專題三導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

3.1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義

1.(2024全國甲理,6,5分,易)設(shè)函數(shù)f(x)=,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線與兩坐標(biāo)軸

x

?+2???x

2

所圍成的三角形的面積為()1+x

A.B.C.D.

1112

6323

A

6

f'(x)=,

x2x

(?+2???x)(1+x)-(?+2???x)2x

22

∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(1(+0,x1)處的切線的斜率k=f'(0)=3,

∴切線的方程為y=3x+1,

令x=0,得y=1;令y=0,得x=-,

1

3

∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為S=×1×=.

111

2-36

2.(2023全國甲文,8,5分)曲線y=在點(diǎn)處的切線方程為()

?

ee

?+11,2

A.y=xB.y=x

ee

42

C.y=x+D.y=x+

eee3e

4424

答案由,可得,則x=1,∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為

Cy=?y'=?y'|=

e?eee

2

?+1(?+1)41,2

y-=(x-1),即y=x+,故選C.

eeee

2444

3.(2016四川理,9,5分)設(shè)直線l1,l2分別是函數(shù)f(x)=圖象上點(diǎn)P1,P2處的切線,l1與l2垂

?ln?,0<?<1,

直相交于點(diǎn)P,且l1,l2分別與y軸相交于點(diǎn)A,B,則△PABln的?,面?積>的1取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)

答案A設(shè)l1是y=-lnx(0<x<1)的切線,切點(diǎn)P1(x1,y1),l2是y=lnx(x>1)的切線,切點(diǎn)P2(x2,y2),

l1:y-y1=-(x-x1),①

1

?1

l2:y-y2=(x-x2),②

1

?2

①-②得xP=,

?1??2+2

11

?+?

易知A(0,y1+1)1,B(20,y2-1),

∵l1⊥l2,∴-·=-1,∴x1x2=1,

11

?1?2

∴S△PAB=|AB|·|xP|=|y1-y2+2|·

11|?1??2+2|

11

22+

=·=·?1?2

22

1(?1??2+2)1(?ln?1?ln?2+2)

?+?

2122?1+?2

??

=·12=·=,

2

1[?ln(?1?2)+2]142

121212

又2∵0<x1<1?,+x2?>1,x1x2=21,?+??+?

∴x1+x2>2=2,

?1?2

∴0<S△PAB<1.故選A.

思路分析設(shè)出點(diǎn)P1,P2的坐標(biāo),進(jìn)而根據(jù)已知表示出l1,l2,然后求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)及xP,最后利用點(diǎn)在曲線

上及垂直的條件求出面積表達(dá)式,從而求出面積的取值范圍.

評析本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求切線問題,及考生的運(yùn)算能力.

4.(2014課標(biāo)Ⅱ理,8,5分)設(shè)曲線y=ax-ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x,則a=()

A.0B.1C.2D.3

答案Dy'=a-,當(dāng)x=0時(shí),y'=a-1=2,∴a=3,故選D.

1

5.(2021新高考Ⅰ,?7+,15分)若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則()

A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea

答案D解法一:當(dāng)x→-∞時(shí),曲線y=ex的切線的斜率k>0且k趨向于0,當(dāng)x→+∞時(shí),曲線y=ex的切線的斜

率k>0且k趨向于+∞,結(jié)合圖象可知,兩切線的交點(diǎn)應(yīng)該在x軸上方,且在曲線y=ex的下方,∴0<b<ea,故選

D.

解法二:易知曲線y=ex在點(diǎn)P(t,et)處的切線方程為y-et=et(x-t),

∵切線過點(diǎn)(a,b),∴b-et=et(a-t),

整理得et(t-a-1)+b=0.

令f(t)=et(t-a-1)+b,

則f'(t)=et(t-a),

當(dāng)t<a時(shí),f'(t)<0,當(dāng)t>a時(shí),f'(t)>0,

∴f(t)在(-∞,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增,

∴當(dāng)t=a時(shí),f(t)取得最小值f(a)=-ea+b.

由已知得,f(t)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為過點(diǎn)(a,b)的切線條數(shù),

∴f(t)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

∴f(a)=-ea+b<0,

即b<ea.

