/上海市統(tǒng)一調(diào)研卷2024學(xué)年第二學(xué)期高三年級數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價一、填空題（第1~6題每題滿分4分，第7~12題每題滿分5分）1．設(shè)，集合，，若，則的取值范圍是________．2．在的二項展開式中，常數(shù)項為________．3．為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則________．4．已知為等比數(shù)列，其前項和為，若，則其公比________．5．在中，若，，，且其面積為；則________．6．設(shè)，，記的導(dǎo)數(shù)為．若函數(shù)為奇函數(shù)，則的值為________．7．已知是正四棱錐，底面邊長為，側(cè)棱長為，若點、、、在某圓柱的一個底面圓周上，點在該圓柱的另一個底面內(nèi)，則該圓柱的體積為________．8．已知是公差不為0的等差數(shù)列，從，，，，，這組數(shù)據(jù)中隨機(jī)刪除2個數(shù)，得到一組新的數(shù)據(jù)，那么這兩組數(shù)據(jù)的極差相同的概率為________．9．圖1為一個正方體的側(cè)面展開圖，在外表面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6．若將這樣三個相后的正方體疊放于地面上，如圖2，則能看見的13個正方形面上的數(shù)字和的最小值為________．10．設(shè)為常數(shù)，，若，且函數(shù)在區(qū)間上恰有一個極小值點，無極大值點，則的值為________．11．已知反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，其兩條漸近線分別為軸和軸，且它們的夾角為，將該雙曲線繞其中心（坐標(biāo)原點）旋轉(zhuǎn)可使其漸近線為直線和，由此可求得曲線的離心率為．已知函數(shù)的圖像也是雙曲線，那么該雙曲線的離心率為________．12．已知設(shè)，，關(guān)于的不等式恰有一個整數(shù)解，則的取值范圍是________．二、選擇題（第13-14題每題滿分4分，第15-16題每題滿分5分）13．設(shè)、是非零實數(shù)，若，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．14．已知、為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）．A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則15．標(biāo)志重捕法是指的是在一定范圍內(nèi)，對活動能力強(qiáng)、活動范圍較大的動物種群進(jìn)行粗略估算的一種生物統(tǒng)計方法，是根據(jù)自由活動的生物在一定區(qū)域內(nèi)被調(diào)查與自然個體數(shù)的比例關(guān)系對自然個體總數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)推斷．在被調(diào)查種群的生存環(huán)境中，捕獲一部分個體，將這些個體進(jìn)行標(biāo)志后再放回原來的環(huán)境，經(jīng)過一段時間后進(jìn)行重捕，根據(jù)重捕中標(biāo)志個體占總捕獲數(shù)的比例來估計該種群的數(shù)量．標(biāo)志重捕法估算種群密度是基于以下幾種假設(shè)：①標(biāo)記個體與未標(biāo)記個體在重捕時被捕獲的概率相等；②在調(diào)查期內(nèi)標(biāo)記的個體沒有死亡，沒有遷出，標(biāo)記物沒有脫落；③標(biāo)記個體在種群中均勻分布．若應(yīng)用標(biāo)志重捕法調(diào)查魚的種群密度，則下列捕魚過程會導(dǎo)致估算結(jié)果與實際情況誤差較大的是（）A．第一次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第二次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚B．第一次用小網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第二次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚C．第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第二次用小網(wǎng)眼點漁網(wǎng)捕魚D．第一次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚，第二次用大網(wǎng)眼的漁網(wǎng)捕魚16．某數(shù)學(xué)建?；顒有〗M在開展主題為“空中不可到達(dá)兩點的測距問題”的探究活動中，抽象并構(gòu)建了如圖所示的幾何模型，該模型中、均與水平面垂直．在已測得可直接到達(dá)的兩點間距離、的情況下，四名同學(xué)用測角儀各自測得下列四組角中的一組角的度數(shù)，其中不能唯一確定與之間的距離的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）已知．（1）求函數(shù)的最小正周期和最大值；（2）在中，若，，求．18．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖，在四面體中，設(shè)棱，其余5條棱長都為2．（1）當(dāng)時，求直線與平面所成角的大小；（2）當(dāng)四面體的表面積最大時，求的值及其體積．19．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）某航天公司研發(fā)一種火箭推進(jìn)器，為測試其性能，對推進(jìn)器飛行距離與損壞零件數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下：飛行距離5663717990102110117損壞零件數(shù)（個）617390105119136149163（1）建立關(guān)于的回歸模型，根據(jù)所給數(shù)據(jù)及回歸模型，求回歸方程及相關(guān)系數(shù)；（精確到0.1，精確到整數(shù)，精確到0.0001）（2）該公司進(jìn)行了第二次測試，從所有同型號推進(jìn)器中隨機(jī)抽取100臺進(jìn)行等距離飛行測試，飛行前對其中60臺進(jìn)行保養(yǎng)，測試結(jié)束后，有20臺報廢，其中保養(yǎng)過的推進(jìn)器占比30%，請根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為推進(jìn)器是否報廢與保養(yǎng)有關(guān)？保養(yǎng)未保養(yǎng)合計報廢20未報廢合計60100參考數(shù)據(jù)、公式如下：，其中，，．保養(yǎng)未保養(yǎng)合計報廢未報廢合計，其中．0.250.10.050.0250.010.0011.3232.7063.8415.0246.63510.828

