高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市即墨區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.平行六面體中，化簡(jiǎn)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】D【解析】因?yàn)?故選：D.3.在正方體中，是棱的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖：取中點(diǎn)，連接，根據(jù)正方體的性質(zhì)，可知，所以即為異面直線(xiàn)與所成的角，設(shè)為.連接，不妨設(shè)，則中：，.所以.故選：C.4.等差數(shù)列中，，則（）A.12 B.33 C.36 D.45【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，即，所以.故選：B.5.已知是直線(xiàn)的方向向量，是平面的法向量，若平面，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意：，所以.故選：B.6.已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，，則使成立的的最小值為（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】A【解析】根據(jù)條件：，解得.所以.由.所以使成立的的最小值為9.故選：A.7.已知數(shù)列滿(mǎn)足且，則（）A.1023 B.1124 C.2146 D.2145【答案】C【解析】根據(jù)遞推公式可知：數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)依次為：，，，…，為等比數(shù)列；數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為：，，，…，為等差數(shù)列.所以.故選：C.8.若成等比數(shù)列，且滿(mǎn)足，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】成等比數(shù)列，設(shè)公比為,∵，∴，∴，，，∴，，，∵，∴，從而，由得，則，由得，即，得，∵，∴，解得，∴，，∴，，∴，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知空間中三點(diǎn)，則（）A.B.方向上的單位向量是C.是平面的一個(gè)法向量D.在上的投影向量的模為【答案】ACD【解析】由題意：，，.對(duì)A：因?yàn)椋蔄正確；對(duì)B：因?yàn)?，即方向上的單位向量是，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)?，，所以成立，故是平面的一個(gè)法向量，故C正確；對(duì)D：由，故D正確.故選：ACD10.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入個(gè)正數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等比數(shù)列，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，不是中的項(xiàng)D.若是數(shù)列中的項(xiàng)，則【答案】ABD【解析】對(duì)A：易知，故A正確；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，為等比數(shù)列，設(shè)公比為，且，，所以，所以，所以，故B正確；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，，所以是數(shù)列的第7項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：對(duì)數(shù)列，，，則公比，所以，所以，由是數(shù)列中項(xiàng)，所以，所以，故D正確.故選：ABD.11.如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，分別為的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.B.存在點(diǎn)，使面C.最小值為D.存在兩個(gè)點(diǎn)，使與所成的角為60°【答案】ABC【解析】如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則,，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)，.所以，.對(duì)A：，所以，故A正確；對(duì)B：因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄靠扇。?，所以點(diǎn)為線(xiàn)段中點(diǎn)時(shí)，面，故B正確；對(duì)C：因?yàn)椋?dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)D：由或，因?yàn)椋圆缓项}意，所以使與所成的角為60°的點(diǎn)只有1個(gè)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分．12.數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式__________.【答案】【解析】由題意可知，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，分母為的指數(shù)冪，分子為項(xiàng)數(shù)的倍，則通項(xiàng)公式為.13.已知//面，平面的一個(gè)法向量，平面內(nèi)一點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線(xiàn)到平面的距離為_(kāi)_______．【答案】【解析】因?yàn)?/面，所以直線(xiàn)到平面的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，又，則點(diǎn)到平面的距離.14.數(shù)列中，，若，則______．【答案】2023【解析】令，則，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.所以.