金融統(tǒng)計習(xí)題及答案完整版一、數(shù)據(jù)描述統(tǒng)計基礎(chǔ)某證券公司收集了2022年1月至12月滬深300指數(shù)月度收益率數(shù)據(jù)（單位：%），具體如下：2.3,-1.1,3.5,0.8,-2.7,1.9,4.2,-0.5,2.8,-1.6,0.3,3.1。1.計算該序列的算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。2.計算極差、方差（樣本方差）和標(biāo)準(zhǔn)差。3.分析該指數(shù)全年收益率的集中趨勢與離散程度特征。答案：1.算術(shù)平均數(shù)（μ）=（2.3-1.1+3.5+0.8-2.7+1.9+4.2-0.5+2.8-1.6+0.3+3.1）/12計算分子：2.3-1.1=1.2；1.2+3.5=4.7；4.7+0.8=5.5；5.5-2.7=2.8；2.8+1.9=4.7；4.7+4.2=8.9；8.9-0.5=8.4；8.4+2.8=11.2；11.2-1.6=9.6；9.6+0.3=9.9；9.9+3.1=13因此，μ=13/12≈1.083%中位數(shù)計算：將數(shù)據(jù)從小到大排序：-2.7,-1.6,-1.1,-0.5,0.3,0.8,1.9,2.3,2.8,3.1,3.5,4.2共12個數(shù)據(jù)，中位數(shù)為第6、7個數(shù)的平均值，即（0.8+1.9）/2=1.35%眾數(shù)：所有數(shù)據(jù)均唯一出現(xiàn)，無眾數(shù)。2.極差=最大值-最小值=4.2-(-2.7)=6.9%樣本方差（s2）=Σ(xi-μ)2/(n-1)計算各(xi-μ)2：(2.3-1.083)2≈1.481；(-1.1-1.083)2≈4.766；(3.5-1.083)2≈5.842；(0.8-1.083)2≈0.080；(-2.7-1.083)2≈14.311；(1.9-1.083)2≈0.667；(4.2-1.083)2≈9.716；(-0.5-1.083)2≈2.506；(2.8-1.083)2≈2.948；(-1.6-1.083)2≈7.198；(0.3-1.083)2≈0.613；(3.1-1.083)2≈4.068Σ(xi-μ)2≈1.481+4.766=6.247；+5.842=12.089；+0.080=12.169；+14.311=26.48；+0.667=27.147；+9.716=36.863；+2.506=39.369；+2.948=42.317；+7.198=49.515；+0.613=50.128；+4.068=54.196樣本方差s2=54.196/(12-1)≈4.927（%2）標(biāo)準(zhǔn)差s=√4.927≈2.22%3.集中趨勢分析：算術(shù)平均數(shù)為1.083%，中位數(shù)為1.35%，兩者接近，說明數(shù)據(jù)分布基本對稱，無顯著偏態(tài)。離散程度方面，標(biāo)準(zhǔn)差約2.22%，極差6.9%，反映指數(shù)月度收益率波動較大，單月最大漲跌幅差近7個百分點，需關(guān)注短期風(fēng)險。二、概率分布在金融風(fēng)險度量中的應(yīng)用某私募基金持有的股票組合日收益率服從正態(tài)分布，歷史數(shù)據(jù)顯示其日均收益率為0.03%，日收益率標(biāo)準(zhǔn)差為1.8%。1.計算該組合在95%置信水平下的單日VaR（風(fēng)險價值，采用相對VaR，即損失超過均值的部分）。2.若組合當(dāng)前市值為5000萬元，計算單日絕對VaR（即最大可能損失金額）。3.解釋VaR的局限性，并說明條件風(fēng)險價值（ES）的改進(jìn)之處。答案：1.相對VaR的計算公式為：VaR=μ-zα×σ（注：正態(tài)分布下，95%置信水平對應(yīng)單側(cè)分位數(shù)zα=1.645，損失為負(fù)收益，故取左尾分位數(shù)）但需注意，VaR通常定義為“在置信水平α下，最大可能損失”，因此正確公式應(yīng)為：VaR=zα×σ-μ（當(dāng)μ較小時可近似為zα×σ）。更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)：設(shè)收益率R~N(μ,σ2)，則P(R≤-VaR)=1-α→-VaR=μ-zα×σ→VaR=zα×σ-μ代入數(shù)據(jù)：μ=0.03%，σ=1.8%，z0.95=1.645（左尾分位數(shù)對應(yīng)z=1.645，因為P(Z≤-1.645)=5%）因此，VaR=1.645×1.8%-0.03%≈2.961%-0.03%≈2.931%2.絕對VaR=組合市值×相對VaR=5000萬元×2.931%≈146.55萬元3.VaR的局限性：-不反映超過VaR的損失規(guī)模（如“尾部風(fēng)險”）；-不滿足次可加性（投資組合的VaR可能大于各資產(chǎn)VaR之和，與分散化效應(yīng)矛盾）；-對分布假設(shè)敏感（若實際分布厚尾，VaR會低估風(fēng)險）。