三.平面向量的數(shù)量積

高中數(shù)學(xué)必修4之平面向量

113兩個(gè)向量的數(shù)員積：

知識(shí)點(diǎn)歸納1已知兩個(gè)非零向員團(tuán)與(3,它們的夾角為田，則(3?(3=ImI?I0Icosl

一,向量的基本概念與基本運(yùn)算

叫做d與b的數(shù)室積(或內(nèi)積).規(guī)定0G=0.

1.向里的概念：

①向昆：既仃大小又有方向的量向盤(pán)不能比較大小，但向盤(pán)的模可以比較大小.213向盤(pán)的投杉：I0|cos0=SER,稱為向東13在13方向上的投影團(tuán)投影的絕對(duì)值稱為射

②零向余：氏度為。的向量:，記為，其方向是任意的，與任意向量平行影13

③單位向量：極為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向成團(tuán)3數(shù)量積值幾何意義：?等于的尺度與在方向上的投影的乘積

④平行向量(共線向量:)：方向相同或相反的非零向量由43向量的模與平方的關(guān)系：33

⑤相等向量：K度相等且方向相同的向吊?E5乘法公式成立：

2、向吊加法：設(shè)瓦則團(tuán)短=(33

(4+6).(。_8)=f_〃2=|“『_忖：

(1)6+?=0+6=?；(2)向量加法滿足交換律與結(jié)合律；

(a±b)-a'±2ii-b+h'=|?|2±2a-/?+|fc|

團(tuán)，但這時(shí)必須“首尾相連”.

3.向量的減法：①相反向量：與團(tuán)長(zhǎng)度相等、方向相反於向量，叫做團(tuán)的相反向量060平面向量數(shù)盤(pán)積的運(yùn)算律：

②向量減法：向吊團(tuán)加上EJ的相反向量叫做13與3的差，②作圖法：EI可以表示為從(3①交換律成立：

的終點(diǎn)指向3的終點(diǎn)的向量(0,13有共同起點(diǎn))0②對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：

4、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)人與向量團(tuán)的積是一個(gè)向量，記作X。它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定③分配律成立：

如下：特別注意：(1)結(jié)合律不成立：：

(I):(H)當(dāng)時(shí)，入的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，X的方向與

(2)消去律不成立a/〉=a-c不能得到力=c?

的方向相反：當(dāng)時(shí)，,方向是任意的

5,兩個(gè)向量共線定理：向量13與#零向量(3共線(3有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)0,使得13=00

(3)?/>=0不能用到。-0或方-0.

6、平面向量的基本定理：如果但是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面

內(nèi)的任一向量口有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)值使：國(guó)其中不共線的向量團(tuán)叫做表示這一平面內(nèi)70兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：

所有向量的一組基底(3已知兩個(gè)向地里則(3?13=03

二.平面向量的坐標(biāo)表示80向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量團(tuán)與團(tuán)，作(3=3,13=0,則/A0B=(3(13)叫做向量：團(tuán)與13

113平面向量的坐標(biāo)表示：平面內(nèi)的任一向量(3可表示成團(tuán)，記作(3=(xM。的夾角(3

(1)2G平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：cos”—旦=j—產(chǎn)_

(2)若SWJ0同?網(wǎng)石嘉?ATM?

(3)若■WJC5

(4)若B=(x,v),RlJiaSsfBx,By)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向&13與(3同方向時(shí)，(“00,當(dāng)且僅些口與EI反方向時(shí)(I=1800,同時(shí)

(5)若一WJ013與其它任何非零向散之間不談夾角這一問(wèn)題13

若U,則09垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作!

若同則GJ10兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：

ABC的().

ci±ba?b=0oxfx2+yty2=0?平面向中數(shù)量積的性質(zhì)

A.三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

一、選擇題

C.三條中線的交點(diǎn)D.三條高的交點(diǎn)

1在△ARC中，AR=AC,QE分別是AR,AC的中點(diǎn)，則【)

9.在四力形ABCD中,Bl=a+2b,(3=-4a-b,B)=-5a—3b,其中a,b不共線，則

A方與0共線B方與(3共線C.團(tuán)與13相等D.6與團(tuán)相等

四邊形ABCD為().

2.下列命題正確的是().

A.平行四邊形B.矩形C.構(gòu)形D.菱形

A.向量型押是兩平行向量B.若a,b都是單位向景，則a=b

10.如|軋?zhí)菪蜛BCD中，||=||,〃〃則相等向量是().

C.若⑦=&則A,B,C,D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形

A.與B.與

D.兩向量相等的充要條件是它們的始點(diǎn)、終點(diǎn)相同

C.與D.與

3.平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1),B(-l,3),若點(diǎn)C滿足(3=

二、填空題

B+④其中，CR,且+=1,則點(diǎn)C的軌跡方程為().

11.已知向垃0=化，12),0=(4,5),0=(-k,10),且A,B,C三點(diǎn)共線，則k

A.3x+2y-ll=0B.(x-l)2+(y-l)2=5C.2x-y=0D.x+2y—5=0

4.己知a、b是非零向貴且滿足(a—2b)，a,(b-2a)_Lb,則a與b的夾角是A.Q

12.己知向fita={x+3,x2—3*-4)與(8相等,其中N(—1,3),N(l,3),則x

B.BC.ED.0

5.己知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對(duì)角紋AC上(不包括端點(diǎn)A,C),則用=

13.己知平面上三點(diǎn)A,B,C滿足同=3,|叫=4,網(wǎng)=5,則①?圖+團(tuán)?團(tuán)+13?(3的

A.X((3+C),X€(0,1)B.X(0+S),XG(0r(3)

值等于

C.八儂一酊，xe(0,1)D.X(E-0),Xe(0,E)

14.給足兩個(gè)向量a=(3,4),b=(2,-1),且(a+mb)_L(a-b),則實(shí)數(shù)m等

6.AABC也D,E,F分別是AB,BC,AC的中點(diǎn)，則團(tuán)=().

