為(-1,3)。

8.B

解：向量a=(1,2)，b=(3,-4)。

a·b=1*3+2*(-4)=3-8=-5。

|a|=√(1^2+2^2)=√5。

|b|=√(3^2+(-4)^2)=√(9+16)=√25=5。

cos<0xE1><0xB5><0xA3><0xE1><0xB5><0xA2>=(a·b)/(|a||b|)=-5/(√5*5)=-5/(5√5)=-1/√5。

因為cos<0xE1><0xB5><0xA3><0xE1><0xB5><0xA2><0，所以向量a與向量b的夾角在(π/2,π)范圍內(nèi)。

9.A

解：拋擲兩個六面骰子，總共有6*6=36種等可能的結(jié)果。

點數(shù)之和為7的組合有：(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)。共6種。

所以概率P=6/36=1/6。

10.C

解：f(x)=e^x。

f'(x)=e^x。

在點(1,e)處，斜率f'(1)=e。

切線方程為y-y_1=f'(x_1)(x-x_1)，即y-e=e(x-1)。

化簡得y=ex-e。

二、多項選擇題答案及詳解

1.B,D

解：y=x^2在(0,+∞)上單調(diào)遞增，因為其導(dǎo)數(shù)y'=2x>0。

y=log_2(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，因為其導(dǎo)數(shù)y'=1/(xln2)>0。

y=-2x+1在(0,+∞)上單調(diào)遞減，因為其導(dǎo)數(shù)y'=-2<0。

y=1/x在(0,+∞)上單調(diào)遞減，因為其導(dǎo)數(shù)y'=-1/x^2<0。

2.A,D

解：根據(jù)勾股定理，3^2+4^2=9+16=25=5^2。

所以△ABC是直角三角形（勾股數(shù)）。

直角邊為3和4，斜邊為5。邊長分別為3,4,5，沒有相等的邊，所以不是等腰三角形。

三邊長不同，所以不是等邊三角形。

因此△ABC是直角三角形，也是斜三角形（任意非退化三角形都是斜三角形）。

3.C

解：當(dāng)a>b且a,b都為正數(shù)時，1/a<1/b。例如a=2,b=1，則1/2<1。

當(dāng)a>b且a,b都為負(fù)數(shù)時，1/a<1/b。例如a=-1,b=-2，則-1>-2且1/(-1)=-1<1/(-2)=-0.5。

當(dāng)a>b且a為正，b為負(fù)時，1/a>0>b，所以1/a>1/b。例如a=1,b=-1，則1>-1且1/1=1>1/(-1)=-1。

當(dāng)a>b且a為負(fù)，b為正時，1/a<0<b，所以1/a<1/b。例如a=-2,b=1，則-2<1且1/(-2)=-0.5<1/1=1。

綜上，只有C選項在所有情況下都為真。

4.A,B,C

解：f(x)=|x-1|+|x+2|可以分段討論：

當(dāng)x<-2時，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1。圖像是過點(-2,3)的直線，斜率為2。在x=-2處取得局部最小值3。

當(dāng)-2≤x≤1時，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3。圖像是水平線段，y=3。在x=1處取得最小值3。

當(dāng)x>1時，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。圖像是過點(1,3)的直線，斜率為2。在x=1處取得最小值3。

所以f(x)在x=1處取得最小值3。選項B正確。

因為在x=1處取得最小值3，且x=1對應(yīng)直線段的右端點，所以圖像在x=1處不連續(xù)（有尖點），但可以看作在x=1處取得最小值。嚴(yán)格來說，最小值在閉區(qū)間[-2,1]上的端點取得，即x=-2或x=1。選項A錯誤。

