高三數(shù)學平面向量多選題專項訓練單元專題強化試卷學能測試試卷一、平面向量多選題1．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，的面積為.下列有關的結論，正確的是（）A．B．若，則C．，其中為外接圓的半徑D．若為非直角三角形，則答案：ABD【分析】對于A，利用及余弦函數(shù)單調(diào)性，即可判斷；對于B，由，可得，根據(jù)二倍角的余弦公式，即可判斷；對于C，利用和正弦定理化簡，即可判斷；對于D，利用兩角和的正切公式進行運算，即可判斷.【解析：ABD【分析】對于A，利用及余弦函數(shù)單調(diào)性，即可判斷；對于B，由，可得，根據(jù)二倍角的余弦公式，即可判斷；對于C，利用和正弦定理化簡，即可判斷；對于D，利用兩角和的正切公式進行運算，即可判斷.【詳解】對于A，∵，∴，根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性，可得，∴，故A正確；對于B，若，則，則，即，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，在為非直角三角形，，則，故D正確.故選：ABD.【點睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用，三角函數(shù)基本性質(zhì)．考查了推理和歸納的能力．2．是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結論正確的是（）A．是單位向量 B．C． D．答案：ABD【分析】A.根據(jù)是邊長為2的等邊三角形和判斷；B.根據(jù)，，利用平面向量的減法運算得到判斷；C.根據(jù)，利用數(shù)量積運算判斷；D.根據(jù)，，利用數(shù)量積運算判斷.【詳解】A.因為是邊長解析：ABD【分析】A.根據(jù)是邊長為2的等邊三角形和判斷；B.根據(jù)，，利用平面向量的減法運算得到判斷；C.根據(jù)，利用數(shù)量積運算判斷；D.根據(jù)，，利用數(shù)量積運算判斷.【詳解】A.因為是邊長為2的等邊三角形，所以，又，所以是單位向量，故正確；B.因為，，所以，所以，故正確；C.因為，所以，故錯誤；D.因為，，所以，所以，故正確.故選：ABD【點睛】本題主要考查平面向量的概念，線性運算以及數(shù)量積運算，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.3．下列結論正確的是（）A．已知是非零向量，，若，則⊥（）B．向量，滿足||＝1，||＝2，與的夾角為60°，則在上的投影向量為C．點P在△ABC所在的平面內(nèi)，滿足，則點P是△ABC的外心D．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）為頂點的四邊形是一個矩形答案：ABD【分析】利用平面向量的數(shù)量積運算，結合向量的線性運算，對每個選項進行逐一分析，即可容易判斷選擇.【詳解】對：因為，又，故可得，故，故選項正確；對：因為||＝1，||＝2，與的夾角為解析：ABD【分析】利用平面向量的數(shù)量積運算，結合向量的線性運算，對每個選項進行逐一分析，即可容易判斷選擇.【詳解】對：因為，又，故可得，故，故選項正確；對：因為||＝1，||＝2，與的夾角為60°，故可得.故在上的投影向量為，故選項正確；對：點P在△ABC所在的平面內(nèi)，滿足，則點為三角形的重心，故選項錯誤；對：不妨設，則，故四邊形是平行四邊形；又，則，故四邊形是矩形.故選項正確；綜上所述，正確的有：.故選：.【點睛】本題考查向量數(shù)量積的運算，向量的坐標運算，向量垂直的轉化，屬綜合中檔題.4．下列關于平面向量的說法中正確的是（）A．已知A、B、C是平面中三點，若不能構成該平面的基底，則A、B、C共線B．若且，則C．若點G為ΔABC的重心，則D．已知，，若，的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍為答案：AC【分析】根據(jù)平面向量基本定理判斷A；由數(shù)量積的性質(zhì)可判斷；由向量的中點表示和三角形的重心性質(zhì)可判斷，由數(shù)量積及平面向量共線定理判斷D．【詳解】解：因為不能構成該平面的基底，所以，又有公共解析：AC【分析】根據(jù)平面向量基本定理判斷A；由數(shù)量積的性質(zhì)可判斷；由向量的中點表示和三角形的重心性質(zhì)可判斷，由數(shù)量積及平面向量共線定理判斷D．【詳解】解：因為不能構成該平面的基底，所以，又有公共點，所以A、B、C共線，即正確；由平面向量的數(shù)量積可知，若，則，所以，無法得到，即不正確；設線段的中點為，若點為的重心，則，而，所以，即正確；，，若，的夾角為銳角，則解得，且與不能共線，即，所以，故D錯誤；故選：AC．【點睛】本題考查向量共線定理和向量數(shù)量積的性質(zhì)和向量的加減運算，屬于中檔題．5．在中，角，，所對各邊分別為，，，若，，，則（）A． B． C． D．答案：BC【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正確選項.【詳解】解：根據(jù)正弦定理得：，由于，所以或.故選：BC.【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形，是基礎題.