ES（條件風(fēng)險價值）的改進(jìn)：ES衡量“損失超過VaR時的期望損失”，即E(R|R≤-VaR)，能捕捉尾部風(fēng)險的平均水平，且滿足次可加性，更全面反映極端風(fēng)險。三、時間序列分析與預(yù)測某銀行收集了2023年1月至6月的人民幣對美元月平均匯率（直接標(biāo)價法，單位：元/美元），數(shù)據(jù)如下：6.72,6.75,6.78,6.81,6.84,6.87。1.計算3期簡單移動平均（SMA）和3期加權(quán)移動平均（WMA，權(quán)重為0.2,0.3,0.5，近期權(quán)重更高），預(yù)測7月匯率。2.計算該序列的一階自相關(guān)系數(shù)（ACF(1)），并判斷是否存在顯著自相關(guān)性（顯著性水平α=0.05，臨界值±2/√n≈±0.816）。答案：1.3期簡單移動平均：SMA4=(6.72+6.75+6.78)/3≈6.75；SMA5=(6.75+6.78+6.81)/3≈6.78；SMA6=(6.78+6.81+6.84)/3≈6.81；預(yù)測7月匯率=SMA7=(6.81+6.84+6.87)/3≈6.843期加權(quán)移動平均（權(quán)重0.2,0.3,0.5）：WMA4=6.72×0.2+6.75×0.3+6.78×0.5=1.344+2.025+3.39=6.759；WMA5=6.75×0.2+6.78×0.3+6.81×0.5=1.35+2.034+3.405=6.789；WMA6=6.78×0.2+6.81×0.3+6.84×0.5=1.356+2.043+3.42=6.819；預(yù)測7月匯率=WMA7=6.81×0.2+6.84×0.3+6.87×0.5=1.362+2.052+3.435=6.849≈6.852.一階自相關(guān)系數(shù)ACF(1)=γ(1)/γ(0)，其中γ(k)為k階自協(xié)方差。首先計算均值μ=(6.72+6.75+6.78+6.81+6.84+6.87)/6=40.77/6=6.795γ(0)=Σ(xi-μ)2/n計算各(xi-μ)2：(6.72-6.795)2=0.005625；(6.75-6.795)2=0.002025；(6.78-6.795)2=0.000225；(6.81-6.795)2=0.000225；(6.84-6.795)2=0.002025；(6.87-6.795)2=0.005625Σ=0.005625×2+0.002025×2+0.000225×2=0.01125+0.00405+0.00045=0.01575γ(0)=0.01575/6=0.002625γ(1)=Σ(xi-μ)(xi+1-μ)/(n-1)（注：自協(xié)方差通常用n-1分母，但金融中也可用n，此處統(tǒng)一用n）計算(xi-μ)(xi+1-μ)：(6.72-6.795)(6.75-6.795)=(-0.075)(-0.045)=0.003375；(6.75-6.795)(6.78-6.795)=(-0.045)(-0.015)=0.000675；(6.78-6.795)(6.81-6.795)=(-0.015)(0.015)=-0.000225；(6.81-6.795)(6.84-6.795)=(0.015)(0.045)=0.000675；(6.84-6.795)(6.87-6.795)=(0.045)(0.075)=0.003375；Σ=0.003375+0.000675=0.00405；-0.000225=0.003825；+0.000675=0.0045；+0.003375=0.007875γ(1)=0.007875/6≈0.0013125ACF(1)=0.0013125/0.002625=0.5由于|0.5|<0.816（臨界值），因此在5%顯著性水平下，一階自相關(guān)性不顯著。四、投資組合風(fēng)險與收益優(yōu)化投資者持有由股票X和股票Y構(gòu)成的投資組合，相關(guān)參數(shù)如下：-股票X：預(yù)期收益率E(Rx)=8%，標(biāo)準(zhǔn)差σx=15%；-股票Y：預(yù)期收益率E(Ry)=12%，標(biāo)準(zhǔn)差σy=20%；-兩者收益率的協(xié)方差Cov(X,Y)=0.018（即1.8%2）。1.若投資權(quán)重wX=0.6，wY=0.4（wX+wY=1），計算組合的預(yù)期收益率和標(biāo)準(zhǔn)差。2.求最小方差組合的權(quán)重（wX,wY），并計算該組合的預(yù)期收益率和標(biāo)準(zhǔn)差。3.若引入無風(fēng)險資產(chǎn)（收益率Rf=3%），且市場組合的預(yù)期收益率為10%，標(biāo)準(zhǔn)差為18%，計算該投資者的最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)組合夏普比率，并說明其經(jīng)濟意義。答案：1.