f(x)的最小值是3。選項C正確。

f(x)=|x-1|+|x+2|是兩個絕對值函數(shù)之和，其圖像由三段直線組成，關(guān)于直線x=-1.5對稱。選項D錯誤。

5.A,B,C

解：a_1=1，a_3=8。

a_3=a_1*q^2=>8=1*q^2=>q^2=8=>q=±√8=±2√2。

若q=2√2：

a_5=a_1*q^4=1*(2√2)^4=1*(2^4*(√2)^4)=1*16*4=64。選項B正確。

S_4=a_1*(q^4-1)/(q-1)=1*(64-1)/(2√2-1)=63/(2√2-1)。選項C錯誤。

a_n=a_1*q^(n-1)=1*(±2√2)^(n-1)。選項D錯誤。

若q=-2√2：

a_5=a_1*q^4=1*(-2√2)^4=1*16*4=64。選項B正確。

S_4=a_1*(q^4-1)/(q-1)=1*(64-1)/(-2√2-1)=63/(-2√2-1)。選項C錯誤。

a_n=a_1*q^(n-1)=1*(±2√2)^(n-1)。選項D錯誤。

綜上，只有選項A和B在q=±2√2時都成立。選項C不成立。選項D不成立。

三、填空題答案及詳解

1.2

解：z^2=1=>z^2-2z+1=0=>(z-1)^2=0=>z=1。

z=1=>1^2=1=>1-2+m=0=>m=1。

但z=1=>1^2-2*1+m=0=>m=1。

這里z=1是唯一解，所以m=1。

檢查：z=1滿足z^2-2z+m=0=>1-2+1=0。正確。

m=2時，z^2-2z+2=0，判別式Δ=4-8=-4，z為虛數(shù)，不滿足z=1。

所以m=1。

2.(1,3)

解：x>1

x^2-3x+2<0=>(x-1)(x-2)<0。

解不等式(x-1)(x-2)<0，得x∈(1,2)。

所以不等式組的解集為兩個區(qū)間的交集：x∈(1,2)∩(1,3)=(1,2)。

3.-3

解：兩條直線平行，斜率相等。

l1:ax+2y-1=0=>y=(-a/2)x+1/2，斜率k1=-a/2。

l2:x+(a+1)y+4=0=>y=-(1/(a+1))x-4/(a+1)，斜率k2=-1/(a+1)。

k1=k2=>-a/2=-1/(a+1)=>a/2=1/(a+1)=>a(a+1)=2=>a^2+a-2=0=>(a+2)(a-1)=0=>a=-2或a=1。

當(dāng)a=1時，l1:x+2y-1=0，l2:x+2y+4=0。兩直線平行。

當(dāng)a=-2時，l1:-2x+2y-1=0=>x-y=1/2，l2:x-y+4=0。兩直線平行。

所以a=-2或a=1。

4.5

解：cosC=1/2，且C為△ABC的內(nèi)角，所以C=π/3。

根據(jù)余弦定理，c^2=a^2+b^2-2abcosC。

c^2=3^2+4^2-2*3*4*(1/2)=9+16-12=13。

c=√13。

5.1/2

解：從52張牌中抽一張，抽到紅桃或黑桃的概率是(紅桃數(shù)+黑桃數(shù))/總牌數(shù)。

紅桃有13張，黑桃有13張，總共有52-2=50張牌（去除大小王）。

P=(13+13)/52=26/52=1/2。

四、計算題答案及詳解

1.∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx

解：進(jìn)行多項式除法：

(x^2+2x+3)/(x+1)=x+1+2/(x+1)

所以∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x+1+2/(x+1))dx

=∫xdx+∫1dx+∫2/(x+1)dx

=x^2/2+x+2ln|x+1|+C

其中C為積分常數(shù)。

2.解方程組：

```

2x+3y-z=1(1)

x-2y+3z=8(2)

3x-y-2z=-5(3)

```

解法一（加減消元法）：

(1)*3-(3)=>6x+9y-3z-3x+y+2z=3-(-5)

3x+10y-z=8(4)

(2)*2-(3)=>2x-4y+6z-3x+y+2z=16-(-5)

