高三數(shù)學第二學期三角函數(shù)與解三角形多選題單元易錯題測試提優(yōu)卷試卷一、三角函數(shù)與解三角形多選題1．在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，，有以下四個命題中正確的是（）A．滿足條件的不可能是直角三角形B．面積的最大值為C．當A=2C時，的周長為D．當A=2C時，若O為的內(nèi)心，則的面積為【答案】BCD【分析】對于A，利用勾股定理的逆定理判斷；對于B，利用圓的方程和三角形的面積公式可得答案；對于C，利用正弦定理和三角函數(shù)恒等變形公式可得答案對于D，由已知條件可得為直角三角形，從而可求出三角形的內(nèi)切圓半徑，從而可得的面積【詳解】對于A，因為，所以由正弦定理得，，若是直角三角形的斜邊，則有，即，得，所以A錯誤；對于B，以的中點為坐標原點，所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，則，設，因為，所以，化簡得，所以點在以為圓心，為半徑的圓上運動，所以面積的最大值為，所以B正確；對于C，由A=2C，可得，由得，由正弦定理得，，即，所以，化簡得，因為，所以化簡得，因為，所以，所以，則，所以，所以，，，因為，所以，所以的周長為，所以C正確；對于D，由C可知，為直角三角形，且，，，，所以的內(nèi)切圓半徑為，所以的面積為所以D正確，故選：BCD【點睛】此題考查三角形的正弦定理和面積公式的運用，考查三角函數(shù)的恒等變換，考查轉(zhuǎn)化能力和計算能力，屬于難題.2．已知函數(shù)且對于都有成立．現(xiàn)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù) B．函數(shù)相鄰的對稱軸距離為C．函數(shù)是偶函數(shù) D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ABCD【分析】先利用已知條件求出的周期，即可得，再利三角函數(shù)圖象的平移伸縮變換得的解析式，在逐一判斷四個選項的正誤即可得正確選項.【詳解】因為對于都有成立所以，，所以對于都成立，可得的周期，所以，所以，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得再把所有點的橫坐標伸長到原來的2倍可得，對于選項A:，故選項A正確；對于選項B：函數(shù)周期為，所以相鄰的對稱軸距離為，故選項B正確；對于選項C：是偶函數(shù)，故選項C正確；對于選項D：當，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項D正確，故選：ABCD【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是由恒成立得出可得的值，求出的解析式.3．在中，角、、的對邊分別為、、，面積為，有以下四個命題中正確的是（）A．的最大值為B．當，時，不可能是直角三角形C．當，，時，的周長為D．當，，時，若為的內(nèi)心，則的面積為【答案】ACD【分析】利用三角形面積公式，余弦定理基本不等式，以及三角換元，數(shù)形結(jié)合等即可判斷選項A；利用勾股定理的逆定理即可判斷選項B；利用正弦定理和三角恒等變換公式即可判斷選項C；由已知條件可得是直角三角形，從而可以求出其內(nèi)切圓的半徑，即可得的面積即可判斷選項D.【詳解】對于選項A：（當且僅當時取等號）.令，，故，因為，且，故可得點表示的平面區(qū)域是半圓弧上的點，如下圖所示：目標函數(shù)上，表示圓弧上一點到點點的斜率，數(shù)形結(jié)合可知，當且僅當目標函數(shù)過點，即時，取得最小值，故可得，又，故可得，當且僅當，，即三角形為等邊三角形時，取得最大值，故選項A正確；對于選項B：因為，所以由正弦定理得，若是直角三角形的斜邊，則有，即，得，故選項B錯誤；對于選項C，由，可得，由得，由正弦定理得，，即，所以，化簡得，因為，所以化簡得，因為，所以，所以，則，所以，所以，，，因為，所以，，所以的周長為，故選項C正確；對于選項D，由C可知，為直角三角形，且，，，，，所以的內(nèi)切圓半徑為，所以的面積為所以選項D正確，故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是正余弦定理以及面積公式，對于A利用面積公式和余弦定理，結(jié)合不等式得，再利用三角換元、數(shù)形結(jié)合即可得證，綜合性較強，屬于難題.4．函數(shù)的部分圖像如圖中實線所示，圖中的M、N是圓C與圖像的兩個交點，其中M在y軸上，C是圖像與x軸的交點，則下列說法中正確的是（）A．函數(shù)的一個周期為 B．函數(shù)的圖像關于點成中心對稱C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．圓C的面積為【答案】BD【分析】根據(jù)圖象，結(jié)合三角函數(shù)的對稱性、周期性、值域以及圓的中心對稱性，可得的坐標，進而可得的最小正周期、對稱中心、單調(diào)減區(qū)間，及圓的半徑，故可判斷選項的正誤.【詳解】由圖知：，，，∴中，即；對稱中心為；單調(diào)減區(qū)間為；圓的半徑，則圓的面積為；綜上，知：AC錯誤，而BD正確.故選：BD.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合了圓的中心對稱性質(zhì)判斷三角函數(shù)的周期、對稱中心、單調(diào)區(qū)間及求圓的面積，屬于難題.5．設函數(shù)，則（）A． B．C．曲線存在對稱軸 D．曲線存在對稱中心【答案】ABC【分析】通過可發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有對稱軸及最大值，再利用函數(shù)對稱中心的特點去分析是否具有對稱中心，再將化為，通過數(shù)形結(jié)合判斷是否成立.