組合預(yù)期收益率E(Rp)=wX×E(Rx)+wY×E(Ry)=0.6×8%+0.4×12%=4.8%+4.8%=9.6%組合方差σp2=wX2σx2+wY2σy2+2wXwYCov(X,Y)=0.62×(15%)2+0.42×(20%)2+2×0.6×0.4×0.018=0.36×0.0225+0.16×0.04+0.48×0.018=0.0081+0.0064+0.00864=0.02314組合標(biāo)準(zhǔn)差σp=√0.02314≈15.21%2.最小方差組合權(quán)重公式：wX=(σy2-Cov(X,Y))/(σx2+σy2-2Cov(X,Y))σx2=0.0225，σy2=0.04，Cov=0.018代入得：wX=(0.04-0.018)/(0.0225+0.04-2×0.018)=0.022/(0.0625-0.036)=0.022/0.0265≈0.8298（即82.98%）wY=1-wX≈0.1702（即17.02%）最小方差組合預(yù)期收益率E(Rp)=0.8298×8%+0.1702×12%≈6.638%+2.042%≈8.68%組合方差σp2=wX2σx2+wY2σy2+2wXwYCov(X,Y)=0.82982×0.0225+0.17022×0.04+2×0.8298×0.1702×0.018≈0.6886×0.0225+0.0290×0.04+0.2828×0.018≈0.0155+0.00116+0.00509≈0.02175標(biāo)準(zhǔn)差σp≈√0.02175≈14.75%3.夏普比率（SharpeRatio）=(E(Rm)-Rf)/σm=(10%-3%)/18%≈0.3889經(jīng)濟意義：夏普比率衡量每單位總風(fēng)險（標(biāo)準(zhǔn)差）所獲得的超額收益（超過無風(fēng)險利率的部分）。該值越高，說明風(fēng)險資產(chǎn)組合的風(fēng)險調(diào)整后收益越好。此處0.3889表示投資者每承擔(dān)1%的標(biāo)準(zhǔn)差風(fēng)險，可獲得0.3889%的超額收益。五、金融統(tǒng)計綜合應(yīng)用——期權(quán)隱含波動率計算某歐式看漲期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價格為50元，執(zhí)行價K=52元，剩余期限T=0.5年（180天），無風(fēng)險利率r=3%（連續(xù)復(fù)利），期權(quán)當(dāng)前價格C=2.5元。假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)收益率無紅利支付，利用布萊克-斯科爾斯（B-S）模型計算隱含波動率σ（保留兩位小數(shù)）。答案：B-S模型公式：C=S×N(d1)-K×e^(-rT)×N(d2)其中，d1=(ln(S/K)+(r+σ2/2)T)/(σ√T)，d2=d1-σ√T已知S=50，K=52，T=0.5，r=0.03，C=2.5，需反解σ。步驟1：計算已知常數(shù)項ln(S/K)=ln(50/52)=ln(0.9615)≈-0.0393；e^(-rT)=e^(-0.03×0.5)=e^(-0.015)≈0.9851；K×e^(-rT)=52×0.9851≈51.2252；步驟2：假設(shè)σ=0.2（20%），計算d1和d2：d1=(-0.0393+(0.03+0.22/2)×0.5)/(0.2×√0.5)=(-0.0393+(0.03+0.02)×0.5)/(0.2×0.7071)=(-0.0393+0.025)/0.1414≈(-0.0143)/0.1414≈-0.1011d2=d1-0.2×0.7071≈-0.1011-0.1414≈-0.2425N(d1)=N(-0.1011)≈0.4591（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表）；N(d2)=N(-0.2425)≈0.4049C=50×0.4591-51.2252×0.4049≈22.955-20.747≈2.208元（小于實際C=2.5元，說明σ需增大）步驟3：假設(shè)σ=0.25（25%）：d1=(-0.0393+(0.03+0.252/2)×0.5)/(0.25×0.7071)=(-0.0393+(0.03+0.03125)×0.5)/0.1768=(-0.0393+0.030625)/0.1768≈(-0.008675)/0.1768≈-0.0491d2=d1-0.25×0.7071≈-0.0491-0.1768≈-0.2259N(d1)=N(-0.0491)≈0.4805；N(d2)=N(-0.2259)≈0.4106C=50×0.4805-51.2252×0.4106≈24.025-21.033≈2.992元（大于實際C=2.5元，說明σ在20%-25%之間）步驟4：線性插值法設(shè)σ=0.2+Δ，對應(yīng)C=2.208；σ=0.25，C=2.992；目標(biāo)C=2.5Δ=(2.5-2.208)/(2.992-2.208)×0.05≈0.292/0.784×0.05≈0.0186σ≈0.2+0.0186≈0.2186，即21.86%驗證σ=0.22：d1=(-0