解析：BC【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正確選項.【詳解】解：根據(jù)正弦定理得：，由于，所以或.故選：BC.【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形，是基礎題.6．在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，D為BC的中點，則以下結論正確的是（）A． B．C． D．答案：BC【分析】根據(jù)向量的加法和減法運算，以及向量的數(shù)量積運算可選項.【詳解】對于A選項：，故A錯；對于B選項：因為D為BC的中點，，故B正確；對于C選項：，故正確；對于D選項：，而，故解析：BC【分析】根據(jù)向量的加法和減法運算，以及向量的數(shù)量積運算可選項.【詳解】對于A選項：，故A錯；對于B選項：因為D為BC的中點，，故B正確；對于C選項：，故正確；對于D選項：，而，故D不正確.故選：BC.【點睛】本題考查向量的線性運算和向量的數(shù)量積運算，屬于基礎題.7．設為非零向量，下列有關向量的描述正確的是（）A． B． C． D．答案：ABD【分析】首先理解表示與向量同方向的單位向量，然后分別判斷選項.【詳解】表示與向量同方向的單位向量，所以正確，正確，所以AB正確，當不是單位向量時，不正確，，所以D正確.故選：ABD解析：ABD【分析】首先理解表示與向量同方向的單位向量，然后分別判斷選項.【詳解】表示與向量同方向的單位向量，所以正確，正確，所以AB正確，當不是單位向量時，不正確，，所以D正確.故選：ABD【點睛】本題重點考查向量的理解，和簡單計算，應用，屬于基礎題型，本題的關鍵是理解表示與向量同方向的單位向量.8．有下列說法，其中錯誤的說法為（）．A．若∥，∥，則∥B．若，則是三角形的垂心C．兩個非零向量，，若，則與共線且反向D．若∥，則存在唯一實數(shù)使得答案：AD【分析】分別對所給選項進行逐一判斷即可.【詳解】對于選項A，當時，與不一定共線，故A錯誤；對于選項B，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B正確；對于選項C，兩個非零向量解析：AD【分析】分別對所給選項進行逐一判斷即可.【詳解】對于選項A，當時，與不一定共線，故A錯誤；對于選項B，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B正確；對于選項C，兩個非零向量，，若，則與共線且反向，故C正確；對于選項D，當，時，顯然有∥，但此時不存在，故D錯誤.故選：AD【點睛】本題考查與向量有關的命題的真假的判斷，考查學生對基本概念、定理的掌握，是一道容易題.9．下列命題中，正確的是（）A．在中，，B．在銳角中，不等式恒成立C．在中，若，則必是等腰直角三角形D．在中，若，，則必是等邊三角形答案：ABD【分析】對于選項在中，由正弦定理可得，即可判斷出正誤；對于選項在銳角中，由，可得，即可判斷出正誤；對于選項在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判斷出正誤；對于選項在中，利用余弦定理可得解析：ABD【分析】對于選項在中，由正弦定理可得，即可判斷出正誤；對于選項在銳角中，由，可得，即可判斷出正誤；對于選項在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判斷出正誤；對于選項在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形狀，即可判斷出正誤.【詳解】對于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正確；對于，在銳角中，，，，，，因此不等式恒成立，正確；對于，在中，由，利用正弦定理可得：，，，，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命題，錯誤.對于，由于，，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正確.故選：.【點睛】本題考查正弦定理與余弦定理及三角形邊角關系，主要涉及的考點是三角形內(nèi)角的誘導公式的應用，同時考查正弦定理進行邊角轉化，屬于中等題.10．已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別是．則第四個頂點的坐標為（）A． B． C． D．答案：ABC【分析】設平行四邊形的四個頂點分別是，分類討論點在平行四邊形的位置有：，，，將向量用坐標表示，即可求解.【詳解】第四個頂點為，當時，，解得，此時第四個頂點的坐標為；當時，，解得解析：ABC【分析】設平行四邊形的四個頂點分別是，分類討論點在平行四邊形的位置有：，，，將向量用坐標表示，即可求解.【詳解】第四個頂點為，當時，，解得，此時第四個頂點的坐標為；當時，，解得，此時第四個頂點的坐標為；當時，，解得，此時第四個項點的坐標為．∴第四個頂點的坐標為或或．故選:ABC.【點睛】本題考查利用向量關系求平行四邊形頂點坐標，考查分類討論思想，屬于中檔題.11．已知正三角形的邊長為2，設，，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．