①若b≤0,則當(dāng)t<a時(shí),t-a-1<0,et(t-a-1)<0,則f(t)<0,

∴f(t)在(-∞,a)上無零點(diǎn),而f(t)在[a,+∞)上至多有一個(gè)零點(diǎn),不合題意.

②若0<b<ea,

由以上討論可知,

f(t)在(-∞,a)上為減函數(shù),在(a,+∞)上為增函數(shù),

a

∴f(t)min=f(a)=-e+b<0,

且f(t)=b>0,f(a+1)=b>0,

?→lim?∞

由零點(diǎn)存在性定理可知f(t)在(-∞,a)和[a,+∞)上各有一個(gè)零點(diǎn),結(jié)合f(t)的單調(diào)性知f(t)有且只有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上,0<b<ea.故選D.

6.(2024新課標(biāo)Ⅰ,13,5分,中)若曲線y=ex+x在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+1)+a的切線,則

a=.

答案ln2

13

解析因?yàn)閥=ex+x,所以y'=ex+1,

所以曲線y=ex+x在點(diǎn)(0,1)處切線的斜率k=2,

又切線過點(diǎn)(0,1),所以曲線y=ex+x在點(diǎn)(0,1)處切線的方程為y=2x+1,

對y=ln(x+1)+a求導(dǎo)得y'=,由直線y=2x+1也是曲線y=ln(x+1)+a的切線,得=2,解得x=-,

111

x+1x+12

將x=-代入y=ln(x+1)+a得y=a-ln2,

1

2

所以曲線y=ln(x+1)+a與直線y=2x+1相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為,代入y=2x+1,解得a=ln2.

1

-2,a-??2

7.(2021全國甲理,13,5分)曲線y=在點(diǎn)(-1,-3)處的切線方程為.

2??1

?+2

答案y=5x+2

解題指導(dǎo):利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率,利用點(diǎn)斜式得切線方程.

解析y=,所以y'=,

2(?+2)?555

2

?+2=2??+2(?+2)

所以k=y'|x=-1=5,從而切線方程為y+3=5(x+1),即y=5x+2.

易錯(cuò)警示:①對分式型函數(shù)求導(dǎo)要注意公式的使用,先對分式進(jìn)行化簡可降低出錯(cuò)率.②要注意“在點(diǎn)處”

和“過某點(diǎn)”的區(qū)別.

8.(2022新高考Ⅱ,14,5分)曲線y=ln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為,.

答案y=x;y=-x(不分先后)

11

ee

解析由題意可知,函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}.易證函數(shù)y=ln|x|為偶函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),y=lnx,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,

lnx0),∵y'=,∴切線斜率k=y',

11

0

?|?=?=?0

故切線方程為y-lnx0=(x-x0),又知切線過原點(diǎn)(0,0),∴-lnx0=-1,∴x0=e,故切線方程為y-1=(x-e),即y=x.

111

?0ee

由偶函數(shù)圖象的對稱性可知另一條切線方程為y=-x,故過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程為y=x和y=-x.

111

eee

9.(2022新高考Ⅰ,15,5分)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線,則a的取值范圍是.

答案(-∞,-4)∪(0,+∞)

xx

解析設(shè)f(x)=(x+a)e,則f'(x)=(x+a+1)e,設(shè)切點(diǎn)為(x0,(x0+a)),

?0

e

因此切線方程為y-(x0+a)=(x0+a+1)(x-x0),

?0?0

ee

又∵切線過原點(diǎn)(0,0),∴-(x0+a)=(x0+a+1)·(-x0),整理得+ax0-a=0,又切線有兩條,∴關(guān)于x0的方程

?0?02

0

2ee?

+ax0-a=0有兩不等實(shí)根,故Δ=a+4a>0,解得a>0或a<-4.

2

?0

10.(2019天津文,11,5分)曲線y=cosx-在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為.

?

答案x+2y-2=02

解析本題通過求曲線在某點(diǎn)處的切線,考查學(xué)生對基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)的幾

何意義的理解和掌握程度.

