高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，直線的斜率，故直線的傾斜角為.故選：D.2.橢圓與橢圓的（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等【答案】D【解析】由于的長軸長為，短軸長為，焦距為，離心率為，而橢圓的長軸長為10，短軸長為8，短軸長為6，離心率為，故兩個(gè)橢圓的焦距相等，故選：D3.經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程為（）A B.C D.【答案】B【解析】由題知：，解得：，交點(diǎn).直線的斜率為，所求直線斜率為.所求直線為：，即.故選：B.4.設(shè)橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)為，.若點(diǎn)在上，則的周長為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】由于點(diǎn)在上，所以，得，，所以橢圓：，則，.由橢圓的定義，，而，所以的周長為.故選：B.5.已知向量，，以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A. B. C.2 D.12【答案】A【解析】向量，，則，，，，所以以，為鄰邊的平行四邊形的面積.故選：A6.已知三條直線，，不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)的取值集合為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】直線的斜率分別為，縱截距分別為由，解得，即直線的交點(diǎn)為，由直線不能圍成三角形，得直線或或點(diǎn)在直線上，則或或，解得或或，所以實(shí)數(shù)的取值集合為.故選：C7.二面角的棱上有、兩點(diǎn)，直線、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于，已知，，，，則該二面角的大小為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】由可得,故，進(jìn)而可得,由于，由于，故，由于夾角的大小即為二面角的大小，故二面角大小為120°，故選：C8.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線的一個(gè)法向量為，則直線的點(diǎn)法式方程為：，化簡得.類比以上做法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)的平面的一個(gè)法向量為，則該平面的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意可得，化簡得，故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法中，正確的有（）A.直線在y軸上的截距是2B.直線與平行，則實(shí)數(shù)的值為1C.若點(diǎn)A（5，－2）和點(diǎn)B（m，n）關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱，則m＋n＝3D.過點(diǎn)且在x軸，y軸上的截距相等的直線方程為【答案】BC【解析】A.直線在y軸上的截距是所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.直線與平行，則所以或當(dāng)時(shí)，兩直線重合，所以舍去.所以實(shí)數(shù)的值為1.所以該選項(xiàng)正確；C.若點(diǎn)A（5，－2）和點(diǎn)B（m，n）關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱，所以，則m＋n＝3，所以該選項(xiàng)正確；D.過點(diǎn)且在x軸，y軸上的截距相等的直線方程為或，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC10.直線，圓，下列結(jié)論正確的是（）A.直線恒過定點(diǎn)B.直線與圓必有兩個(gè)交點(diǎn)C.直線與圓的相交弦長的最大值為D.當(dāng)時(shí)，圓上存在3個(gè)點(diǎn)到直線距離等于1【答案】ABD【解析】將直線的方程化為，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，選項(xiàng)A正確；圓的方程化為，圓心2,0，半徑2，直線恒過定點(diǎn)到圓心的距離為，所以定點(diǎn)在圓C內(nèi)，故而直線與圓必有兩個(gè)交點(diǎn)，所以選項(xiàng)B正確；直線與圓的相交，相交弦最長的是直徑，故而相交弦長的最大值為4，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，直線，圓心2,0到直線的距離為1，如圖所示，x軸與圓的兩個(gè)交點(diǎn)O、B到直線的距離為1；又因?yàn)閳A半徑為2，所以直線與圓的交點(diǎn)A到直線的距離為1，故而圓上存在3個(gè)點(diǎn)到直線距離等于1，選項(xiàng)D正確.故選：ABD11.以下命題正確的是（）A.若是平面的一個(gè)法向量，直線上有不同的兩點(diǎn)A，，則的充要條件是B.已知A，，三點(diǎn)不共線，對于空間任意一點(diǎn)，若，則，A，，四點(diǎn)共面C.已知，，若與垂直，則D.已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，則邊上的高的長為【答案】BD【解析】對于A：若，則，可得直線或，故A錯(cuò)誤；對于B：因?yàn)锳，，三點(diǎn)不共線，，且，所以，A，，四點(diǎn)共面，故B正確；對于C：由題意，，因與垂直，所以，解得，故C錯(cuò)誤；對于D：由題意，過B作，所以，即，所以，所以，即邊上的高的長為，故D正確.故選：BD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分；共15分.12.經(jīng)過點(diǎn)，且以為一個(gè)方向向量的直線的斜截式方程為________；【答案】【解析】依題意，直線的斜率，所以直線的斜截式方程為.故答案為：13.焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，則值為________；【答案】【解析】由可得，故離心率，解得，故答案為：14.已知直線l過，且與以為端點(diǎn)的線段相交，則直線l的斜率的取值范圍為______．【答案】【解析】根據(jù)題中條件畫出圖形，如圖所示，因?yàn)?，，，設(shè)直線l的斜率為，則，直線l與以為端點(diǎn)的線段相交，結(jié)合圖形，則直線l的斜率的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，，．(1)求線段的長；(2)求異面直線與所成角的余弦值；解：（1）設(shè)，則，，，，,線段的長為.（2）設(shè)異面直線與所成的角為，則,..故異面直線與所成角的余弦值為.16.已知關(guān)于的方程.（1）若方程表示圓，求m的取值范圍；（2）若圓與圓外切，求的值；（3）若圓與直線相交于兩點(diǎn)，且，求的值.解：（1）由方程，整理得，因?yàn)榉匠瘫硎緢A，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）由圓，可得，可得圓心為，半徑為，又由圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與圓相外切，可得，即，解得.（3）由（2）知，圓圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離為，因圓C與直線相交于兩點(diǎn)，且，根據(jù)圓的弦長公式，可得，可得，即，解得.17.如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：在正方體中，且，且，且，所以四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；（2）解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，則.平面，所以是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面夾角為，.因此，平面與平面夾角的余弦值.18.已知橢圓的離心率為，且焦距為8．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l的傾斜角為，且與C交于A，B兩點(diǎn)，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值．解：（1）依題意可知：，解得：，故C的方程為：；（2）依題意可設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立：，整理得：，則，解得：，設(shè)，，則，，原點(diǎn)到直線l的距離，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)“”，即“”時(shí)，的面積有最大值，且最大值為．19.如圖，三棱柱中，側(cè)面，已知，，，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面ABC；（2）在棱CA上是否存在一點(diǎn)M，使得EM與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明