答案：CD【分析】分析知，，與的夾角是，進而對四個選項逐個分析，可選出答案.【詳解】分析知，，與的夾角是.由，故B錯誤，D正確；由，所以，故A錯誤；由，所以，故C正確.故選：CD【點睛】解析：CD【分析】分析知，，與的夾角是，進而對四個選項逐個分析，可選出答案.【詳解】分析知，，與的夾角是.由，故B錯誤，D正確；由，所以，故A錯誤；由，所以，故C正確.故選：CD【點睛】本題考查正三角形的性質(zhì)，考查平面向量的數(shù)量積公式的應用，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.12．（多選）若，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，則下列說法不正確的是（）A．可以表示平面內(nèi)的所有向量B．對于平面中的任一向量，使的實數(shù)，有無數(shù)多對C．，，，均為實數(shù)，且向量與共線，則有且只有一個實數(shù)，使D．若存在實數(shù)，，使，則答案：BC【分析】由平面向量基本定理可判斷出A、B、D正確與否，由向量共線定理可判斷出C正確與否.【詳解】由平面向量基本定理，可知A，D說法正確，B說法不正確，對于C，當時，這樣的有無數(shù)個，故C解析：BC【分析】由平面向量基本定理可判斷出A、B、D正確與否，由向量共線定理可判斷出C正確與否.【詳解】由平面向量基本定理，可知A，D說法正確，B說法不正確，對于C，當時，這樣的有無數(shù)個，故C說法不正確.故選：BC【點睛】若，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，則對于平面中的任一向量，使的實數(shù)，存在且唯一.13．下列命題中，正確的有（）A．向量與是共線向量，則點、、、必在同一條直線上B．若且，則角為第二或第四象限角C．函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是D．中，若，則為鈍角三角形答案：BCD【分析】根據(jù)共線向量的定義判斷A選項的正誤；根據(jù)題意判斷出角的終邊的位置，然后利用等分象限法可判斷出角的終邊的位置，進而判斷B選項的正誤；利用圖象法求出函數(shù)的最小正周期，可判斷C選項的正誤解析：BCD【分析】根據(jù)共線向量的定義判斷A選項的正誤；根據(jù)題意判斷出角的終邊的位置，然后利用等分象限法可判斷出角的終邊的位置，進而判斷B選項的正誤；利用圖象法求出函數(shù)的最小正周期，可判斷C選項的正誤；利用切化弦思想化簡不等式得出，進而可判斷出選項D的正誤.綜合可得出結論.【詳解】對于A選項，向量與共線，則或點、、、在同一條直線上，A選項錯誤；對于B選項，，，所以，則角為第四象限角，如下圖所示：則為第二或第四象限角，B選項正確；對于C選項，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)是周期函數(shù)，且最小正周期為，C選項正確；對于D選項，，，，對于任意三角形，必有兩個角為銳角，則的三個內(nèi)角余弦值必有一個為負數(shù)，則為鈍角三角形，D選項正確.故選：BCD.【點睛】本題考查三角函數(shù)、三角恒等變換與向量相關命題真假的判斷，考查共線向量的定義、角的終邊位置、三角函數(shù)的周期以及三角形形狀的判斷，考查推理能力，屬于中等題.14．已知為非零向量,則下列命題中正確的是()A．若,則與方向相同B．若,則與方向相反C．若,則與有相等的模D．若,則與方向相同答案：ABD【分析】根據(jù)平面向量的平行四邊形法則與三角不等式分析即可.【詳解】如圖,根據(jù)平面向量的平行四邊形或三角形法則,當不共線時,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊有.當同向時解析：ABD【分析】根據(jù)平面向量的平行四邊形法則與三角不等式分析即可.【詳解】如圖,根據(jù)平面向量的平行四邊形或三角形法則,當不共線時,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊有.當同向時有,.當反向時有,故選：ABD【點睛】本題主要考查了平面向量的線性運算與三角不等式,屬于基礎題型.15．化簡以下各式,結果為的有()A． B．C． D．答案：ABCD【分析】根據(jù)向量的線性運算逐個選項求解即可.【詳解】;;;.故選：ABCD【點睛】本題主要考查了向量的線性運算,屬于基礎題型.解析：ABCD【分析】根據(jù)向量的線性運算逐個選項求解即可.【詳解】;;;.故選：ABCD【點睛】本題主要考查了向量的線性運算,屬于基礎題型.二、平面向量及其應用選擇題16．在中，若，那么一定是（）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等邊三角形解析：B【分析】利用兩角和與差公式化簡原式，可得答案．【詳解】因為，所以所以所以所以,所以,所以.所以三角形是等腰三角形.故選：B.【點睛】本題考查三角恒等變換在解三角形中的應用，考查兩角和與差公式以及兩角和與差公式的逆用，考查學生計算能力，屬于中檔題．17．中，，，分別為，，的對邊，如果，，成等差數(shù)列，，的面積為，那么等于（）A． B． C． D．解析：B【分析】由題意可得，平方后整理得，利用三角形面積可求得的值，代入余弦定理可求得b的值.