所以，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，．（1）證明是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）證明：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，所以，當(dāng)時(shí)，，且，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，以9為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）得：，所以.16.如圖，和所在平面垂直，且，．求：（1）直線(xiàn)AD與直線(xiàn)BC所成角的大??；（2）直線(xiàn)AD與平面BCD所成角的大??；（3）平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值．解：設(shè)，作AO⊥BC于點(diǎn)O，連DO，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OD，OC，OA的方向分別為x軸、y軸、z軸方向，建立坐標(biāo)系，得下列坐標(biāo)：，，，，（1），，所以AD與BC所成角等于90°．（2），顯然為平面BCD的一個(gè)法向量∴，直線(xiàn)AD與平面BCD所成角的大?。?）設(shè)平面ABD的法向量為則所以，即，令，則，則設(shè)平面ABD和平面BDC的夾角為，則因此平面ABD和平面BDC的夾角的余弦為．17.如圖，直三棱柱中，分別為棱上的動(dòng)點(diǎn)，.（1）求的余弦值；（2）當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí)，求平面與平面的夾角正切值.解：（1）因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，，所以取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接取，則有兩兩垂直，且交于一點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系：設(shè)，，則，則，則，，設(shè)，所以，，所以，所以，，又因?yàn)?，所以，則有，整理得：，由，解得，不滿(mǎn)足，故舍去；由，解得，所以為等腰直角三角形，，所以，所以；（2）由（1）可知為等腰直角三角形，，，所以，，，，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)分別中點(diǎn)，設(shè)，易知為中點(diǎn)，平面與平面的夾角，所以，所以.18.已知在數(shù)列中，，且滿(mǎn)足．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)積；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）證明：當(dāng)時(shí)，，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）解：因?yàn)椋?（3）解：因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所?19.設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列是公差的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的4項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列是（）—可分?jǐn)?shù)列．（1）分別求出所有的個(gè)數(shù)，使數(shù)列和數(shù)列是—可分?jǐn)?shù)列；（2）證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是—可分?jǐn)?shù)列，且每組等差數(shù)列的公差都為；（3）已知使數(shù)列是—可分?jǐn)?shù)列的所有的個(gè)數(shù)為，求證：當(dāng)時(shí)，（i）；（ii）．（1）解：等差數(shù)列，刪去2項(xiàng)后，剩下4個(gè)數(shù)，構(gòu)成等差數(shù)列.若刪去，剩下，顯然構(gòu)成等差數(shù)列；若刪去，剩下，顯然構(gòu)成等差數(shù)列；若刪去，剩下，顯然構(gòu)成等差數(shù)列.所以對(duì)于，滿(mǎn)足條件的組合有：共3個(gè).等差數(shù)列，刪去2項(xiàng)后，剩下8項(xiàng)分成2組，每組4個(gè)數(shù)，且每組構(gòu)成等差數(shù)列.若刪去，剩下，分成2組：和，顯然它們構(gòu)成等差數(shù)列；若刪去，剩下，分成2組：和，顯然它們構(gòu)成等差數(shù)列；若刪去，剩下，分成2組：和，顯然它們構(gòu)成等差數(shù)列；若刪去，剩下，分成2組：和，顯然它們構(gòu)成等差數(shù)列；若刪去，剩下，分成2組：和，顯然它們構(gòu)成等差數(shù)列；若刪去，剩下，分成2組：和，顯然它們構(gòu)成等差數(shù)列；若刪去，剩下，分成2組：和，顯然它們構(gòu)成等差數(shù)列；所以對(duì)于，滿(mǎn)足條件的組合有：共7個(gè).（2）證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為，若，刪去，剩下，當(dāng)時(shí)，剩下，由（1）知，該數(shù)列為可分?jǐn)?shù)列，且公差為；當(dāng)時(shí)，將分成組，每組4個(gè)數(shù)，各組數(shù)列的情況如下：每組都構(gòu)成等差數(shù)列，且每組的公差為.綜上，每組的4個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為.（3）證明：（i）設(shè)在給定的情況下，的組數(shù)為，當(dāng)變成，數(shù)列就變成了，可以分為3組：前4個(gè)一組即，中間的一組，后4個(gè)一組即，刪去兩項(xiàng)，會(huì)有以下幾種情況：若刪去的兩項(xiàng)都在中間，中間有個(gè)數(shù)，且為等差數(shù)列，總數(shù)為種；若刪去的兩項(xiàng)，一項(xiàng)在第1組，另一項(xiàng)在中間組；或兩項(xiàng)都在第1組；第1組和中間組連起來(lái)，有項(xiàng)構(gòu)成等