②若時(shí)，（i）如圖1，當(dāng)在右側(cè)時(shí)，過作，交射線于兩點(diǎn)，則，不妨設(shè)與的相似比為由三點(diǎn)共線可知：存在使得：所以（ii）當(dāng)在左側(cè)時(shí)，射線的反向延長線與有交點(diǎn)，如圖1作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由（i）的分析知：存在存在使得：所以，于是綜合上面的討論可知：圖1中用線性表示時(shí)，其系數(shù)和只與兩三角形的相似比有關(guān)。我們知道相似比可以通過對(duì)應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來刻畫。因?yàn)槿切蔚母呔€相對(duì)比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖1中，過作邊的垂線，設(shè)點(diǎn)在上的射影為，直線交直線于點(diǎn)，則(的符號(hào)由點(diǎn)的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍一般解題步驟：（1）確定單位線（當(dāng)時(shí)的等和線）；（2）平移等和線，分析何處取得最值；（3）從長度比計(jì)算最值.【考點(diǎn)一：平面向量基本定理】一、單選題1．（24-25高一下·山東濟(jì)寧·期中）如圖，在平面內(nèi)，不共線向量與構(gòu)成的四邊形中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn).若，則（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【分析】利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意有所以.故選：C.2．（24-25高三上·安徽·開學(xué)考試）在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合圖形，利用向量的加減數(shù)乘運(yùn)算，將待求向量用基向量和表示即得.【詳解】如圖所示，由題意，.故選：C.3．（24-25高一下·廣西來賓·階段練習(xí)）已知E，F(xiàn)分別是平行四邊形ABCD的邊BC和CD的中點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以為一組基底，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求，即可得.【詳解】由題意可得：，又因?yàn)?，即，所?故選：B.4．（24-25高一下·吉林延邊·期中）如圖中G為重心，PQ過G點(diǎn)，，則（

）

A．3 B．2 C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由向量的線性運(yùn)算可得的表達(dá)式，又由向量共線的性質(zhì)設(shè)，即，變形整理可得結(jié)論；【詳解】根據(jù)題意；又因?yàn)?，三點(diǎn)共線，則存在，使得，即，即，所以，整理得，所以.故選：A.5．（24-25高一下·天津靜?！るA段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，若，，，則的最小值（

）A．2 B．8 C．9 D．18【答案】C【分析】由向量加法及數(shù)乘的幾何意義得，再由向量共線的結(jié)論有，最后應(yīng)用“1”的代換及基本不等式求最小值.【詳解】由題意，，又共線，則，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為9.故選：C【考點(diǎn)二：平面向量共線定理】一、單選題1．（24-25高一下·四川遂寧·期中）設(shè)為兩個(gè)非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先根據(jù)向量共線得充分性成立，再由向量共線不一定有兩向量的數(shù)量關(guān)系成立，即必要性不成立.【詳解】因?yàn)?，所以同向共線，故，因?yàn)椋酝蚬簿€或反向共線，所以不一定能推出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2．（24-25高一下·福建三明·期中）已知向量，若三點(diǎn)共線，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線得出向量共線，再根據(jù)平行的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算求參.【詳解】向量，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，則.故選：B.3．（24-25高一下·江蘇無錫·期中）設(shè)與是兩個(gè)不共線向量，且向量與共線，則（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量共線結(jié)合與是兩個(gè)不共線向量，即可計(jì)算求出參數(shù).【詳解】因?yàn)橄蛄颗c共線，則存在，使，又因與是兩個(gè)不共線向量，則，解得.故選：B.4．（23-24高一下·山東濟(jì)寧·期中）已知是不共線的向量，且，則（