【詳解】解：∵，，成等差數(shù)列，∴，平方得，又的面積為，且，由，解得，代入式可得，由余弦定理得，，解得，∴.故選：B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和三角形的面積公式，涉及余弦定理的應用，屬于中檔題.18．在中，，，，為的外心，若，、，則（）A． B． C． D．解析：C【分析】作出圖形，先推導出，同理得出，由此得出關于實數(shù)、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可求出的值.【詳解】如下圖所示，取線段的中點，連接，則且，，同理可得，，由，可得，即，解得，，因此，.故選：C.【點睛】本題考查利用三角形外心的向量數(shù)量積的性質(zhì)求參數(shù)的值，解題的關鍵就是利用三角形外心的向量數(shù)量積的性質(zhì)列方程組求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.19．如圖所示，在中，點D是邊上任意一點，M是線段的中點，若存在實數(shù)和，使得，則（）A． B． C． D．解析：B【分析】由題意結合中點的性質(zhì)和平面向量基本定理首先表示出向量，，然后結合平面向量的運算法則即可求得最終結果.【詳解】如圖所示，因為點D在線段上，所以存在，使得，因為M是線段的中點，所以：，又，所以，，所以.故選：B.【點睛】(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．20．已知圓的方程為，點在直線上，線段為圓的直徑，則的最小值為（）A．2 B． C．3 D．解析：B【分析】將轉化為，利用圓心到直線的距離求得的取值范圍求得的最小值.【詳解】.故選B.【點睛】本小題主要考查向量的線性運算，考查點到直線距離公式，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.21．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E是BC的中點，點F在線段CD上，且，AE與BF交于點P，若，則（）A． B． C． D．解析：A【分析】設出，求得，再利用向量相等求解即可.【詳解】連接AF，因為B，P，F(xiàn)三點共線，所以，因為，所以，所以.因為E是BC的中點，所以.因為，所以，則，解得.故選：A【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算，考查了平面向量基本定理的應用，屬于基礎題.22．在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，，，則（）A． B． C． D．解析：B【分析】先根據(jù)正弦定理化邊得C為直角，再根據(jù)余弦定理得角B，最后根據(jù)直角三角形解得a.【詳解】因為，所以,C為直角，因為，所以,因此選B.【點睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的.23．已知點O是內(nèi)部一點，并且滿足，的面積為，的面積為，則A． B．C． D．解析：A【解析】∵，∴．設中點為，中點為，則,∵為的中位線，且，∴，即．選A．24．，為單位向量，且，則向量，夾角為（）A． B． C． D．解析：C【分析】首先根據(jù)題的條件，得到，根據(jù)，為單位向量，求得，進而求得向量夾角.【詳解】因為，所以，即，因為，所以，所以，因為向量，夾角的范圍為，所以向量，夾角的范圍為，故選：C.【點睛】該題考查的是有關向量的問題，涉及到的知識點有向量的平方與向量模的平方是相等的，已知向量數(shù)量積求向量夾角，屬于簡單題目.25．已知在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若的面積為，且，則（）A． B． C． D．解析：A【分析】由三角形面積公式和余弦定理可得的等式，利用二倍角公式求得，從而求得．【詳解】∵，即，∴，又，∴，即，則，∴，故選：A．【點睛】本題考查三角形面積公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角間的三角函數(shù)關系，掌握相應的公式即可求解．屬于中檔題，考查了學生的運算求解能力．26．已知非零向量，滿足，且，則的形狀是A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰（非等邊）三角形 D．等邊三角形解析：D【分析】先根據(jù)，判斷出的角平分線與垂直，進而推斷三角形為等腰三角形進而根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得，判斷出三角形的形狀．【詳解】解：，，分別為單位向量，的角平分線與垂直，，，，，三角形為等邊三角形．故選：D．【點睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的運算，三角形形狀的判斷．考查了學生綜合分析能力，屬于中檔題．27．在中，，，分別是角，，所對的邊，若，且，則的形狀是（）A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形解析：C【分析】化簡條件可得，由正弦定理化邊為角，整理，即可求解.【詳解】，.，.由正弦定理，得，，化簡得.，，則，∴是等腰直角三角形.故選：C.【點睛】本題主