第3講等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)1】數(shù)(式)的大小比 a－b0?ab，作差法a－b＝0?a＝b，a－b<0?a<

性質(zhì) 性質(zhì) 性質(zhì)3 性質(zhì)4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性質(zhì) 性質(zhì) 對(duì)稱性性質(zhì) 傳遞性性質(zhì) 可加性性質(zhì) 可乘性性質(zhì) 同向可加性性質(zhì) 同向同正可乘性性質(zhì) 同正可乘方性1a1aac11

<<bxb b ， a aa a ， b b【例1（2025春?秦淮區(qū)校級(jí)月考）已知a，b是非零實(shí)數(shù)，且ab，c是任意實(shí)數(shù)，則 ac4

a2

acb【例2（2025?房山區(qū)一模）已知a，bR，且ab，則 1

a2

a3

ln(ba)【例3（2024秋?西城區(qū)期末）已知a，bR，且ab，下列不等式中一定成立的是 2a

a|b

ab

ab【例4（2024秋?固始縣期末）已知Px22，Q4x3，則 P B．PC．P D．PQx【例5（2024秋?遼寧期末）已知a，b均為正實(shí)數(shù)，若Ma3b3，Na2bab2，則 A．M

B．M?

C．M

D．M…(2)【例6（2025春?皇姑區(qū)校級(jí)期中）已知a，b，cR，則下列不等式中一定成立的是 A．若ab，則|a||b

若abc0，則 若ab01

a b若ab，則c2ab【例7（2025春?楊浦區(qū)校級(jí)月考）如果ab0，那么下列不等式中成立的是 a2

?

1 【例8（2025?瓊山區(qū)校級(jí)月考）b克糖水中含有a克糖(ba0)m克糖(m0，假設(shè)全部溶解，糖水變甜了，將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式 a

am

a

aa b

b

b b

b【例9（2025?開封二模）設(shè)a，bR，則ab的一個(gè)充分不必要條件是 A．1

B．a(chǎn)2b2

C．eba

D．ln(ba)【例10（2025?河北模擬）已知2a?4，1b?0，則2ab的取值范圍 A．[4， D．3【例11（2025?臨汾二模）若3?a?5，2?b?1，則2ab的范圍是 A．[8， B．[4， C．[5， D．[5【例12（2025?玉溪二模）已知x0，x22xyz20，x2yz，則 A．yz

B．xy

C．yx

D．zx【例13（2025?德州模擬）xyzxyz0xyz

x2x2

5,5

2,2

(1

2【例14（2025?南寧模擬）若a，b，cR，則下列說(shuō)法正確的是 若ab0，且ab1 C．若ab0b1

若0a1，則a3D．若cba且ac0，則cb2a 【例15（2024?岳麓區(qū)校級(jí)模擬）一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱黃金．一顧客到店購(gòu)買黃金100g，售貨員先將50g砝碼放在天平左盤中，取出黃金放在右盤中使天平平衡；再將50g砝碼放在天平右盤中，再取出黃金放在左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．你認(rèn)為顧客購(gòu)得的黃金( A．小于 B．等于C．大于 D．與左右臂的長(zhǎng)度有第3講等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)1】數(shù)(式)的大小比 a－b0?ab，作差法a－b＝0?a＝b，a－b<0?a<

性質(zhì) 性質(zhì) 性質(zhì)3 性質(zhì)4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性質(zhì) 性質(zhì) 對(duì)稱性性質(zhì) 傳遞性性質(zhì) 可加性性質(zhì) 可乘性性質(zhì) 同向可加性性質(zhì) 同向同正可乘性性質(zhì) 同正可乘方性1a1aac11

<<bxb b ， a aa a ， b b【例1（2025春?秦淮區(qū)校級(jí)月考）已知a，b是非零實(shí)數(shù)，且ab，c是任意實(shí)數(shù)，則 ac4【答案】

a2

acb【分析】ABD，作差法判斷C【解答】解：當(dāng)c0A錯(cuò)誤．當(dāng)a1b2時(shí)，滿足ab，但a2b2B因?yàn)?1ab，而abab0，則11C

當(dāng)a1b2c3時(shí)，滿足ab，但acbcD錯(cuò)誤．C．【例2（2025?房山區(qū)一模）已知a，bR，且ab，則 1 【答案】

a2

a3

ln(ba)【分析】ABDyx3是增函數(shù)即可判斷C【解答】a1b0，滿足ab1Aa2b2Bln(baln10Dabyx3是增函數(shù)，a3b3．C．【例3（2024秋?西城區(qū)期末）已知a，bR，且ab，下列不等式中一定成立的是 2a

a|b

ab

ab【分析】ABCD【解答】解：當(dāng)a1b2A當(dāng)a1b1B顯然錯(cuò)誤；當(dāng)a2b1C顯然錯(cuò)誤；由abb1D正確．D【例4（2024秋?固始縣期末）已知Px22，Q4x3，則 P B．PP D．PQx【分析】【解答】PQx224x3x24x1x2)25當(dāng)(x2)25即x2 或x25時(shí)，PQ，當(dāng)(x2)25即x2 時(shí)，PQ當(dāng)(x2)25即2 x2 時(shí)，PQ，故P、Q的大小與x有關(guān)．故選：D．【例5（2024秋?遼寧期末）已知a，b均為正實(shí)數(shù)，若Ma3b3，Na2bab2，則 A．M

B．M?

