專升本試題數(shù)學(xué)及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)的定義域是（）A.\(x\geq1\)B.\(x>1\)C.\(x\leq1\)D.\(x<1\)2.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，與\(x\)等價(jià)無窮小的是（）A.\(2x\)B.\(\sinx\)C.\(x^2\)D.\(\cosx\)3.函數(shù)\(y=x^3+1\)在點(diǎn)\((1,2)\)處的切線斜率為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)4.\(\int\cosxdx=\)（）A.\(\sinx+C\)B.\(-\sinx+C\)C.\(\cosx+C\)D.\(-\cosx+C\)5.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，則下列等式成立的是（）A.\((AB)^2=A^2B^2\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.\((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\)6.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(2,k)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(k\)的值為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)7.直線\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}\)與平面\(x+2y+3z-10=0\)的位置關(guān)系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.直線在平面內(nèi)8.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂的B.發(fā)散的C.條件收斂的D.絕對收斂的9.設(shè)\(z=x^2y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}=\)（）A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(y\)D.\(2x\)10.方程\(x^2+y^2-2x+4y+5=0\)表示的圖形是（）A.點(diǎn)B.圓C.橢圓D.拋物線答案：1.B2.B3.C4.A5.C6.D7.B8.B9.A10.A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln\frac{1-x}{1+x}\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)，則下列說法正確的有（）A.函數(shù)在\(x_0\)處連續(xù)B.函數(shù)在\(x_0\)處有極限C.函數(shù)在\(x_0\)處的切線存在D.函數(shù)在\(x_0\)處的切線斜率為\(f^\prime(x_0)\)4.下列積分計(jì)算正確的有（）A.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)B.\(\int_{-1}^{1}xdx=0\)C.\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx=2\)D.\(\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=1\)5.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=O\)，則下列說法正確的有（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(r(A)+r(B)\leqn\)D.\(A\)、\(B\)都不可逆6.下列向量組中，線性相關(guān)的有（）A.\(\vec{a}=(1,0)\)，\(\vec=(0,1)\)B.\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(2,4)\)C.\(\vec{a}=(1,1,0)\)，\(\vec=(0,1,1)\)，\(\vec{c}=(1,0,1)\)D.\(\vec{a}=(1,1,1)\)，\(\vec=(1,1,0)\)，\(\vec{c}=(0,0,0)\)7.下列方程中，是二階常系數(shù)線性齊次微分方程的有（）A.\(y^{\prime\prime}+2y^\prime+y=0\)B.\(y^{\prime\prime}+xy^\prime+y=0\)C.\(y^{\prime\prime}-3y^\prime+2y=0\)D.\(y^{\prime\prime}+\sinxy^\prime+y=0\)8.已知直線\(L_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}\)，\(L_2:\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-4}{4}\)，則下列說法正確的有（）A.\(L_1\)與\(L_2\)平行B.\(L_1\)與\(L_2\)相交C.\(L_1\)與\(L_2\)異面D.\(L_1\)與\(L_2\)的方向向量不平行9.下列關(guān)于二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系，正確的有（）A.若\(z=f(x,y)\)可微，則\(z=f(x,y)\)的偏導(dǎo)數(shù)存在B.若\(z=f(x,y)\)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則\(z=f(x,y)\)可微C.若\(z=f(x,y)\)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則\(z=f(x,y)\)可微D.若\(z=f(x,y)\)可微，則\(z=f(x,y)\)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)10.下列曲線中，關(guān)于\(x\)軸對稱的有（）A.\(x^2+y^2=1\)B.\(y^2=2x\)C.\(x^2-y^2=1\)D.\(y=x^2\)答案：1.ABD2.ABD3.ABCD4.ABCD5.BC6.BD7.AC8.D9.AC10.ABC三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x^2-4}+\frac{1}{x-3}\)的定義域是\(x\geq2\)且\(x\neq3\)。（）2.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，\(\lim_{x\tox_0}g(x)\)不存在，則\(\lim_{x\tox_0}[f(x)+g(x)]\)不存在。（）3.函數(shù)\(y=x^4\)在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)為\(0\)，所以\(x=0\)是函數(shù)的極值點(diǎn)。（）4.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)。（）5.若\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)。（）6.向量\(\vec{a}=(1,0,0)\)，\(\vec=(0,1,0)\)，\(\vec{c}=(0,0,1)\)線性無關(guān)。（）7.方程\(y^{\prime\prime}-2y^\prime+y=0\)的通解是\(y=(C_1+C_2x)e^x\)，其中\(zhòng)(C_1\)、\(C_2\)為任意常數(shù)。（）8.平面\(2x+3y-z+1=0\)與平面\(x-2y+3z-2=0\)垂直。（）9.函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((0,0)\)處取得極小值。（）10.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\)是絕對收斂的。（）答案：1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.×9.√10.×四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}\)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型。答案：函數(shù)定義域\(x\neq1\)且\(x\neq2\)。\(x=1\)時(shí)，\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}=\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(x-2)}=-2\)，是可去間斷點(diǎn)；\(x=2\)時(shí)，\(\lim_{x\to2}\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}=\infty\)，是無窮間斷點(diǎn)。2.計(jì)算不定積分\(\intxe^xdx\)。答案：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C\)。3.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)。答案：\(\vertA\vert=1\times4-2\times3=-2\)。伴隨矩陣\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)，則\(A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。4.求微分方程\(y^\prime+2y=0\)的通解。答案：這是一階線性齊次微分方程，其通解公式為\(y=Ce^{-\intp(x)dx}\)，這里\(p(x)=2\)，\(\int2dx=2x\)，所以通解\(y=Ce^{-2x}\)，\(C\)為任意常數(shù)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的單調(diào)性與極值。答案：求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)，\(x=2\)。當(dāng)\(x<0\)或\(x>2\)時(shí)，\(y^\prime>0\)，函數(shù)遞增；當(dāng)\(0<x<2\)時(shí)，\(y^\prime<0\)，函數(shù)遞減。所以\(x=0\)取極大值\(1\)，\(x=2\)取極小值\(-3\)。2.討論級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)的斂散性。答案：當(dāng)\(p>1\)時(shí)，根據(jù)\(p-\)級數(shù)性質(zhì)，級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收斂；當(dāng)\(p=1\)時(shí)，級數(shù)為調(diào)和級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)，發(fā)散；當(dāng)\(p<1\)時(shí)，通過比較判別法可知級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)發(fā)散。3.舉例說明矩陣乘法不滿足交換律，并闡述其原因。答案：例如\(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}\)，\(AB=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\)，\(BA=\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\1&1