2025年元二次方程競賽題庫本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。一、選擇題（每題5分，共25分）1.若\(x^2-mx+n=0\)的兩個(gè)根的倒數(shù)和為3，則\(m\)與\(n\)的關(guān)系是？A.\(m=3n\)B.\(m=-3n\)C.\(mn=3\)D.\(m+n=3\)2.方程\(x^2+px+q=0\)的一個(gè)根是另一個(gè)根的平方，則\(p\)與\(q\)的關(guān)系是？A.\(p^2=q\)B.\(q^2=p\)C.\(p+q=1\)D.\(p-q=1\)3.若方程\(x^2+ax+b=0\)的兩個(gè)根的平方和為2，則\(a\)與\(b\)的關(guān)系是？A.\(a^2+b=2\)B.\(a^2-b=2\)C.\(a^2+2b=2\)D.\(a^2-2b=2\)4.已知方程\(x^2-2ax+a^2-1=0\)的一個(gè)根為1，則\(a\)的值是？A.1B.-1C.2D.-25.若方程\(x^2+px+q=0\)的兩個(gè)根的差的平方為4，則\(p\)與\(q\)的關(guān)系是？A.\(p^2-q=4\)B.\(q^2-p=4\)C.\(p^2+q=4\)D.\(p^2-2q=4\)二、填空題（每題5分，共25分）1.若方程\(x^2-mx+n=0\)的兩個(gè)根為\(\alpha\)和\(\beta\)，且\(\alpha+\beta=3\)，\(\alpha\beta=2\)，則\(m\)和\(n\)的值分別為______和______。2.若方程\(x^2+px+q=0\)的一個(gè)根為2，另一個(gè)根為\(-\frac{1}{2}\)，則\(p\)和\(q\)的值分別為______和______。3.若方程\(x^2+ax+b=0\)的兩個(gè)根的平方和為5，且\(a=3\)，則\(b\)的值為______。4.若方程\(x^2-2x+k=0\)的兩個(gè)根的差的平方為4，則\(k\)的值為______。5.若方程\(x^2+px+q=0\)的兩個(gè)根的倒數(shù)和為\(\frac{1}{3}\)，則\(p\)和\(q\)的值分別為______和______。三、解答題（每題10分，共30分）1.已知方程\(x^2-mx+n=0\)的兩個(gè)根的倒數(shù)和為2，求\(m\)和\(n\)的關(guān)系。2.若方程\(x^2+px+q=0\)的一個(gè)根是另一個(gè)根的平方，求\(p\)和\(q\)的關(guān)系。3.若方程\(x^2+ax+b=0\)的兩個(gè)根的平方和為3，且\(a=2\)，求\(b\)的值。四、證明題（每題10分，共20分）1.已知方程\(x^2-mx+n=0\)的兩個(gè)根為\(\alpha\)和\(\beta\)，證明：\(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)。2.已知方程\(x^2+px+q=0\)的兩個(gè)根的倒數(shù)和為\(\frac{1}{3}\)，證明：\(p\)和\(q\)滿足\(3p+q=0\)。答案與解析選擇題1.D.\(m+n=3\)解析：設(shè)方程的兩個(gè)根為\(\alpha\)和\(\beta\)，則\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{m}{n}=3\)，所以\(m+n=3\)。2.A.\(p^2=q\)解析：設(shè)方程的兩個(gè)根為\(\alpha\)和\(\alpha^2\)，則\(\alpha+\alpha^2=-p\)，\(\alpha\cdot\alpha^2=q\)，所以\(p=-(\alpha+\alpha^2)\)，\(q=\alpha^3\)，從而\(p^2=q\)。3.A.\(a^2+b=2\)解析：設(shè)方程的兩個(gè)根為\(\alpha\)和\(\beta\)，則\(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=a^2-2b=2\)，所以\(a^2+b=2\)。4.A.1解析：將\(x=1\)代入方程\(x^2-2ax+a^2-1=0\)，得\(1-2a+a^2-1=0\)，即\(a^2-2a=0\)，解得\(a=0\)或\(a=2\)，但\(a=1\)也是方程的根，所以\(a=1\)。5.D.\(p^2-2q=4\)解析：設(shè)方程的兩個(gè)根為\(\alpha\)和\(\beta\)，則\((\alpha-\beta)^2=4\)，即\(\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2=4\)，所以\(p^2-2q=4\)。填空題1.\(m=3\)，\(n=2\)解析：由\(\alpha+\beta=3\)，\(\alpha\beta=2\)，得\(m=3\)，\(n=2\)。2.\(p=-\frac{7}{2}\)，\(q=1\)解析：由根與系數(shù)的關(guān)系，得\(p=-\left(2-\frac{1}{2}\right)=-\frac{7}{2}\)，\(q=2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=1\)。3.\(b=\frac{7}{2}\)解析：由\(\alpha^2+\beta^2=5\)，且\(a=3\)，得\(3^2-2b=5\)，解得\(b=\frac{7}{2}\)。4.\(k=3\)解析：設(shè)方程的兩個(gè)根為\(\alpha\)和\(\beta\)，則\((\alpha-\beta)^2=4\)，即\(\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2=4\)，所以\(4-k=4\)，解得\(k=3\)。5.\(p=-\frac{2}{3}\)，\(q=\frac{3}{2}\)解析：由\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{1}{3}\)，得\(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{1}{3}\)，所以\(p=-\frac{2}{3}\)，\(q=\frac{3}{2}\)。解答題1.解：設(shè)方程的兩個(gè)根為\(\alpha\)和\(\beta\)，則\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{m}{n}=2\)，所以\(m=2n\)。2.解：設(shè)方程的兩個(gè)根為\(\alpha\)和\(\alpha^2\)，則\(\alpha+\alpha^2=-p\)，\(\alpha\cdot\alpha^2=q\)，所以\(p=-(\alpha+\alpha^2)\)，\(q=\alpha^3\)，從而\(p^2=q\)。3.解：設(shè)方程的兩個(gè)根為\(\alpha\)和\(\beta\)，則\(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=4-2b=3\)，且\(a=2\)，所以\(b=\frac{7}{2}\)。證明題1.證明：設(shè)方程的兩個(gè)根為\(\alpha\)和\(\beta\)，則\(\alpha+\beta=m\)，\(\alpha\beta=n\)，所以\(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=m^2-2n\)，而\((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=m^2-2n\)，所以\(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\a