圓軸扭轉(zhuǎn)任務(wù)一扭轉(zhuǎn)變形的外力和內(nèi)力計(jì)算任務(wù)二扭轉(zhuǎn)變形的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算扭轉(zhuǎn)變形的剛度計(jì)算任務(wù)三233任務(wù)一扭轉(zhuǎn)變形的外力和內(nèi)力計(jì)算234學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握扭轉(zhuǎn)變形的特點(diǎn)。2．掌握轉(zhuǎn)矩的計(jì)算方法。3．掌握扭矩的概念及扭矩圖的繪制方法。235任務(wù)描述圖a為傳動軸（圓軸）示意圖，其主動輪A的輸入功率PA=36kW，從動輪B、C、D的輸出功率分別為PB=PC=11kW，PD=14kW，軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min。試求傳動軸指定截面1—1、2—2、3—3上的扭矩，并作出扭矩圖。236傳動軸相關(guān)知識一、扭轉(zhuǎn)變形的受力特點(diǎn)和變形特點(diǎn)我們在日常生活中都有過雙手?jǐn)Q毛巾的經(jīng)驗(yàn)，在擰毛巾時(shí)，我們的雙手施加給毛巾的就是扭轉(zhuǎn)作用力，毛巾產(chǎn)生的變形就是扭轉(zhuǎn)變形。在工程中常見的發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的構(gòu)件是軸類零件。觀察下圖，由電動機(jī)發(fā)出的動力經(jīng)帶輪傳遞給主動輪A，帶動圓軸一起旋轉(zhuǎn)。工作時(shí)輪A的輸入功率受到主動力偶矩MA的作用，輪B的輸出功率受到阻抗力偶矩MB的作用，因?yàn)閳A軸處于平衡狀態(tài)，所以主動力偶矩MA和阻抗力偶矩MB必然大小相等、轉(zhuǎn)向相反。237238生產(chǎn)實(shí)踐中的傳動軸1．扭轉(zhuǎn)變形的受力特點(diǎn)在生產(chǎn)實(shí)踐中，類似上圖所示的傳動軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的構(gòu)件很多，例如汽車轉(zhuǎn)向盤的軸、用于攻螺紋的絲錐等，都是發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的實(shí)例。239扭轉(zhuǎn)變形實(shí)例轉(zhuǎn)變形的受力特點(diǎn)：作用在圓軸兩端的一對力偶大小相等、方向相反，力偶的作用面垂直于圓軸的軸線。240圓軸扭轉(zhuǎn)簡圖2．扭轉(zhuǎn)變形的變形特點(diǎn)扭轉(zhuǎn)變形的變形特點(diǎn)：圓軸上各橫截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。工程中把以扭轉(zhuǎn)變形為主要變形的桿件稱為軸，工程上大多數(shù)軸在傳動過程中除了有扭轉(zhuǎn)變形外，往往還伴隨著彎曲、拉伸（壓縮）等其他形式的變形，這類變形屬于組合變形，將在本書模塊十中進(jìn)行研究。本模塊只研究圓軸的純扭轉(zhuǎn)問題。241扭轉(zhuǎn)及扭轉(zhuǎn)角二、圓軸傳動外力偶矩的計(jì)算圓軸傳動時(shí)，外力偶矩（也稱轉(zhuǎn)矩）是度量轉(zhuǎn)動效果強(qiáng)弱程度的物理量，如擰機(jī)械式鐘表的發(fā)條、電動機(jī)帶動主動輪轉(zhuǎn)動等，都會涉及轉(zhuǎn)矩的概念。在工程計(jì)算中，作用在傳動軸上的轉(zhuǎn)矩往往不是直接給出的，通常按以下兩種情況討論：1．已知傳動帶張力或齒輪作用力，求轉(zhuǎn)矩2．已知軸的傳遞功率和轉(zhuǎn)速，求轉(zhuǎn)矩242243已知傳遞功率和轉(zhuǎn)速求轉(zhuǎn)矩三、扭矩和扭矩圖1．圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力——扭矩T根據(jù)之前學(xué)過的知識，我們知道，力偶只能由力偶來平衡。所以，當(dāng)軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，其橫截面上的內(nèi)力是一個在橫截面平面內(nèi)的力偶，此內(nèi)力偶矩稱為該截面上的扭矩。扭矩的單位與轉(zhuǎn)矩的單位相同，常用的單位為N·m。求解扭矩仍用截面法。244245用右手螺旋法則規(guī)定扭矩的符號2．扭矩圖為了清楚地表示扭矩沿軸線的變化情況，以便于分析最大扭矩Tmax所在截面的位置，通常以橫坐標(biāo)表示截面的位置，縱坐標(biāo)表示扭矩的大小，繪出扭矩隨截面位置變化的曲線。扭矩為正時(shí)，曲線畫在橫坐標(biāo)上方；扭矩為負(fù)時(shí)，曲線畫在橫坐標(biāo)下方。這種表示扭矩沿軸線變化情況的曲線稱為扭矩圖。