20．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知拋物線．（1）傾斜角為的直線過的焦點，且與交于、兩點，求；（2）設(shè)是上一點，、是的準(zhǔn)線上兩個不同的點，且圓是的內(nèi)切圓①若，求點的橫坐標(biāo)；②求面積的最小值．

21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知，．（1）證明：當(dāng)時，；（2）設(shè)，試根據(jù)的不同取值，討論關(guān)于的方程解的個數(shù)；（3）求證：有且只有兩條直線與曲線、均相切．參考答案一、填空題1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.41；10.11；11.；12.；11．已知反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，其兩條漸近線分別為軸和軸，且它們的夾角為，將該雙曲線繞其中心（坐標(biāo)原點）旋轉(zhuǎn)可使其漸近線為直線和，由此可求得曲線的離心率為．已知函數(shù)的圖像也是雙曲線，那么該雙曲線的離心率為________．【答案】【解析】漸近線的斜率為該漸近線的傾斜角為∴兩條漸近線和軸的夾角為，∴將雙曲線的圖象繞其中心旋轉(zhuǎn)可使其漸近線變?yōu)橹本€，∴該雙曲線的離心率是二、選擇題13.C；14.C；15.D；16.B三、解答題17.已知．（1）求函數(shù)的最小正周期和最大值；（2）在中，若，，求．【答案】（1），（2）【解析】（1），故函數(shù)的最小正周期為，最大值為．（2）由，解得．

又，從而，因為，所以為銳角，．．18.如圖，在四面體中，設(shè)棱，其余5條棱長都為2．（1）當(dāng)時，求直線與平面所成角的大??；（2）當(dāng)四面體的表面積最大時，求的值及其體積．【答案】（1）（2）【解析】（1）當(dāng)時，為正四面體，

過作平面，垂足為，則點為正的中心，進(jìn)而為直線與平面所成的角．

在Rt中，，從而，故．因此直線與平面所成角的大小為（或均可）。

（2）當(dāng)四面體表面積最大時，和都是直角，此時．取的中點，連接，故，從而平面．由題意，，進(jìn)而可得的面積為．故四面體的體積．19.某航天公司研發(fā)一種火箭推進(jìn)器，為測試其性能，對推進(jìn)器飛行距離與損壞零件數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下：飛行距離5663717990102110117損壞零件數(shù)（個）617390105119136149163（1）建立關(guān)于的回歸模型，根據(jù)所給數(shù)據(jù)及回歸模型，求回歸方程及相關(guān)系數(shù)；（精確到0.1，精確到整數(shù)，精確到0.0001）（2）該公司進(jìn)行了第二次測試，從所有同型號推進(jìn)器中隨機(jī)抽取100臺進(jìn)行等距離飛行測試，飛行前對其中60臺進(jìn)行保養(yǎng)，測試結(jié)束后，有20臺報廢，其中保養(yǎng)過的推進(jìn)器占比30%，請根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為推進(jìn)器是否報廢與保養(yǎng)有關(guān)？保養(yǎng)未保養(yǎng)合計報廢20未報廢合計60100參考數(shù)據(jù)、公式如下：，其中，，．保養(yǎng)未保養(yǎng)合計報廢未報廢合計，其中．0.250.10.050.0250.010.0011.3232.7063.8415.0246.63510.828【答案】見解析【解析】（1）回歸方程．相關(guān)系數(shù)．

（2）保養(yǎng)未保養(yǎng)合計報廢61420未報廢542680合計6040100①提出原假設(shè)：是否報廢與是否保養(yǎng)無關(guān)．

②確定顯著性水平．

③將代入計算公式，得．

④統(tǒng)計決斷：由于，而，從而否定原假設(shè)，因此有的把握認(rèn)為是否報廢與是否保養(yǎng)有關(guān)。20.已知拋物線．（1）傾斜角為的直線過的焦點，且與交于、兩點，求；（2）設(shè)是上一點，、是的準(zhǔn)線上兩個不同的點，且圓是的內(nèi)切圓①若，求點的橫坐標(biāo)；②求面積的最小值．【答案】（1）（2）①3；②【解析】（1）拋物線的焦點坐標(biāo)為，直線的方程為．

設(shè)點的橫坐標(biāo)為．由消,得.于是，故．

（2）①設(shè)，于是有．

拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)．

過的直線的方程可設(shè)為．

由題意，兩直線均與圓相切，故，整理得，設(shè)直線的斜率為，

于是，將代入上式，化簡得，解得或（舍）故點的橫坐標(biāo)為3．

②由①，．

點到的距離，故的面積．

不妨令，于是.

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的面積取到最小值，最小值為。21.已知，．（1）證明：當(dāng)時，；（2）設(shè)，試根據(jù)的不同取值，討論關(guān)于的方程解的個數(shù)；（3）求證：有且只有兩條直線與曲線、均相切．【答案】見解析【解析】（1）令，定義域為，求導(dǎo)，得，令，解得。

當(dāng)時，，函數(shù)嚴(yán)格減：當(dāng)時，，函數(shù)嚴(yán)格增；故當(dāng)時，函數(shù)取到最小值，最小值為2。因為，所以當(dāng)時，，即。

（2）令．，求導(dǎo)，得，令，解得。當(dāng)時，，函數(shù)嚴(yán)格增；當(dāng)時，，函數(shù)嚴(yán)格減；故當(dāng)時，函數(shù)取到極大值，極大值為．

當(dāng)，即時，函數(shù)無零點，即原方程無實數(shù)解；

當(dāng)，即時，函數(shù)恰有一個零點，即原