∵y=cosx-,∴y'=-sinx-,∴y'|x=0=-,即曲線在(0,1)處的切線斜率為-,∴切線方程為y-1=-(x-0),即

?1111

x+2y-2=0.22222

方法總結(jié)求曲線在某點(diǎn)處(注意:該點(diǎn)必為切點(diǎn))切線的方法:①求導(dǎo)函數(shù);②把該點(diǎn)橫坐標(biāo)代入,求出該點(diǎn)

處導(dǎo)數(shù)值,即為切線的斜率;③用點(diǎn)斜式寫出切線方程.

11.(2018課標(biāo)Ⅱ理,13,5分)曲線y=2ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

答案y=2x

解析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

因?yàn)閥'=,所以y'|x=0=2,又(0,0)為切點(diǎn),

2

所以曲線?在+1點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x.

12.(2018課標(biāo)Ⅱ文,13,5分)曲線y=2lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為.

答案2x-y-2=0

解析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì).

由y=2lnx得y'=.因?yàn)閗=y'|x=1=2,點(diǎn)(1,0)為切點(diǎn),

2

所以切線方程為y=?2(x-1),即2x-y-2=0.

13.(2018課標(biāo)Ⅲ理,14,5分)曲線y=(ax+1)ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為-2,則a=.

答案-3

解析本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

設(shè)f(x)=(ax+1)ex,則f'(x)=(ax+a+1)ex,所以曲線在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率k=f'(0)=a+1=-2,解得a=-3.

14.(2017課標(biāo)Ⅰ文,14,5分)曲線y=x2+在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為.

1

答案x-y+1=0?

解析本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

2

∵y=x+,∴y'=2x-,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切線方程為y-2=x-1,即x-y+1=0.

11

2

15.(20?17天津文,?10,5分)已知a∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=ax-lnx的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為l,則l在y軸

上的截距為.

答案1

解析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線方程與截距.

由題意可知f'(x)=a-,所以f'(1)=a-1,

1

因?yàn)閒(1)=a,所以切點(diǎn)坐?標(biāo)為(1,a),

所以切線l的方程為y-a=(a-1)(x-1),

即y=(a-1)x+1.

令x=0,得y=1,即直線l在y軸上的截距為1.

易錯(cuò)警示不能正確求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù),而導(dǎo)致不能正確求解切線l的斜率.

16.(2016課標(biāo)Ⅱ理,16,5分)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則

b=.

答案1-ln2

解析直線y=kx+b與曲線y=lnx+2,y=ln(x+1)均相切,設(shè)切點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),由y=lnx+2得y'=,

1

?

由y=ln(x+1)得y'=,∴k==,∴x1=,x2=-1,∴y1=-lnk+2,y2=-lnk.即A,B

1111111

,?ln?+2?1,?

,?+1?1?2+1????

ln?

∵A、B在直線y=kx+b上,∴1?

2?ln?=?·+b,

??=1?ln2,

1

?ln?=?·?1+b?=2.

評析解決本題的關(guān)鍵是知道切點(diǎn)既在曲?線上,又在切線上.

17.(2015課標(biāo)Ⅰ文,14,5分)已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線過點(diǎn)(2,7),則

a=.

答案1

解析由題意可得f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,

又f(1)=a+2,∴f(x)=ax3+x+1的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切線過點(diǎn)

(2,7),

∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.

18.(2015課標(biāo)Ⅱ文,16,5分)已知曲線y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則

a=.

答案8

解析令f(x)=x+lnx,求導(dǎo)得f'(x)=1+,f'(1)=2,又f(1)=1,所以曲線y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線

1

2

方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1.設(shè)直線y=2?x-1與曲線y=ax+(a+2)x+1的切點(diǎn)為P(x0,y0),則

y'=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=-,又a+(a+2)x0+1=2x0-1,即a+ax0+2=0,當(dāng)a=0時(shí),顯然

122

|?=?0?0?0

2

不滿足此方程,∴x0=-,此時(shí)a=8.

1

評析本題主要考查2導(dǎo)數(shù)的幾何意義,能夠利用點(diǎn)斜式求出切線方程是解題關(guān)鍵.