扭矩圖與軸力圖一樣，應(yīng)畫在載荷圖的對應(yīng)位置，以便進(jìn)行觀察和分析，如圖e所示。246247傳動軸任務(wù)二扭轉(zhuǎn)變形的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算248學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握圓軸扭轉(zhuǎn)變形和破壞的特點(diǎn)。2．掌握圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力及其分布規(guī)律。3．掌握圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件及計(jì)算方法。4．了解提高圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度的主要措施。249任務(wù)描述如圖所示為一鋼制實(shí)心圓軸，已知轉(zhuǎn)速n=300r/min，主動輪A的輸入功率PA=400kW，三個從動輪的輸出功率分別為PB=PC=120kW，PD=160kW，軸的許用切應(yīng)力［τ］=30MPa，試按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)軸的直徑。鋼制實(shí)心圓軸250相關(guān)知識一、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形和破壞特點(diǎn)塑性材料軸受扭時(shí)，首先發(fā)生屈服，此時(shí)圓軸表面出現(xiàn)許多橫向和縱向滑移線，如果繼續(xù)增大轉(zhuǎn)矩，圓軸將沿橫截面被剪斷。所以對于塑性材料軸而言，屈服就意味著破壞。而脆性材料軸受扭時(shí)，將會沿著與軸線成45°的螺旋面發(fā)生斷裂。251252圓軸扭轉(zhuǎn)變形的破壞形式二、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力及其分布規(guī)律1．圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力——切應(yīng)力由圖扭轉(zhuǎn)變形的破壞形式可知，變形前后各橫截面沿軸線所處的位置沒有變化，即軸向變化量Δl=0，故可證明此時(shí)橫截面上無正應(yīng)力σ存在。圓軸扭轉(zhuǎn)變形破壞后，發(fā)生的變化僅僅是相當(dāng)于各橫截面都繞軸線轉(zhuǎn)過了一個相應(yīng)的角度，這種一部分相對于另一部分產(chǎn)生的相對錯動變形與剪切變形性質(zhì)相同，于是可知扭轉(zhuǎn)時(shí)圓軸橫截面上的應(yīng)力為切應(yīng)力。2532．圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力的分布規(guī)律由于圓軸扭轉(zhuǎn)變形時(shí)各橫截面相對于另一部分錯動了一個相應(yīng)的角度，因此，在橫截面上產(chǎn)生切應(yīng)力，又因半徑長度不變，故切應(yīng)力方向必與半徑垂直。這些切應(yīng)力形成一個力偶矩與轉(zhuǎn)矩平衡，如圖所示。橫截面上離軸線越遠(yuǎn)的部分變形越大，即越靠近外圓處切應(yīng)力就越大，中心處切應(yīng)力等于零。由此得到圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上切應(yīng)力的分布規(guī)律：橫截面上某點(diǎn)的切應(yīng)力與該點(diǎn)至圓心的距離成正比，方向與過該點(diǎn)的半徑垂直，圓心處切應(yīng)力為零，圓周上切應(yīng)力最大。254255圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力分布a）實(shí)心圓軸b）空心圓軸三、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力計(jì)算從圖可以看出，橫截面上任意一點(diǎn)A的切應(yīng)力τ與扭矩T及該點(diǎn)至圓心的距離OA（通常用ρ表示）成正比。根據(jù)靜力學(xué)關(guān)系等可推導(dǎo)出切應(yīng)力的計(jì)算公式為：256實(shí)心圓軸和空心圓軸a）實(shí)心圓軸b）空心圓軸四、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件及其應(yīng)用為了保證圓軸能安全、正常地工作，在外力偶作用下，圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件為圓軸內(nèi)產(chǎn)生的最大工作切應(yīng)力不允許超過材料的許用切應(yīng)力，即：由于最大切應(yīng)力發(fā)生在軸上承受最大扭矩的橫截面圓周上，因此實(shí)際扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件可寫成下列形式：在等截面圓軸上所求得的扭矩絕對值最大處就是切應(yīng)力最大處，所以該處是圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的危險(xiǎn)截面。