）A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線【答案】B【分析】先得到，，然后得到即可判斷B正確；對(duì)于ACD，說明對(duì)應(yīng)的向量不共線即可排除.【詳解】因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以A，B，D三點(diǎn)共線，故B符合題意；因?yàn)槭遣还簿€的向量，，所以不共線，即A，B，C三點(diǎn)不共線，故A不符合題意；因?yàn)槭遣还簿€的向量，，所以不共線，即B，C，D三點(diǎn)不共線，故C不符合題意；因?yàn)槭遣还簿€的向量，，所以不共線，即A，C，D三點(diǎn)不共線，故D不符合題意；故選：B.5．（24-25高一下·山東煙臺(tái)·期中）在中，，M是AN上一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，化簡得到，結(jié)合，列出方程組，求得的值，即可得到答案.【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，設(shè)，又因?yàn)?，可得，因?yàn)椋傻?，可?故選：D.6．（24-25高一下·云南文山·期中）已知向量，，且與方向相反，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】分析可知向量、不共線，根據(jù)題意可知，所以存在實(shí)數(shù)使，根據(jù)平面向量的基本定理可得出關(guān)于、的方程組，結(jié)合可解得的值.【詳解】因?yàn)椋?，且，所以向量、不共線，且向量，方向相反，所以存在實(shí)數(shù)使，即，所以，整理得，解得或，又，所以.故選：B.【考點(diǎn)三：平面向量共線定理及其推論】一、單選題1．（23-24高一下·四川南充·期末）在中，，是線段上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查三點(diǎn)共線定理，依題意可得，，根據(jù)平面向量三點(diǎn)共線定理計(jì)算可得.【詳解】由，由已知，則，根據(jù)平面向量三點(diǎn)共線定理得，解得.故選：A2．（24-25高一下·湖北十堰·期中）如圖，在中，，過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，.設(shè)，，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用向量基本定理得到，由共線定理的推論得到方程，求出.【詳解】，因?yàn)椋?，所以，又三點(diǎn)共線，所以，即.故選：C3．（24-25高一下·四川·期中）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，，AD與CE交于點(diǎn)O，若，則的值是（）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】利用共線定理結(jié)合平行四邊形法則和已知條件，設(shè)，用平面向量基本定理求出的值，進(jìn)而求的值.【詳解】因?yàn)樵谏?，所以與共線，設(shè)，因?yàn)椋裕諨是BC的中點(diǎn)，所以，所以，，，所以，所以，即，所以，故所以，故選：C4．（24-25高一下·四川樂山·階段練習(xí)）如圖，在中，與CE的交點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合三點(diǎn)共線的結(jié)論及平面向量基本定理，將、向量都用、表示，進(jìn)而得到，再利用邊的關(guān)系得到面積比例即可.【詳解】因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，，所以，又因?yàn)?，所以，設(shè)，則，即，消可解得，所以，所以，所以，又，所以，所以.故選：B.5．（24-25高一下·貴州遵義·階段練習(xí)）如圖，在中，，過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，.設(shè)，，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線求得的等量關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得的最小值.【詳解】因?yàn)椋裕?，又，，所以，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，由圖可知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：D6．（24-25高一下·廣西南寧·階段練習(xí)）已知三點(diǎn)共線，不共線且在線段上（不含端點(diǎn)），若，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量定理的推理及基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】依題意，，則，又，于是，，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以時(shí)，取得最小值.故選：C

