勻變速直線運(yùn)動(dòng)的平均速度公式v－t圖像求位移[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解平均速度公式．并能用平均速度公式解決相關(guān)問(wèn)題.2.會(huì)用v－t圖像求位移并判定變加速直線運(yùn)動(dòng)位移的大小．一、平均速度公式的理解與應(yīng)用導(dǎo)學(xué)探究如圖1所示，如果勻變速直線運(yùn)動(dòng)的初速度為v0，末速度為v，這段時(shí)間中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度為，試推導(dǎo)eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(v0＋v,2)＝.圖1答案方法一解析法在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，對(duì)于這段時(shí)間t，其中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度＝v0＋eq\f(1,2)at，該段時(shí)間的末速度v＝v0＋at，由平均速度的定義式和勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式整理加工可得eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)＝eq\f(v0t＋\f(1,2)at2,t)＝v0＋eq\f(1,2)at＝eq\f(2v0＋at,2)＝eq\f(v0＋v0＋at,2)＝eq\f(v0＋v,2)＝，即eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋v,2)＝.方法二圖像法這段時(shí)間位移x＝eq\f(v0＋v,2)t平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)＝eq\f(v0＋v,2)中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度對(duì)應(yīng)梯形中位線高，故＝eq\f(v0＋v,2)知識(shí)深化1．平均速度公式：eq\x\to(v)＝＝eq\f(v0＋v,2)(1)勻變速直線運(yùn)動(dòng)中任意一段時(shí)間t內(nèi)的平均速度等于該段時(shí)間的中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度，還等于該段時(shí)間初、末速度矢量和的一半．(2)若同時(shí)涉及位移與時(shí)間而不涉及加速度，選用平均速度公式及中間時(shí)刻瞬時(shí)速度公式＝eq\f(x,t)，eq\f(v0＋v,2)＝eq\f(x,t).2．三個(gè)平均速度公式的比較：eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)適用于任何運(yùn)動(dòng)，eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋v,2)及eq\x\to(v)＝僅適用于勻變速直線運(yùn)動(dòng)．某汽車從車站由靜止開出，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)了12s時(shí)，發(fā)現(xiàn)還有乘客沒(méi)上來(lái)，于是汽車立即做勻減速直線運(yùn)動(dòng)至停下，共歷時(shí)20s，運(yùn)動(dòng)了50m，求汽車在上述運(yùn)動(dòng)中的最大速度的大?。鸢?m/s解析由于汽車在前、后兩階段均做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)最大速度為vm，則x1＝eq\f(vm,2)t1①x2＝eq\f(vm,2)t2②由①＋②得x1＋x2＝eq\f(vm,2)(t1＋t2)解得vm＝eq\f(2x1＋x2,t1＋t2)＝5m/s.2019年6月6日，中國(guó)科考船“科學(xué)”號(hào)(如圖2所示)對(duì)馬里亞納海溝南側(cè)系列海山進(jìn)行調(diào)查，船上搭載的“發(fā)現(xiàn)”號(hào)遙控?zé)o人潛水器完成了本航次第10次下潛作業(yè)，“發(fā)現(xiàn)”號(hào)下潛深度可達(dá)6000m以上．潛水器完成作業(yè)后上浮，上浮過(guò)程初期可看作勻加速直線運(yùn)動(dòng)．今測(cè)得潛水器相繼經(jīng)過(guò)兩段距離為8m的路程，第一段用時(shí)4s，第二段用時(shí)2s，則其加速度大小是()圖2A.eq\f(2,3)m/s2 B.eq\f(4,3)m/s2C.eq\f(8,9)m/s2 D.eq\f(16,9)m/s2答案A解析根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)中間時(shí)刻的速度等于平均速度可知：v1＝eq\f(8,4)m/s＝2m/s；v2＝eq\f(8,2)m/s＝4m/s再根據(jù)加速度的定義可知：a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(4－2,3)m/s2＝eq\f(2,3)m/s2.