2025年上海大學(xué)數(shù)學(xué)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)2.方程\(x^2-5x+6=0\)的根是（）A.\(x=2\)，\(x=3\)B.\(x=-2\)，\(x=-3\)C.\(x=1\)，\(x=6\)D.\(x=-1\)，\(x=-6\)3.若向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(3,m)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m\)的值為（）A.\(4\)B.\(5\)C.\(6\)D.\(7\)4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)5.函數(shù)\(y=\log_2x\)的定義域是（）A.\((0,+\infty)\)B.\([0,+\infty)\)C.\((-\infty,0)\)D.\((-\infty,0]\)6.已知\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\)，則\(\sin\alpha\)的值為（）A.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)7.拋物線\(y^2=8x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((2,0)\)B.\((0,2)\)C.\((-2,0)\)D.\((0,-2)\)8.若\(x+y=3\)，\(xy=2\)，則\(x^2+y^2\)的值為（）A.\(5\)B.\(7\)C.\(9\)D.\(11\)9.直線\(y=2x+1\)與直線\(y=-\frac{1}{2}x+3\)的位置關(guān)系是（）A.平行B.垂直C.重合D.相交但不垂直10.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(2\)人參加活動(dòng)，恰好選到一男一女的概率是（）A.\(\frac{15}{28}\)B.\(\frac{10}{28}\)C.\(\frac{5}{28}\)D.\(\frac{3}{28}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是偶函數(shù)（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=|x|\)D.\(y=e^x\)2.下列屬于基本初等函數(shù)的有（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)3.關(guān)于直線方程\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同時(shí)為\(0\)），正確的說(shuō)法有（）A.當(dāng)\(A=0\)時(shí)，直線平行于\(x\)軸B.當(dāng)\(B=0\)時(shí)，直線平行于\(y\)軸C.斜率\(k=-\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）D.在\(y\)軸上的截距是\(-\frac{C}{B}\)（\(B\neq0\)）4.以下哪些是等比數(shù)列（）A.\(1,2,4,8,\cdots\)B.\(1,-1,1,-1,\cdots\)C.\(2,2,2,2,\cdots\)D.\(1,3,9,27,\cdots\)5.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，集合\(B=\{2,3,4\}\)，則以下正確的有（）A.\(A\capB=\{2,3\}\)B.\(A\cupB=\{1,2,3,4\}\)C.\(A\)的子集個(gè)數(shù)為\(8\)個(gè)D.\(B\)的真子集個(gè)數(shù)為\(7\)個(gè)6.下列不等式中，正確的有（）A.\(x^2+1\geq2x\)B.\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)（\(a,b\geq0\)）C.\(\frac{a}+\frac{a}\geq2\)（\(a,b\)同號(hào)）D.\(x^2-2x+3>0\)7.立體幾何中，以下哪些是平行關(guān)系判定定理（）A.若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行B.若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則這兩個(gè)平面平行C.垂直于同一條直線的兩條直線平行D.若一條直線垂直于一個(gè)平面，則此直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線8.對(duì)于函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A>0\)，\(\omega>0\)），以下說(shuō)法正確的有（）A.\(A\)決定振幅B.\(\omega\)決定周期C.\(\varphi\)決定初相D.其值域是\([-A,A]\)9.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的性質(zhì)有（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為\(2a\)B.短軸長(zhǎng)為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)10.已知\(a\)、\(b\)、\(c\)為實(shí)數(shù)，且\(a>b\)，則下列不等式一定成立的有（）A.\(a+c>b+c\)B.\(ac>bc\)C.\(a^2>b^2\)D.\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)\(y=\tanx\)的定義域是\(x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)。（）3.若\(a>b\)，則\(a^3>b^3\)。（）4.圓\(x^2+y^2=r^2\)的圓心是\((0,0)\)，半徑是\(r\)。（）5.向量\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)垂直。（）6.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2+1\)，則\(a_n=2n-1\)。（）7.函數(shù)\(y=2^x\)在\(R\)上是增函數(shù)。（）8.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{a}x\)。（）9.直線\(x=1\)的傾斜角是\(90^{\circ}\)。（）10.若\(A\)、\(B\)是互斥事件，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^2-4x+3\)的對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和單調(diào)區(qū)間。-答案：對(duì)稱(chēng)軸\(x=-\frac{2a}=2\)。將\(x=2\)代入得頂點(diǎn)坐標(biāo)\((2,-1)\)。單調(diào)遞減區(qū)間是\((-\infty,2)\)，單調(diào)遞增區(qū)間是\((2,+\infty)\)。2.計(jì)算\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)。-答案：\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}×1^3+1)-(\frac{1}{3}×0^3+0)=\frac{4}{3}\)。3.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。-答案：因?yàn)閈(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，\(\alpha\)是第二象限角，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\frac{4}{5}\)，\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{3}{4}\)。4.已知直線\(l_1\)：\(2x-y+1=0\)，\(l_2\)：\(x+my-3=0\)，若\(l_1\perpl_2\)，求\(m\)的值。-答案：兩直線垂直，斜率之積為\(-1\)。\(l_1\)斜率\(k_1=2\)，\(l_2\)斜率\(k_2=-\frac{1}{m}\)，則\(2×(-\frac{1}{m})=-1\)，解得\(m=2\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)的性質(zhì)，包括定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等。-答案：定義域\(x\neq0\)；值域\(y\neq0\)。在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上分別單調(diào)遞減。是奇函數(shù)，因?yàn)閈(f(-x)=-\frac{1}{x}=-f(x)\)。2.探討在立體幾何中，如何確定一個(gè)平面與另一個(gè)平面垂直？-答案：可以利用判定定理，若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面垂直。也可從二面角角度，若二面角為\(90^{\circ}\)，則兩平面垂直。3.說(shuō)說(shuō)在解析幾何中，橢圓、雙曲線、拋物線的定義有何聯(lián)系與區(qū)別？-答案：聯(lián)系：都是平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡。區(qū)別：橢圓是到兩定點(diǎn)距離之和為定值；雙曲線是到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為定值；拋物線是到一定點(diǎn)和定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡。4.舉例說(shuō)明數(shù)列在生活中的應(yīng)用。-答案：如貸款還款，等額本息還款方式就用到數(shù)列知識(shí)。每月還款額固定，其中本金和利息的分配符合數(shù)列規(guī)律。還有細(xì)胞分裂，每次分裂后的