【考點(diǎn)四：等和線的應(yīng)用】一、單選題1．設(shè)是邊上的點(diǎn)，,若，則=（）【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，由于此時(shí)等和線為，所以，即.2．在中，點(diǎn)D是線段BC上任意一點(diǎn)，且滿足，若存在實(shí)數(shù)m和n，使得，則m+n=（）A.B.C.D.【解析】 ，則，所以，則答案：C3．已知是內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槭莾?nèi)一點(diǎn)，且所以O(shè)為的重心在內(nèi)（不含邊界），且當(dāng)M與O重合時(shí)，最小，此時(shí)所以，即當(dāng)M與C重合時(shí)，最大，此時(shí)所以，即因?yàn)樵趦?nèi)且不含邊界所以取開區(qū)間，即所以選B二、填空題4．設(shè)長方形的邊長分別是,點(diǎn)是內(nèi)(含邊界)的動(dòng)點(diǎn),設(shè),則的取值范圍是_________【解析】如圖,取中點(diǎn),則此時(shí)的等和線為平行于的直線顯然,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),最小為1,當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí),最大,由于,所以,于是的最大值為所以的取值范圍是.5．如圖，正六邊形，是內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍是____________【解析】：連接因?yàn)檎呅?，由?duì)稱性知道，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，當(dāng)在上時(shí)，在上射影最小為；當(dāng)與重合時(shí)，在上射影最大為；則設(shè)則則一、單選題1．（24-25高一下·福建三明·期中）已知向量，若三點(diǎn)共線，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線得出向量共線，再根據(jù)平行的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算求參.【詳解】向量，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，則.故選：B.2．（24-25高一下·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）若是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量中能作為平面向量的基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用平面向量的基本定理和基底的概念逐項(xiàng)判斷兩個(gè)向量是否共線即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以共線，不能作為平面向量的基底，故A不合題意；對(duì)于B選項(xiàng)，假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得，則，，無解，所以不共線，可以作為平面的基底，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以共線，不能作為平面向量的基底，故C不合題意；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以共線，不能作為平面向量的基底，故D不合題意.故選：B.3．（24-25高一下·浙江·期中）中，點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn)，設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用給定的基底，結(jié)合向量線性求解.【詳解】由點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn)，得，則，所以.故選：C4．（24-25高一下·安徽滁州·期中）是平面內(nèi)不共線的兩向量，已知，若三點(diǎn)共線，則的值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】利用向量的線性運(yùn)算求得，進(jìn)而由，可得，求解即可.【詳解】由得，由三點(diǎn)共線，得，又不共線，則，所以.故選：A.5．（24-25高一下·陜西榆林·期中）已知，，且，則的坐標(biāo)為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】利用共線向量定理及坐標(biāo)計(jì)算模列式求出的坐標(biāo).【詳解】由，，設(shè)，由，得，解得，所以的坐標(biāo)為或.故選：D6．（24-25高一下·安徽·期中）如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，與對(duì)角線相交于點(diǎn)，記，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖形特征及向量線性關(guān)系計(jì)算判斷.【詳解】由題意得，∽，所以，所以，所以.故選：A.7．（24-25高一下·黑龍江哈爾濱·期中）若點(diǎn)D在的邊上，且，M是的中點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，由向量的線性運(yùn)算，可得答案.【詳解】由為的中點(diǎn)，則，由，則，由圖可知，則，可得，所以.故選：C.8．（24-25高一下·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，在中，在線段上，滿足，為線段上一點(diǎn)，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算直接化簡可得解.【詳解】由已知為線段上一點(diǎn)，設(shè)，，則，又，則，所以，則，解得，故選：D.9．（24-25高一下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）在中，，點(diǎn)在上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的線性運(yùn)算將用表示出來，根據(jù)向量共線和平面向量基本定理可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，則.故選：B.10．（24-25高一下·四川·期中）如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)部（包含邊界），若，則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用取特殊位置上的點(diǎn)來分析對(duì)應(yīng)的變量，通過能取到的特殊值，來排除各選項(xiàng)，最后作出正確判斷.【詳解】

當(dāng)點(diǎn)在四邊形的點(diǎn)處時(shí)，有，對(duì)應(yīng)，可知，此時(shí)有，故AC錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)在四邊形的點(diǎn)處時(shí)，有，對(duì)應(yīng)，可知，此時(shí)有，故D錯(cuò)誤；故選：B.11．（24-25高一下·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，已知分別是邊上的點(diǎn)，且滿足，，與交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)．若，則實(shí)數(shù)的值為（）A．2 B． C． D．3【答案】B【分析】由共線、共線分別可得、，進(jìn)而得，最后由且共線求參數(shù).【詳解】由共線，則，，所以①，由共線，則，，所以②，由①②知：，則，故，由，則，由共線，則，可得.故選：12．（24-25高一下·安徽池州·期中）在中，點(diǎn)在邊上，且滿足，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)平面向量基本定理及共線向量定理的推論，由三點(diǎn)共線得，且，再根據(jù)“1”的代換，運(yùn)用基本不等式可得答案.【詳解】由，可得，由三點(diǎn)共線可得，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C.13．（24-25高一下·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）在中，為線段上一點(diǎn)，且有，則下列命題正確的是（

）A． B．C．的最大值為