故選A.二、v－t圖像求位移1．利用v－t圖像求位移v－t圖線與時(shí)間軸所圍的“面積”表示位移．“面積”在時(shí)間軸上方表示位移為正，“面積”在時(shí)間軸下方表示位移為負(fù)；通過(guò)的位移為時(shí)間軸上、下“面積”絕對(duì)值之差．通過(guò)的路程為時(shí)間軸上、下“面積”絕對(duì)值之和．2．理解(1)初速度為v0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的v－t圖像如圖3甲，其中v0t與矩形面積相等，eq\f(1,2)at2與三角形面積相等，所以x＝v0t＋eq\f(1,2)at2.(2)當(dāng)物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖乙，公式中的a取負(fù)值．相當(dāng)于從勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移中“減去”了一部分．圖3某一做直線運(yùn)動(dòng)的物體的v－t圖像如圖4所示，根據(jù)圖像求：圖4(1)物體距出發(fā)點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離；(2)前4s內(nèi)物體的位移大?。?3)前4s內(nèi)物體通過(guò)的路程．答案(1)6m(2)5m(3)7m解析(1)當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)了3s時(shí)，物體距出發(fā)點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)，xm＝eq\f(1,2)v1t1＝eq\f(1,2)×4×3m＝6m；(2)前4s內(nèi)物體的位移大小x＝|x1|－|x2|＝|eq\f(1,2)v1t1|－|eq\f(1,2)v2t2|＝eq\f(1,2)×4×3m－eq\f(1,2)×2×1m＝5m；(3)前4s內(nèi)物體通過(guò)的路程s＝|x1|＋|x2|＝eq\f(1,2)×4×3m＋eq\f(1,2)×2×1m＝7m.針對(duì)訓(xùn)練1一輛汽車從靜止開始由甲地出發(fā)，沿平直公路開往乙地，汽車先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，接著做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，開到乙地剛好停止，其速度－時(shí)間圖像如圖5所示，那么0～t0和t0～3t0兩段時(shí)間內(nèi)()圖5A．加速度大小之比為3∶1B．位移大小之比為1∶1C．平均速度大小之比為2∶1D．平均速度大小之比為1∶1答案D解析加速度a＝eq\f(Δv,Δt)，由題圖知Δt1＝t0，Δt2＝2t0，則eq\f(a1,a2)＝eq\f(2,1)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；位移大小之比等于v－t圖線與t軸所圍圖形的面積之比，即eq\f(x1,x2)＝eq\f(1,2)，B項(xiàng)錯(cuò)誤；平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋v,2)，eq\f(\x\to(v)1,\x\to(v)2)＝1，C項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確．針對(duì)訓(xùn)練2某物體做直線運(yùn)動(dòng)，物體的v－t圖像如圖6所示．若初速度的大小為v0，末速度的大小為v1，則在0～t1時(shí)間內(nèi)物體的平均速度________(選填“大于”“等于”或“小于”)eq\f(v0＋v1,2).圖6答案大于3．v－t圖像與x－t圖像的比較種類內(nèi)容v－t圖像x－t圖像圖線斜率表示加速度表示速度圖線與時(shí)間軸所圍面積表示位移無(wú)意義兩圖線交點(diǎn)坐標(biāo)表示速度相同，不表示相遇，往往是距離最大或最小的臨界點(diǎn)表示相遇相同點(diǎn)表示物體做直線運(yùn)動(dòng)(2021·廣元天立國(guó)際學(xué)校月考)有四個(gè)物體A、B、C、D，物體A、B運(yùn)動(dòng)的x－t圖像如圖7甲所示；物體C、D從同一地點(diǎn)沿同一方向運(yùn)動(dòng)的v－t圖像如圖乙所示．根據(jù)圖像做出的以下判斷中正確的是()圖7A．物體A和B均做勻變速直線運(yùn)動(dòng)B．在0～3s的時(shí)間內(nèi)，物體A、B的間距逐漸減小C．t＝3s時(shí)，物體C、D的位移相同D．