【詳解】函數(shù)解析式可化為：，因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，且函數(shù)的圖象也關于直線對稱，故曲線也關于直線對稱，選項C正確；當時，函數(shù)取得最大值，此時取得最小值，故，選項A正確；若，則，令，則恒成立，則在上遞增，又，所以當時，；當時，；作出和的圖象如圖所示：由圖象可知成立，即，選項B正確；對于D選項，若存在一點使得關于點對稱，則，通過分析發(fā)現(xiàn)不可能為常數(shù)，故選項D錯誤.故選：ABC.【點睛】本題考查函數(shù)的綜合應用，涉及函數(shù)的單調(diào)性與最值、對稱軸于對稱中心、函數(shù)與不等式等知識點，難度較大.對于復雜函數(shù)問題一定要化繁為簡，利用熟悉的函數(shù)模型去分析，再綜合考慮，注意數(shù)形結(jié)合、合理變形轉(zhuǎn)化.6．（多選題）如圖，設的內(nèi)角所對的邊分別為，若成等比數(shù)列，成等差數(shù)列，是外一點，，下列說法中，正確的是（）A． B．是等邊三角形C．若四點共圓，則 D．四邊形面積無最大值【答案】ABC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可得，根據(jù)等比中項和余弦定理可得，即是等邊三角形，若四點共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，再利用余弦定理可求，最后，根據(jù)和可得，從而求出最大面積.【詳解】由成等差數(shù)列可得，，又，則，故A正確；由成等比數(shù)列可得，，根據(jù)余弦定理，，兩式相減整理得，，即，又，所以，是等邊三角形，故B正確；若四點共圓，則，所以，，中，根據(jù)余弦定理，，解得，故C正確；四邊形面積為：又，所以，，因為，當四邊形面積最大時，，此時，故D錯誤.故選：ABC【點睛】本題考查解三角形和平面幾何的一些性質(zhì)，同時考查了等差等比數(shù)列的基本知識，綜合性強，尤其是求面積的最大值需要一定的運算，屬難題.7．函數(shù)，是（）A．最小正周期是B．區(qū)間，上的減函數(shù)C．圖象關于點，對稱D．周期函數(shù)且圖象有無數(shù)條對稱軸【答案】BD【分析】根據(jù)絕對值的意義先求出分段函數(shù)的解析式，作出函數(shù)圖象，利用函數(shù)性質(zhì)與圖象關系分別對函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、對稱中心和對稱軸進行判斷求解.【詳解】，則對應的圖象如圖：A中由圖象知函數(shù)的最小正周期為，故錯誤，B中函數(shù)在上為減函數(shù)，故正確，C中函數(shù)關于對稱，故錯誤，D中函數(shù)由無數(shù)條對稱軸，且周期是，故正確故正確的是故選：BD【點睛】本題考查由有解析式的函數(shù)圖象的性質(zhì).有關函數(shù)圖象識別問題的思路:①由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．8．已知θ，且sinθ+cosθ＝a，其中a∈（0，1），則關于tanθ的值，在以下四個答案中，可能正確的是（）A．﹣3 B． C． D．【答案】CD【分析】先由已知條件判斷，，得到，對照四個選項得到正確答案.【詳解】∵sinθ+cosθ＝a，其中a∈（0，1），∴兩邊平方得：1+2，∴，∵，∴可得，，∴，又sinθ+cosθ＝a，所以cosθ＞﹣sinθ，所以所以，所以tanθ的值可能是，．故選：CD【點睛】關鍵點點睛：求出的取值范圍是本題解題關鍵．9．已知函數(shù)，則以下說法中正確的是（）A．的最小正周期為 B．在上單調(diào)遞減C．是的一個對稱中心 D．的最大值為【答案】ABC【分析】利用三角恒等變換思想化簡，利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項的正誤，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項的正誤，利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷C選項的正誤，利用正弦型函數(shù)的有界性可判斷D選項的正誤.【詳解】，所以，.對于A選項，函數(shù)的最小正周期為，A選項正確；對于B選項，當時，，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，B選項正確；對于C選項，，所以，是的一個對稱中心，C選項正確；對于D選項，，D選項錯誤.故選：ABC.【點睛】方法點睛：求較為復雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個整體代入的相應單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)．10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．的圖象關于點中心對稱B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在上有且僅有個最小值點D．的值域為【答案】BC【分析】利用特殊值法可判斷A選項的正誤；化簡函數(shù)在區(qū)間上的解析式，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項的正誤；由可得的周期為，再在上討論函數(shù)的單調(diào)性、最值，可判斷CD選項的正誤.【詳解】對于A選項，因為，，所以，所以的圖象不關于點中心對稱，故A錯誤；對于B選項，當時，，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，B選項正確；對于C選項，，所