19.(2015陜西理,15,5分)設(shè)曲線y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y=(x>0)上點(diǎn)P處的切線垂直,則P的坐

1

標(biāo)為.?

答案(1,1)

解析∵函數(shù)y=ex的導(dǎo)函數(shù)為y'=ex,

x0

∴曲線y=e在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率k1=e=1.

設(shè)P(x0,y0)(x0>0),∵函數(shù)y=的導(dǎo)函數(shù)為y'=-,

11

2

??

∴曲線y=(x>0)在點(diǎn)P處的切線的斜率k2=-,

11

2

??0

則有k1k2=-1,即1·=-1,解得=1,又x0>0,

12

?2?0

?0

∴x0=1.又∵點(diǎn)P在曲線y=(x>0)上,∴y0=1,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1).

1

20.(2012課標(biāo)文,13,5分?)曲線y=x(3lnx+1)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為.

答案y=4x-3

解析y'=3lnx+1+x·=3lnx+4,k=y'|x=1=4,切線方程為y-1=4(x-1),即y=4x-3.

3

評析本題考查了導(dǎo)數(shù)的?幾何意義,考查了運(yùn)算求解能力.

21.(2020新高考Ⅰ,21,12分)

已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解析f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=aex-1-.

1

?

(1)當(dāng)a=e時(shí),f(x)=ex-lnx+1,f'(1)=e-1,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-(e+1)=(e-1)(x-1),即

y=(e-1)x+2.

直線y=(e-1)x+2在x軸,y軸上的截距分別為,2.

?2

因此所求三角形的面積為.e?1

2

e?1

(2)當(dāng)0<a<1時(shí),f(1)=a+lna<1.

當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex-1-lnx,f'(x)=ex-1-.當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0.所以當(dāng)x=1時(shí),f(x)取

1

?

得最小值,最小值為f(1)=1,從而f(x)≥1.

當(dāng)a>1時(shí),f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1.

綜上,a的取值范圍是[1,+∞).

名師點(diǎn)評:本題第(2)問中,由不等式成立求參數(shù)的取值范圍,常規(guī)解法是分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,

而本題中參數(shù)分布范圍較廣,無法分離,所以要對參數(shù)進(jìn)行分類討論,怎樣分類是本題的一個(gè)難點(diǎn),特別是當(dāng)

a>1時(shí),證明f(x)≥1需要用到a=1時(shí)的結(jié)論,思路很窄,技巧性較強(qiáng).

32

22.(2022全國甲文,20,12分)已知函數(shù)f(x)=x-x,g(x)=x+a,曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1))處的切線也是曲線

y=g(x)的切線.

(1)若x1=-1,求a;

(2)求a的取值范圍.

2

解析解法一:由題意可知f'(x)=3x-1,f(x1)=-x1,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1))處的切線方程為

3

?1

y-(-x1)=(3-1)(x-x1),即y=(3-1)x-2①.

3223

?1?1?1?1

因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1))處的切線也是曲線y=g(x)的切線,所以有且僅有一組

23

?1?1,

?=(32?1)??2

解,?=?+?

即方程x2-(3-1)x+2+a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

23

11

從而Δ=(3-?1)2-4(2?+a)=04a=9+1.

23432

?1?1??1?8?1?6?1

(1)若x1=-1,則4a=12a=3.

(2)4a=9?+1,

432

111

令h(x)=?9x4?-88x?3-6x?2+61?,則h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),

令h'(x)>0,得-<x<0或x>1,令h'(x)<0,得x<-或0<x<1,

11

33

所以h(x)在和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在和(0,1)上單調(diào)遞減,

11

?3,0?∞,?3

又h(1)=-4,h,所以h(x)≥-4,

120

?3=27

所以a≥-1.

2

解法二:由題意可知f'(x)=3x-1,f(x1)=-x1,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1))處的切線方程為

3

?1

y-(-x1)=(3-1)(x-x1),即y=(3-1)x-2①,

3223

?1?1?1?1

設(shè)公切線與曲線y=g(x)的切點(diǎn)為(x2,+a),又g'(x2)=2x