在0～3s的時(shí)間內(nèi)，物體C與D的間距逐漸增大答案D解析由題圖甲看出：物體A和B的位移－時(shí)間圖像都是傾斜的直線，斜率都不變，速度都不變，說(shuō)明兩物體都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤；由題圖甲看出，在0～3s的時(shí)間內(nèi)，物體A的位移都大于B的位移，且從圖像上可以看出兩者之間的距離一直在增大，故B錯(cuò)誤；由題圖乙可以看出C、D兩物體的v－t圖線在t＝3s交于一點(diǎn)，所以此時(shí)刻C、D的速度一定相同，根據(jù)v－t圖線與t軸所圍面積表示位移以及物體C、D從同一地點(diǎn)沿同一方向運(yùn)動(dòng)可知，t＝3s時(shí)物體C、D的位移不相同，故C錯(cuò)誤；由題圖乙看出：在0～3s的時(shí)間內(nèi)，D的速度較大，C、D間距離增大，故D正確．考點(diǎn)一平均速度公式的運(yùn)用1．(2021·河南省高一月考)如圖1所示是我國(guó)航母戰(zhàn)斗機(jī)在航母上的起飛過(guò)程．假設(shè)該戰(zhàn)斗機(jī)起飛前從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，達(dá)到起飛速度v所通過(guò)的位移為x，則該戰(zhàn)斗機(jī)起飛前的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為()圖1A.eq\f(2x,v) B.eq\f(x,v)C.eq\f(x,2v) D.eq\f(x,4v)答案A解析由平均速度公式可知x＝eq\f(v,2)t，即t＝eq\f(2x,v)，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤．2．(2021·鹽城市響水中學(xué)高一期末)一輛汽車從車站由靜止開出，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)5s通過(guò)的位移為7.5m，則該汽車在5s末的速度大小為()A．2m/s B．3m/sC．4m/s D．5m/s答案B3．一物體從固定斜面上某點(diǎn)由靜止開始沿斜面做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)3s后到達(dá)斜面底端，并在水平地面上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，又經(jīng)過(guò)9s停止，已知物體經(jīng)過(guò)斜面和水平地面交接處時(shí)速度大小不變，則物體在斜面上的位移與在水平地面上的位移之比是()A．1∶1B．1∶2C．1∶3D．3∶1答案C解析設(shè)物體到達(dá)斜面底端時(shí)的速度為v，則物體在斜面上的平均速度eq\x\to(v)1＝eq\f(v,2)，在斜面上的位移x1＝eq\x\to(v)1t1＝eq\f(v,2)t1在水平地面上的平均速度eq\x\to(v)2＝eq\f(v,2)，在水平地面上的位移x2＝eq\x\to(v)2t2＝eq\f(v,2)t2所以x1∶x2＝t1∶t2＝1∶3，故選C.4．一輛汽車在水平地面上沿直線行駛，在0～2t時(shí)間內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，速度由0變?yōu)関.在2t～3t時(shí)間內(nèi)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，速度由v變?yōu)?，在這兩段時(shí)間內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是()A．加速度的大小之比為2∶1B．位移的大小之比為2∶1C．平均速度的大小之比為1∶2D．平均速度的大小之比為2∶1答案B解析根據(jù)題意作出汽車運(yùn)動(dòng)的v－t圖像，如圖所示．根據(jù)圖像的斜率表示加速度，可得加速度的大小之比a1∶a2＝eq\f(v,2t)∶eq\f(v,t)＝1∶2，故A錯(cuò)誤；位移的大小之比x1∶x2＝eq\f(1,2)v·2t∶eq\f(1,2)vt＝2∶1，故B正確；平均速度的大小之比eq\x\to(v)1∶eq\x\to(v)2＝eq\f(0＋v,2)∶eq\f(v＋0,2)＝1∶1，故C、D錯(cuò)誤．考點(diǎn)二v－t圖像的應(yīng)用5．(2021·連云港東?？h高一期末)越來(lái)越多的攝影愛(ài)好者開始迷上了無(wú)人機(jī)航拍攝影，在某次航拍中，無(wú)人機(jī)起飛時(shí)豎直方向的速度隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖2所示，下列說(shuō)法中正確的是()圖2A．無(wú)人機(jī)經(jīng)20s到達(dá)最高點(diǎn)B．無(wú)人機(jī)在0～80s時(shí)間內(nèi)飛行的最大高度為360mC．無(wú)人機(jī)在0～80s時(shí)間內(nèi)飛行的最大高度為300mD．無(wú)人機(jī)在70s時(shí)的加速度為－0.075m/s2答案B6.(2021·徐州市高一期末)如圖3所示為一物體運(yùn)動(dòng)的速度—時(shí)間圖像，下列說(shuō)法正確的是()圖3A．