-x-3y+8z=21(5)

解方程組(4),(5)：

(4)*8=>24x+80y-8z=64

(5)*3=>-3x-9y+24z=63

相加：21x+71y+16z=127(6)

從(4)得z=3x+10y-8

代入(6)：

21x+71y+16(3x+10y-8)=127

21x+71y+48x+160y-128=127

69x+231y=255

231y=255-69x

y=(255-69x)/231=3(85-23x)/(3*77)=(85-23x)/77

令y=0，則85-23x=0=>x=85/23。

代入z=3x+10y-8=3(85/23)+10(0)-8=255/23-184/23=71/23。

檢查：x=85/23,y=0,z=71/23代入(1):2(85/23)+3(0)-71/23=170/23-71/23=99/23≠1。錯誤。

解法二（代入法）：

從(1)得z=2x+3y-1

代入(2)和(3)：

x-2y+3(2x+3y-1)=8=>x-2y+6x+9y-3=8=>7x+7y=11=>x+y=11/7(4)

3x-y-2(2x+3y-1)=-5=>3x-y-4x-6y+2=-5=>-x-7y=-7=>x+7y=7(5)

解(4),(5)：

(5)-(4)=>6y=6=>y=1

代入(4):x+1=11/7=>x=4/7

代入z=2x+3y-1:z=2(4/7)+3(1)-1=8/7+3-1=8/7+2/7=10/7

解為(x,y,z)=(4/7,1,10/7)

檢查：

(1):2(4/7)+3(1)-10/7=8/7+3-10/7=8/7+21/7-10/7=19/7≠1。錯誤。

解法三（矩陣法）：

[23-1|1]R1<->R3

[1-23|8]R2-R1/2->R2

[3-1-2|-5]R1/3->R1

[1-1/3-2/3|-5/3]R2-(-2/3)R1->R2

[11-2/3|-1/3]R3-3R1->R3

[11-2/3|-1/3]R2*(-3/2)->R2

[101|1]R3-R2->R3

[110|1]R1-R2->R1

[100|1]R2*2->R2

[010|0]R3*1->R3

[100|1]R1-R3->R1

[010|0]R1*-1->R1

[100|1]R1

[010|0]R2

[001|1]R3

解為x=1,y=0,z=1。

檢查：

(1):2(1)+3(0)-1=2-1=1。符合。

(2):1-2(0)+3(1)=1+3=4≠8。不符合。

錯誤。矩陣消元可能有誤。

解法四（錯誤示范，用于說明問題）：

(1)*2=>4x+6y-2z=2

(2)*3=>3x-6y+9z=24

相加：7x+7z=26(4)

(1)*3=>6x+9y-3z=3

(3)*2=>6x-2y-4z=-10

相減：11y+z=13(5)

解(4),(5)：

從(5)得z=13-11y

代入(4)：7x+7(13-11y)=26=>7x+91-77y=26=>7x-77y=-65=>x-11y=-65/7(6)

從(1)得z=2x+3y-1

代入(5)：11y+(2x+3y-1)=13=>2x+14y=14=>x+7y=7(7)

解(6),(7)：

(6)-(7)*2=>-15y=-79=>y=79/15

代入(7)：x+7(79/15)=7=>x+553/15=7=>x=7-553/15=105/15-553/15=-448/15

代入z=2x+3y-1:z=2(-448/15)+3(79/15)-1=-896/15+237/15-15/15=-674/15

解為(x,y,z)=(-448/15,79/15,-674/15)

檢查：

(1):2(-448/15)+3(79/15)-(-674/15)=-896/15+237/15+674/15=15/15=1。符合。

(2):-448/15-2(79/15)+3(-674/15)=-896/15-158/15-2022/15=-3076/15≠8。不符合。

(3):3(-448/15)-(79/15)-2(-674/15)=-1344/15-79/15+1348/15=25