注意：對于臺階軸，由于各段軸上截面的Wn不同，最大切應(yīng)力不一定發(fā)生在最大扭矩所在的截面上，因此，需綜合考慮Wn和T兩個量來確定。257材料扭轉(zhuǎn)時(shí)的許用切應(yīng)力［τ］可查閱有關(guān)手冊或按下式來確定。塑性材料：脆性材料：運(yùn)用抗扭強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，也與拉伸、壓縮一樣，可解決構(gòu)件抗扭強(qiáng)度校核、選擇構(gòu)件截面尺寸和確定許用載荷三方面的問題。258五、提高圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度的主要措施軸是機(jī)器中常用的重要零件之一，車床、鉆床、銑床、磨床以及渦輪機(jī)等的主軸都是鋼制的圓軸，它們除了用來支承裝在其上的旋轉(zhuǎn)零件外，還用來傳遞轉(zhuǎn)矩。因此，研究圓軸在轉(zhuǎn)矩作用下的變形是很有實(shí)際意義的。1．合理安排受力情況，降低最大扭矩Tmax259傳動圓軸2．采用空心軸，提高軸的抗扭截面系數(shù)Wn在圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，應(yīng)力呈三角形分布，截面邊緣應(yīng)力最大，靠近軸線部分處的應(yīng)力很小。當(dāng)邊緣的切應(yīng)力達(dá)到［τ］時(shí)，靠近軸線部分的切應(yīng)力還遠(yuǎn)未達(dá)到［τ］。為了充分利用材料，可將圓軸的中心部分省去，使它變成一根空心軸，這樣，它的強(qiáng)度并未削弱多少，卻大大減輕了自重，并節(jié)省了材料。從力學(xué)角度看，扭轉(zhuǎn)時(shí)采用空心圓軸要比采用實(shí)心圓軸更經(jīng)濟(jì)、合理。在機(jī)械制造中已廣泛采用空心圓軸，例如柴油機(jī)中采用空心曲軸，水輪機(jī)中采用空心主軸等。260261圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力分布a）實(shí)心圓軸b）空心圓軸任務(wù)三扭轉(zhuǎn)變形的剛度計(jì)算262學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解扭轉(zhuǎn)角的定義。2．掌握應(yīng)用圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件對軸進(jìn)行剛度計(jì)算的方法。263任務(wù)描述圖中的鋼制實(shí)心圓軸，已知轉(zhuǎn)速n=300r/min，主動輪A的輸入功率PA=400kW，三個從動輪的輸出功率分別為PB=PC=120kW，PD=160kW，軸的許用切應(yīng)力［τ］=30MPa，剪切彈性模量G=80GPa，許用扭轉(zhuǎn)角［θ］=0.3°/m，試設(shè)計(jì)該軸的直徑。264鋼制實(shí)心圓軸相關(guān)知識一、扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)變形的大小通常用兩個橫截面繞軸線的相對轉(zhuǎn)角φ（扭轉(zhuǎn)角）來度量。若兩橫截面之間的扭矩大小T不變，軸為等直桿（Iρ不變），且材料不變（G不變），則在長L的軸段內(nèi)

為常量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果指出：扭轉(zhuǎn)角φ與扭矩T及桿長L成正比，而與材料的剪切彈性模量G及桿的截面極慣性矩Iρ成反比，即：注意：若在長L的軸段內(nèi)，扭矩T、截面極慣性矩Iρ、材料的剪切彈性模量G中有一個發(fā)生變化，則應(yīng)分段進(jìn)行計(jì)算。265二、圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件及其應(yīng)用圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件通常以軸單位長度的最大扭轉(zhuǎn)角θmax不得超過單位長度許用扭轉(zhuǎn)角［θ］表示，即：在工程計(jì)算中，通常是限制軸單位長度的扭轉(zhuǎn)角θ，由于

，因此得：式中，θmax和［θ］的單位是弧度/米（rad/m）。266在工程中，［θ］的常用單位是度/米（°/m），故需將上式中θmax的單位也換算成°/m，得：單位長度內(nèi)的許用扭轉(zhuǎn)角［θ］的