于.

A.a+aB.B-13c.B+aD.Q+Q

15.己知A,B,C三點(diǎn)不共線,O是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，若￡8+0+0=0,則O是4ABC

7.若平面向貴a與b的夾角為60°,|b|=4,(a+2b)?(a—3b)=-72,則向量a

的

的模為().

16.設(shè)平面內(nèi)有四邊形ABCD和點(diǎn)O,!2=a,(3=b,I3=c,13=d,若a+c=b+d,則

A.2B.4C.6D.12

四邊形ABC。的形狀是

8.點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足0?S=E?E=E?0,則點(diǎn)O是^

三、解答題

17.已知點(diǎn)A[2,3),B(5,4),C(7,10),若點(diǎn)P滿足團(tuán)=13+入固入GR),試求X為何

值時(shí)，點(diǎn)P在第三象限內(nèi)？

193!)

20.已/向ita=(8So,sln(?),向/b=(n-n則|2a-b|的最大值.

18.如圖,己知AABC,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M,N,D分別是AB,AC,BC的中點(diǎn),

且MN與AD交丁?F,求El.

19.如圖，在正方形ABCD中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),求證:AF_LDE(利用向量

證明).

4.B

解析：V(a-2b)la,(b-2a)lbf

.".(a_2b),a=a2—2a,b=0,(b—2a)?b=b2—2a,b=0,

a2=b2,EV|a|=|b|.|a|2=2|a||b|cos0=2|a|2cos0.解得8s?=0.

a與b的夾角是吼

5.A

解析：由平行四邊形法則,(3+用=同，又(3+(3=劭由.1的范國(guó)和向屈數(shù)乘的長(zhǎng)度,

\仁(0,1).

6.D

解析：如圖，???13=%

:.0=Q+B=B+R.

一、選擇題7.C

1.B.解析：由(a+2b)?(a-3b)=-72,得a2-a?b—6b2=-72.

.I.

解析：加圖,(3與外國(guó)與(3不平行,(3與(2共線反向./\

而|b|=4,a?b=|a||b|cos60"=2|a|,

2.A二|a|2-2|a|-96=-72,解得|a|=6.

解析：兩個(gè)單位向量可能方向不同，故B不對(duì).若(3=%可能A,B,時(shí)一~~~；8.D

C,D四點(diǎn)共線，故C不對(duì).兩向量相等的充要條件是大小相等，方向相解析：由(3?0=G8?0=E?0,得(3?I3=E?0,

同，故D也不對(duì).即0?(H-Q)=0,

"DAftra?ra=n,mI鞏|司理可證ntI見(jiàn)

解析：提示:設(shè)(3=(兄力,13=(3,1),團(tuán)=(一1,3),0=(3,),0=(-,:.0是AABC的三條高的交點(diǎn).

3)，又0+H=(3-，+3),9.C

A(x,y)=：3-,+3又+=1,由此得到答案為D.解析：?；(8=[3+13+13=-83—26=血2.13〃13且回#閩.

，四邊形ABCD為梯形.=-(ci)2

10.D

=T可

解析:0與GJ?與電(8與團(tuán)方向都不相同，不是相等向量.

=-25.

二、填空題

思路2:V0=3,0=4,0=5,.,.ZABC=90t,

H.-a

cosZCAB==,cosZBCA==.

解析:A,B,C三點(diǎn)共線等價(jià)于&13共線，

根據(jù)數(shù)枳定義，結(jié)合圖(右圖)知伊?同=0,

133=0-0=(4,5)-(k,12)=(4-k,-7),

(?i*a=ta?i?icosZACE=4X5x(-ta)=-i6,

0=(3-0=(-^10)-(4,S)=(-k-4,5),

0*0=0*Plco$ZBAD=3XSX(-a)=-9.

又A,B,C三點(diǎn)共線，

...?+?+?=0-l6-9=-25.

A5(4-k)=-7(-k-4),I.k=-(3.

14.a.

12.-1.

解析?a+mh=(2+2m,4—m),a—h=(1,S)

解析:VM(-1,3),N(1,3),

,:(a+mb)l(a-b),

0=(2,0),又a=G3,

/.(a+mb)?(a—b)=(3+2m)X1+(4-m)X5=Cm=.

???x+3=2解f咋r=-?i如=4

IS.答案：重心.

解析：如圖，以(3,I3為鄰邊作□A。CF交AC「點(diǎn)E,?iJ(3=￡8+0,又(3+0=-E,

x=—1.

:.=2=-.。是AABC的重心.

13.-25.

16.答案：平行四邊形.

解析：思洋1：V0=3,H=4,E=5,

解析：Va+c=b+d,a—b=d—c,.*.(3=0.

ZkABC為直角三角形且NABC=90°,即_L,?=0,

:.四這形ABCD為平行四邊形.

AB-3C+BC-CA-i-CA?AB

三、解答題

=5C?C4+C4?4S17.

解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(X,y),M0=(x,y)-(2,3)