C．M

D．M…【分析】采用作差方法MN【解答】解：QMa3b3Na2bab2MNa3b3(a2bab2(a3a2b)(b3ab2a2(ab)b2(b(ab)(a2b2(ab)2(a由ab均為正實(shí)數(shù)，有(ab)2ab)0，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，所以M…N．D(4)【例6（2025春?皇姑區(qū)校級(jí)期中）已知a，b，cR，則下列不等式中一定成立的是 A．若ab，則|a||b

若abc0，則 若ab01

a b若ab，則c2ab【分析】ADB正確，再由不等式性質(zhì)可得【解答】A，當(dāng)a1b3時(shí)，可知|a||b|A對(duì)于B，因?yàn)閍bc0，可得

a(b b(a c(a

0a b (ac)(b (ac)(b (ac)(b所以 ，故B正確a b對(duì)于C，由ab011，故C Dab，當(dāng)c0c2ab0D錯(cuò)誤．B．【例7（2025春?楊浦區(qū)校級(jí)月考）如果ab0，那么下列不等式中成立的是a2【答案】

?

1 【分析】【解答】AC：因?yàn)閍b0，所以|a||b|a2b2ACB：因?yàn)閍b0，所以ab0D：因?yàn)閍b011D

BC【例8（2025?瓊山區(qū)校級(jí)月考）b克糖水中含有a克糖(ba0)m克糖(m0，假設(shè)全部溶解，糖水變甜了，將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式 a

am

a

aa b

b

b b

b【分析】a，加入mam即aam． bm

b【解答】aam bQaama(bm)b(am) bm b(bm)m(ab)b(b又Qba0m0b(bm0m(ab0m(ab)0b(b第第PAGE7 共11aam0aam b bD【例9（2025?開封二模）設(shè)a，bR，則ab的一個(gè)充分不必要條件是 1

a2b2

eba

ln(ba)【分析】【解答】A，當(dāng)a1，b111，但是不符合ab B，a2b22ab，即(ab)20，即ab，所以a2b22ab是ab對(duì)于Ceba1e0，即ba，故eba1是ab的充要條件，故CDln(ba0，即ba1ba1，故ln(ba0是abD【例10（2025?河北模擬）已知2a?4，1b?0，則2ab的取值范圍 A．[4， D．【分析】【解答】解：因?yàn)?a?41b?0得42a?80?b1，所以42ab9所以2ab的取值范圍為(49)．B．3【例11（2025?臨汾二模）若3?a?5，2?b?1，則2ab的范圍是 A．[8， B．[4， C．[5， D．[5【分析】【解答】62a101?b?252ab12．D．【例12（2025?玉溪二模）已知x0，x22xyz20，x2yz，則 A．yz

B．xy

C．yx

D．zx【分析】x2z22xzyzx22xyz20x22xyy2y2z2，xyxz，即可得解．【解答】x22xyz20x2z22xyQx2z22xzxz2xy2xzx0yzyxzx2yzx2yz矛盾，yz，x22xyz20x22xyy2y2z2，yzyzxy)20xyz時(shí)取等號(hào)，Ayz知，等號(hào)取不到，yzyzxy)20，yzyz0，Qyzx20yz0y2yzQx0x22xyz20x2yz，y2x2，yx，x22xyz20z22xyx2，x2z22x22xy2x(xy)Qx0，yxx2z2(xz)(xz)2x(xy)0，x0z0，xz0，xz，yzx．Ax2【例13（2025?德州模擬）xyzxyz0xyx2

范圍為

5,5

2,2

(1

2x2x2x2【分析】yx2

平方表示成

)21

zx

xyzxyz0求出2z1 【解答】xyzxyz0y(xzx(xzz，故2z1x0， 所以5zx2 故1 4z 所

(x

x2 ) [0,)x2x2

x2

x2

z x2x2

(

5,5) A【例14（2025?南寧模擬）若a，b，cR，則下列說(shuō)法正確的是 A．若ab0，且ab1 C．若ab0b1

B．若0a1，則a3D．若cba且ac0，則cb2a 【分析】BCAD【解答】A，當(dāng)a2b1時(shí)，滿足ab11，A B，Q0a1，a3aa(a21a(a1)(a10，a3a，BC，Qab0，b1ba

0，Ca a(aD，Qcba且ac0，a0c0bR，當(dāng)b0時(shí)，則cb2ab2，D錯(cuò)誤，BC．【例15（2024?岳麓區(qū)校級(jí)模擬）一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱黃金．一顧客到店購(gòu)買黃金100g，售貨員先將50g砝碼放在天平