5s末加速度反向B．5～6s內(nèi)加速度的方向與速度的方向相反C．8s末離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)D．前6s的平均速度大小為1.5m/s答案D7．做直線運(yùn)動(dòng)的物體甲的x－t圖像和物體乙的v－t圖像分別如圖4甲、乙所示，則關(guān)于這兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)情況，下列說(shuō)法正確的是()圖4A．甲在0～6s時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)方向不變，它通過(guò)的總位移大小為2mB．甲在0～6s時(shí)間內(nèi)平均速度為零C．乙在0～6s時(shí)間內(nèi)通過(guò)的總位移為零D．乙在0～6s時(shí)間內(nèi)加速度大小不變，方向發(fā)生了變化答案C解析位移－時(shí)間圖像中圖線的斜率表示速度，甲在整個(gè)過(guò)程中圖線的斜率不變，知甲運(yùn)動(dòng)的速度不變，總位移為Δx＝2m－(－2m)＝4m，故A、B錯(cuò)誤；乙在0～6s內(nèi)，先向負(fù)方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，后向正方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，速度的方向在第3s時(shí)發(fā)生改變，v－t圖線與時(shí)間軸圍成的面積表示位移，則乙在0～6s內(nèi)總位移為零，故C正確；速度－時(shí)間圖像中圖線的斜率表示加速度，題圖乙中圖線的斜率不變，知乙的加速度大小不變，方向也未發(fā)生改變，故D錯(cuò)誤．8．如圖5是某物體運(yùn)動(dòng)的v－t圖像，根據(jù)圖像求：圖5(1)0～6s內(nèi)物體的位移為________．(2)0～2s內(nèi)物體的平均速度eq\x\to(v)1＝________，4～5s內(nèi)物體的平均速度eq\x\to(v)2＝________，eq\x\to(v)1________(選填“＞”“＝”或“＜”)eq\x\to(v)2.答案(1)6.5m(2)1m/s1m/s＝解析(1)0～5s內(nèi)物體向正方向運(yùn)動(dòng)位移x1＝eq\f(2＋5×2,2)m＝7m5～6s內(nèi)物體的位移x2＝－eq\f(1×1,2)m＝－0.5m0～6s內(nèi)物體的位移x＝x1＋x2＝6.5m(2)eq\x\to(v)1＝eq\f(0＋v,2)＝1m/seq\x\to(v)2＝eq\f(v＋0,2)＝1m/seq\x\to(v)1＝eq\x\to(v)2.9．(2021·宿遷市高一上期末)甲、乙、丙、丁四輛車由同一地點(diǎn)向同一方向運(yùn)動(dòng)，甲、乙的x－t圖像和丙、丁的v－t圖像如圖6所示，下列說(shuō)法中正確的是()圖6A．0～t1時(shí)間內(nèi)甲車路程小于乙車路程B．0～t1時(shí)間內(nèi)的某時(shí)刻甲、乙兩車速度相等C．t2時(shí)刻，丙、丁兩車相遇D．t2時(shí)刻丙車加速度比丁車的加速度小答案B10．(2020·鎮(zhèn)江市丹徒高中月考)中國(guó)自主研發(fā)的“暗劍”無(wú)人機(jī)，時(shí)速可超過(guò)2馬赫．在某次試飛測(cè)試中，起飛前沿地面做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速過(guò)程中連續(xù)經(jīng)過(guò)兩段均為120m的測(cè)試距離，用時(shí)分別為2s和1s，則無(wú)人機(jī)的加速度大小是()A．20m/s2 B．40m/s2C．60m/s2 D．80m/s2答案B11．(2021·鎮(zhèn)江市丹徒高中月考)汽車以10m/s的速度在平直公路上勻速行駛，某時(shí)刻駕駛員發(fā)現(xiàn)正前方15m處的斑馬線上有行人，經(jīng)過(guò)0.5s反應(yīng)時(shí)間后，采取剎車禮讓行人，汽車恰好停在斑馬線前．汽車運(yùn)動(dòng)的v－t圖像如圖7所示，則汽車剎車時(shí)的加速度大小為()圖7A．20m/s2 B．6m/s2C．5m/s2 D．4m/s2答案C解析減速位移x′＝(15－10×0.5)m＝10m，減速時(shí)間設(shè)為t′，x′＝eq\f(v0,2)t′，得t′＝2s，a＝eq\f(v0,t′)＝5m/s2，C正確．12．(2020·山西太原高一上期中)我國(guó)“蛟龍?zhí)枴陛d人潛水器進(jìn)行下潛試驗(yàn)，從水面開始豎直下潛，最后返回水面，其v－t圖像如圖8所示，則下列說(shuō)法正確的是()圖8A．0～4min和6～10min兩時(shí)間段平均速度大小相等B．全過(guò)程中的最大加速度為0.025m/s2C．3～4min和6～8min的加速度方向相反D．本次下潛的最大深度為6m答案A解析根據(jù)v－t圖像中圖線與橫軸圍成的面積表示位移，則0～4min內(nèi)的位移大小為：x＝eq\f